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第一章三角形的证明及其应用冲刺卷北师大版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，连接AD．若的周长为18，，则的周长为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
3．如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两锐角互余 B．全等三角形的对应角相等
C．等边三角形的每个角都是 D．等腰三角形的底角相等
6．如图，在中，，，，平分交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿以的速度运动，点P，Q同时出发．设运动时间为，当是等腰三角形时，的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或3或4 D．2或4
8．在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，是内的一点，且点到顶点，，的距离相等，连接，．若，则的度数为______．
10．如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____．
11．如图，是等边三角形，点D在边上，，则的度数为______．
12．如图，在中，，，，点，分别在和边上．若，，则的长为_____．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若是的中点，，求的长．
14．【问题探究】
如图在中，，，平分交于点，
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
15．如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，以为边作等边，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由．
16．在中，平分，，垂足为点，过点作，交于点，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求线段的长．
17．如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在的同侧．连接，，分别交、于点，，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
18．、都是等边三角形．
(1)如图1，当、、在一条直线上时，求证：；
(2)如图2，将绕着点旋转，延长线与交于点，则的度数是多少？为什么？
(3)如图3，当的边长为，且时，若为边的中点，求的长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．A
4．B
5．B
6．D
7．D
8．D
二、填空题
9．
10．4
11．95
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴是等腰三角形.
（2）解：如图，过点A作于点，由（1）知，，
．
是的中点，
．
又，
，
，
．
14．【详解】（1）证明：在上截取，，连接、，如下图所示：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：过点作交延长线于点，如下图所示：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故为等腰直角三角形，
∴，
令的长度为，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，为直角三角形，
∴．
15．【详解】（1）证明：如图1中，

∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：如图2中，

∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：结论：．
理由：延长到R，使得，连接．

∵等边，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
17．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴．
18．【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵、都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴；
（3）解：如图所示，延长交于点，延长至，使得，
同理可得，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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