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第一章 数列
§1 数列的概念及其函数特性
A 基础练丨知识测评
1.（2025·安徽省蚌埠市期中）已知数列的首项，且 ，则这个数列的第4项是( )
A. B. C. D.6
2.（2025·湖北省武汉市期中）已知数列满足 且数列是递增数列，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.数学文化 形数（2025·甘肃省兰州第一中学开学）毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图1-1-1，数列1，6，15，28， ，从第2项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为( )
A.91 B.120 C.153 D.190
4.已知数列的前项和为，且，，，则 的通项公式 ( )
A. B. C. D.
5.［多选题］（2025·河北省曲阳一中月考）下列有关数列的说法正确的是( )
A.数列，0，4与数列4，0， 是同一个数列
B.数列的通项公式为 ，则110是该数列的第10项
C.在数列，，， 中，第8项是
D.数列3，5，9，17，33， 的通项公式为
6.（2025·江西省丰城市第九中学段考）已知数列中，， ，则__； _______.
7.（2025·浙江省杭州市期中）已知数列的前项和为 ，且满足，则数列 的通项公式为_ ______________________.
8.已知数列的通项公式为 ．
（1）30是不是数列 中的项？70呢？
（2）数列中有多少项是负数？
（3）当为何值时 有最小值？并求出这个最小值．
B 综合练丨高考模拟
9.数学文化 中国剩余定理（2025·江西省丰城市第九中学开学）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为( )
A.116 B.131 C.146 D.161
10.数列的通项，则数列 中的最大项的值为( )
A. B. C. D.
11.如图1-1-2，一系列椭圆 ，射线与椭圆交于点，设，则数列 的增减性为( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.既不是递增的，也不是递减的
12.新定义 等积数列 [多选题]（2025·江苏省盐城市期中）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员积极创新试题，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列 是一个“等积数列”，,，其前项和为 ，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.的一个通项公式为
D.
13.已知数列满足:设的前项和为 ，则当时，数列的通项公式为_ ______;当时， ___.
14.（2025·陕西省咸阳市期中）正项数列的前项和 满足：
．
（1）求数列的通项公式 .
（2）令，数列的前项和为 ．
证明：对于任意的，都有 ．
C 培优练丨能力提升
15.已知数列满足， ,则( )
A. B.
C. D.
7 / 7第一章 数列
§1 数列的概念及其函数特性
A 基础练丨知识测评
1.（2025·安徽省蚌埠市期中）已知数列的首项，且 ，则这个数列的第4项是( )
A. B. C. D.6
1.B【解析】由和递推公式可得,, .
2.（2025·湖北省武汉市期中）已知数列满足 且数列是递增数列，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.A【解析】 数列满足且数列 是递增数列，
解得 .故选A．
3.数学文化 形数（2025·甘肃省兰州第一中学开学）毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算术和几何的纽带．如图1-1-1，数列1，6，15，28， ，从第2项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第8项对应的六边形数为( )
A.91 B.120 C.153 D.190
3.B【解析】从第二个图形开始，把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形，新六边形每条边上的点数比原来多一个，
因此，， ，
, ,
， ，
．
4.已知数列的前项和为，且，，，则 的通项公式 ( )
A. B. C. D.
4.C【解析】由，得 ,
可得 ，
两式相减得，则 ,
由连乘法可得, .
又由,,得，且,均满足上式，故 .
5.［多选题］（2025·河北省曲阳一中月考）下列有关数列的说法正确的是( )
A.数列，0，4与数列4，0， 是同一个数列
B.数列的通项公式为 ，则110是该数列的第10项
C.在数列，，， 中，第8项是
D.数列3，5，9，17，33， 的通项公式为
5.BCD【解析】对于选项A，数列，0，4与4，0， 中数字的排列顺序不同，
不是同一个数列，所以选项A不正确；
对于选项B，令，解得或 （舍去），所以选项B正确；
对于选项C，数列各项的绝对值为2,,, ，可改写为，，， ，且原数列
的奇数项为负，偶数项为正，所以原数列的一个通项公式为 ，所以
它的第8项为 ，所以C选项正确；
对于选项D，由数列3，5，9，17，33， 可改写为,,, ,
, ,可知数列的一个通项公式为，所以选项D正确．故选 ．
6.（2025·江西省丰城市第九中学段考）已知数列中，， ，则__； _______.
