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2026年北京市九年级中考数学一模备考练习卷（解析版）
一、选择题：本题共8题，每题2分，共16分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，加减法计算法则，由数轴可知，，得到，，，，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，，，，
故选项B正确，符合题意．
故选：B．
3．如图，是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求正六边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．根据多边形的内角和，其中n为正多边形的边数，计算即可.
【详解】解：正六边形的内角和为
故选：B
从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“红心向党”演讲比赛，
则恰好抽到甲、丁两位同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到甲、丁两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲、丁两位同学的结果数为2，
所以恰好抽到甲、丁两位同学的概率．
故选：A．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个相等的实数根”．
根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，，
解得：，
故选：A．
6．是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．
用科学记数法表示1300000是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：1300000用科学记数法表示为．
故选：C．
如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，
连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①； ②与EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
连接AE，
∵ABCE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
函数经点．时，x的取值范围为或．
则m可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．
【详解】解：∵当时，，
∴，
∵当，x的取值范围为或，
∴或是方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
∴是函数的对称轴，
又∵，x的取值范围为或，
∴，
∴，
∵函数经点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴m可能取值为1，
故选：A．
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题2分，共16分．把答案填在题中横线上．）
9．若代数式有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
10．在实数范围内分解因式：__________．
【答案】
【分析】本题考查因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
11．方程的解为_____．
【答案】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，先把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根；
故答案为：
12．常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有________人．
【答案】1600
【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体，先根据扇形统计图计算出有氧运动的占比，再根据条形统计图计算出喜欢快走的占比，两项占比乘以总人数即可．
【详解】解：估计该社区最喜欢快走的居民大约有：
（人）．
故答案为：1600．
桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，
桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______．

【答案】米/
【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质；
过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案．
【详解】解：过O作，过A作于G，

∵米，，
∴米，
∵，，
∴，
∴在中，米，
∴点A位于最高点时到地面的距离为米，
故答案为：5米．
如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，
它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，
若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】/
【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，
下列结论：①；②；③；④，
其中正确结论是______．（填写序号）
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
由正方形的性质可得，
∴，故①正确；
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，故②③正确；
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．
当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，
企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
…
A 40 60
B 30 55 75 90 100 105
C 20 40 60 70 80 90 …
D 14 38 62 86 110 134 …
如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，
为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，
应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，
企业可获得的总利润的最大值为_______万元．
【答案】
【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键．
（1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案；
（2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案．
【详解】解：（1）当时，
经销商的利润为，比时增加（万元），
经销商的利润为，比时增加（万元），
经销商的利润为，比时增加（万元），
经销商的利润为，比时增加（万元），
∵，
∴应向经销商分配2台设备．
（2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元，
当分配给多家销售时：
当分配四家时，最大利润为（万元），
当分配给三家时，最大利润为（万元），
当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元），
综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元．
故答案为：，
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，
第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：
【答案】1
【分析】本题考查了立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识点．先计算立方根、绝对值运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可．
【详解】解：
．
18．解不等式组：．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
19．已知，求代数式的值．
【答案】，
【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后整体代入即可求解．
【详解】解：原式
，
∵，
∴原式．
如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，且，
连接，，，．

