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4.4利用三角形全等测距离课后培优提升训练北师大版2025—2026学年七年级数学下册
一、选择题
1．如图，在和中，，只添加一个条件，仍不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．中，若，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
5．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
6．如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，是锐角，点在上，，点是边上一动点，点到直线的距离为，当时，的形状、大小唯一确定，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（ ）

A．②③ B．③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题
9．如图①是一款折叠凳，图②是该折叠凳撑开后的侧面示意图（凳腿材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是凳腿的中点．为了使该折叠凳撑开后高度舒适，厂家将点到地面的距离设计为，则由以上信息可得撑开后凳面到地面的距离为___________．
10．如图，，是的中点，平分，则的度数为______．
11．如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则______．
12．已知：中，是中线．则的取值范围是_____．
三、解答题
13．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
(1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：．
(2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：．
14．如图，已知，，是的中线．
(1)若，，的取值范围为______；
(2)求证：．
15．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】
如图①，与的数量关系是 ；
(2)【尝试探究】
点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；
(3)【深入思考】
如图②，若E为中点，探索与的数量关系．
16．如图，三点在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)当满足__________时，？
17．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

18．如下图，和都是等腰直角三角形，．
(1)求证：，．
(2)试判断和的大小关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．D
4．B
5．A
6．D
7．C
8．C
二、填空题
9．40
10．35°
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：是的中线
，
在和中，
，
；
（2）证明：延长至，使， 连接，
是的中线，
，
∵ ，，
，
，，
，
，
，
，
即，且，，
，
，
，
．
14．【详解】（1）延长至，使 ，连接．
则
是的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：，
（2）∵
，，
，，
．
在与中，
，
，
．
，
．
15．【详解】（1）∵
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）的大小不改变，
如图①，作交于点F，则，

∴，
由（1）得，
∵
∴，
∴，
∴，
∴的大小不改变，．
（3），
理由：如图②，作交于点G，作于点H，则

∴，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．【详解】（1）证明：在和中
，
∴；
∴，
∵，
∴．
（2）解：当时，．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
17．【详解】证明：延长到G，使，连接．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵
∴．
∴．
∵．
∴
（2）（1）中的结论仍然成立．
，
，
在与中，
，
，
，
，
即
在与中
，
，
即，
；
（3）结论不成立，应当是．
证明：在上截取，使连接．

∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
18．【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，，
，，，
，
即，
在和中，
，
，，
，
．
综上所述，，．
（2）解：．证明如下：
过点分别作于点，于点，如图．
由（1）可知，，，
，
．
，，
平分，
．

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