6.
【解析】 数列中，，， ，
， ，
， ， 数列 是以4为周期的周期数列.
， （【易错点】此处切勿写成 ）.
,
.
7.（2025·浙江省杭州市期中）已知数列的前项和为 ，且满足，则数列 的通项公式为_ ______________________.
7.
【解析】因为，所以，即 ．
当时， ，
当时， ，显然
不满足上式．
所以
8.已知数列的通项公式为 ．
（1）30是不是数列 中的项？70呢？
8.(1)【答案】根据题意， ，
若，即 ，无正整数解，则30不是数列的项，
若，即，解可得或 （舍），则70
是数列的第11项，
（2）数列中有多少项是负数？
(2)【答案】根据题意，，若 ，解可得 ，
又，则 或3，则数列中有2项是负数.
（3）当为何值时 有最小值？并求出这个最小值．
【答案】根据题意， ，
故当或时，有最小值，其最小值为 ．
B 综合练丨高考模拟
9.数学文化 中国剩余定理（2025·江西省丰城市第九中学开学）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为( )
A.116 B.131 C.146 D.161
9.C【解析】在正整数中，被3除余2的数依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，
32,35,38,41， ，， ,被5除余1的数依次为1，6，11，16，21，26，31，
36,41, ，， ,被3除余2且被5除余1的数为11，26，41， ，, .
故第10项为 .
10.数列的通项，则数列 中的最大项的值为( )
A. B. C. D.
10.B【解析】因为，则 ，
则 ，
令，即 ，
由，解得，所以 ，
令，解得, .
所以 ，
故数列中的最大项为，其值为 .
11.如图1-1-2，一系列椭圆 ，射线与椭圆交于点，设，则数列 的增减性为( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.既不是递增的，也不是递减的
11.B【解析】把代入，可得的横坐标 ，故
.易知要判断随着 的增大
的值是增大还是减小，只需研究 的值是增大还是减小即
可．将上式通分得 ，显然，随
着的增大的值逐渐减小，故数列 是递减数列．
12.新定义 等积数列 [多选题]（2025·江苏省盐城市期中）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员积极创新试题，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列 是一个“等积数列”，,，其前项和为 ，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.的一个通项公式为
D.
12.ACD【解析】由“等积数列”定义得：，而，则 ，因此数列 奇数项相同，偶数项相同，
又，则当为奇数时， ，
由，得，则当为偶数时， .
对于A， ，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时， ，符合题意，C正确；
对于D，当 为奇数时，
，满足
，
当为偶数时， ，满足
，D正确.故选 .
13.已知数列满足:设的前项和为 ，则当时，数列的通项公式为_ ______;当时， ___.
13.
【解析】当时，由 得
,所以，则 .
当时，即,当时， ,
所以 .
14.（2025·陕西省咸阳市期中）正项数列的前项和 满足：
．
（1）求数列的通项公式 .
14.(1)【答案】由条件得 .
由题意知，则，所以 .
于是 ，
当时， ，
且满足上式.故 ．
（2）令，数列的前项和为 ．
证明：对于任意的，都有 ．
(2)【答案】 ，
则 ，故得证．
C 培优练丨能力提升
15.已知数列满足， ,则( )
A. B.
C. D.
15.B【解析】因为,,所以 ，
易知，所以有，所以可得 .
由，可得 ,即
.
一方面，由，累加可得 ，
所以，从而 .
另一方面，由（*）式可得,所以，又 ,所以
,由 ，累加可得
，所以
，所以
.综上可知， .故选B.
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