(1)小明添加了一个条件，则可证明四边形是矩形，请帮他完成证明．
(2)在（1）条件下，且，，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，结合可判断四边形为平行四边形，再由得出，可得结论；
（2）如图所示，过点D作的垂线，交于点H，解直角三角形求出，再根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）如图所示，过点D作的垂线，交于点H
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
21．如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点．
求直线的函数表达式；
求不等式的解集；
直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，
若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）根据函数图象直接得出的解集即可；
（3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：；
（2）解：当时，，解得，
∴，
根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：；
（3）解：联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点P的坐标为；
当时，，此时点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
22．学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．
已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元．
求A，B两种奖品的单价各是多少元？
学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，
问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
【答案】(1)A的单价50元，B的单价35元
(2)购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键．
（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据“购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元”列二元一次方程求解即可；
（2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买总费用w元，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设A的单价为x元，B的单价为y元．
根据题意得：，
解得，
答：A的单价50元，B的单价35元；
（2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元．
根据题意得：
解得
∴
∵，
∴w随m的增大而增大
当时，w取最小值，最小值为2005元．
答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元．
某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，
他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，
并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 9 4 7 4 6
乙 7 5 7 a 7
甲、乙两人射箭成绩折线统计图
小宇的作业：
解：，
(1) ， ，甲成绩的众数是 ，乙成绩的中位数是 ．
(2) 请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．
(3) ① 请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定．
② 请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【答案】(1)4；6；4；7
(2)见解析
(3)①1.6，乙的成绩比较稳定；②乙将被选中，分析见解析
【分析】（1）先求出乙的总成绩，再分别减去其它4次的成绩即得a值；利用平均数公式计算出乙的平均数；再根据众数及中位数的定义分别求出甲成绩的众数和乙成绩的中位数即可；
（2）利用乙的成绩画出折线统计图即可；
（3）①先求出乙的方差，再比较即可；②由于甲乙平均数相同，选拔方差较小的爱好者即可.
【详解】（1）解：由题意得：甲的总成绩是：，
则，，
甲成绩的众数是4，
乙成绩的中位数是，
故答案为：4；6；4；7；
（2）解：如图所示：
（3）解：①乙成绩的方差为，
∵1.6＜3.6，
∴乙的成绩比较稳定.
②由于甲乙平均数相同，而甲的方差大于乙的方差，
∴乙将被选中.
如图，为的直径，D为上一点，连接，，过D点作交于点C，
过点A作交延长线于点E．
求证：；
若，，求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理以及平行线的性质进行解答即可；
（2）根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
【详解】（1）证明：∵为的直径，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，
设，则，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得或（舍去），
∴．
工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，
新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，
然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，
对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，
并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
(1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；
(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
① 若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，
小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；
② 若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，
根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．
【答案】(1)6
(2)；画图见解析
(3)①7；②1
【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值；
（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；
（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数．
【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35
故答案为：6
（2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个
∴相差（个），
把5分成两个接近的数，，
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴，
画出时的曲线：
（3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与，
：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，
∴；
：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个，
∴，
∵，
故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；
故答案为：7；
②当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
4日的合格产品分别是7，8，10，12，
∴合格产品共有；
当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
3日的合格产品分别是12，19，26，
∴合格产品共有；
当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
2日的合格产品分别是20，30，
∴合格产品共有；
当模拟练习日时，
4日内的试制时间日，
1日的合格产品是26；
∵，
∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．
故答案为：1．
26．已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点．
(1) 若抛物线经过点；
① 点的坐标为______；
② 当时，抛物线取得最大值为，求的值；
(2) 若点，在抛物线上，且，求的取值范围；
(3) 已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），
请直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②的值为或
(2)
(3)或
【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得；
②先由得抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论：当时，得；当即时，，分别求解即可；
（2）由点，在抛物线上，结合可得，计算求解即可；
（3）求出抛物线对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），得与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解．
【详解】（1）解：①∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与轴交于点坐标为，
当时，即，
解得：，，
∴点，
故答案为：；
②∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当时，在对称轴左侧，随增大而增大，
∴时，为最大值，即，
解得或（舍）；
Ⅱ．当即时，在对称轴右侧，随增大而减小，
时，为最大值，即，
解得或（舍），
综上所述，的值为或；
（2）解：∵点，在抛物线上，
∴，，
当时，即，
即：，
解得：；
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线对称轴为，顶点为，
∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，
分以下两种情况讨论：
Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时，
即：，
解得：；
Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时，
当时，，
当时，，
∵，对称轴为，
∴，
∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），
∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴，
解得：，
综上，的取值范围是或．
27．在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，
比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，
也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题．
如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，
连接，为线段的中点，连接．
猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）；
以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？
若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由；
若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，
当点、点、点三点共线时，直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)成立，见解析
(3)或
【分析】（1）连接，由正方形，，得，，，进而可得，证明，，可得，，，即可得结论；
（2）作，与的延长线交于点，连接，，，证明，得，，进而可得，再证明，可得，， ，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得结论；
（3）分两种情况：①当在线段上时，②当在线段的延长上时，连接，利用勾股定理及线段和差关系即可得解．
【详解】（1）解：如图，连接，
正方形，，
，，
，
为线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
（2）解：成立，理由如下，
如图，作，与的延长线交于点，连接，，，
，，
，
，
，，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，；
（3）解：①如图，当在线段上时，连接，
正方形的边长为2， ，
，
中，，
由（1）、（2）知，，
，
；
②如图，当在线段的延长上时，连接，
正方形的边长为2， ，
，
中，，
由（1）、（2）知，，
，
；
综上所述，当点、点、点三点共线时，的长为或．
28．点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．
我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．
(1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________；
②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围；
(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①；②或
(2)当时，；当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数
【分析】（1）①找到圆外点到圆上的点的最长和最短距离即可求出在点P视角下，⊙O的“宽度”；求出，即可求在点P视角下，线段的“宽度”；②分类讨论当点在点右侧和当点在点左侧时的情况即可求解；
（2）由⊙C的“宽度”为2可得，分类讨论、的两种情况即可求解．
【详解】（1）解：①如图所示：
由定义可知：在点P视角下，⊙O的“宽度”为：;
∵
∴在点P视角下，线段的“宽度”为：
故答案为：；
②点关于点的对称点坐标为
当点在点右侧时，
若，则，不符合题意；
若，则，不符合题意；
若，则，符合题意；
∴
当点在点左侧时，
则：
∴
解得：（舍去）
∴
综上所述：或
（2）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点D，E．
∴令，可得；令，可得
即：
∴
∵⊙C的“宽度”为2
∴
当时，则点出现在⊙C内部，其轨迹是以点为圆心，半径为的圆
∵点在线段上
∴点的轨迹圆需要与线段有交点
（i）当点在点左侧时，点的轨迹圆与相切于点时，如图：

∵
（ii）当点在点右侧时，点的轨迹圆经过点时，如图：

∵点的轨迹圆半径为
即：当时，
当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数
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2026年北京市九年级中考数学一模备考练习卷
一、选择题：本题共8题，每题2分，共16分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是一幅中式墙体窗格设计图，该窗格的外边框为正六边形，则该正六边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“红心向党”演讲比赛，
则恰好抽到甲、丁两位同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．0
6．是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．
用科学记数法表示1300000是（ ）
A． B． C． D．
如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，
连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ）
①； ②与EGD全等的三角形共有2个；
③S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
函数经点．时，x的取值范围为或．
则m可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共8个小题．每小题2分，共16分．把答案填在题中横线上．）
9．若代数式有意义，则x的取值范围是_______．
10．在实数范围内分解因式：__________．
12．常见的运动健身方式有三种：有氧运动、力量训练和拉伸运动．某社区为了解本社区居民的健身情况，对居民进行了随机抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图4-1是三种运动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图4-2是选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图（每人只能选一种项目）．如果该社区居民约有8000人，那么根据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民大约有________人．
桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，
桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______．

如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，
它是以点O为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，
若，，则图2中阴影部分的面积为______．（结果保留）
如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，
下列结论：①；②；③；④，
其中正确结论是______．（填写序号）
某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．
当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，
企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
…
A 40 60
B 30 55 75 90 100 105
C 20 40 60 70 80 90 …
D 14 38 62 86 110 134 …
如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，
为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，
应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，
企业可获得的总利润的最大值为_______万元．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，
第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：
18．解不等式组：．
19．已知，求代数式的值．
如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，且，
连接，，，．

(1)小明添加了一个条件，则可证明四边形是矩形，请帮他完成证明．
(2)在（1）条件下，且，，求的面积．
21．如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点．
求直线的函数表达式；
求不等式的解集；
直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，
若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
22．学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．
已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元．
求A，B两种奖品的单价各是多少元？
学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，
问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？
某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，
他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，
并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 9 4 7 4 6
乙 7 5 7 a 7
甲、乙两人射箭成绩折线统计图
小宇的作业：
解：，
(1) ， ，甲成绩的众数是 ，乙成绩的中位数是 ．
(2) 请完成图中表示乙成绩变化情况的折线．
(3) ① 请求出乙成绩的方差，并比较谁的成绩比较稳定．
② 请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
如图，为的直径，D为上一点，连接，，过D点作交于点C，
过点A作交延长线于点E．
求证：；
若，，求长．
工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，
新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，
然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，
对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26
时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，
并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．
(1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；
(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
① 若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，
小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；
② 若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，
根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．
26．已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点．
(1) 若抛物线经过点；
① 点的坐标为______；
② 当时，抛物线取得最大值为，求的值；
(2) 若点，在抛物线上，且，求的取值范围；
(3) 已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点、），
请直接写出的取值范围．
27．在初中数学的学习过程当中，我们掌握了许多关于中点的基础知识，
比如特殊三角形的中线的性质、倍长中线法构造全等、中位线定理等等，
也积累了很多解决中点问题的活动经验，灵活运用这些经验和技能，可以帮助我们解决很多问题．
如图 1，点是正方形的边上的点，以为边，在正方形右侧作正方形，
连接，为线段的中点，连接．
猜想：图 1 中线段和线段的位置关系为： ，数量关系为： （直接写出结论，无需证明）；
以为旋转中心将正方形顺时针旋转，旋转角为，则（1）中结论是否仍然成立？
若成立，以图 2 中情形为例证明你的结论；若不成立，说明理由；
若正方形的边长为2，正方形的边长为1，则在正方形旋转一周的过程中，
当点、点、点三点共线时，直接写出的长．
28．点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．
我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．
(1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________；
②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围；
⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．
若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围．
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