资源简介

2025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册
第一章 数列
§2 等差数列
2.1 等差数列的概念及其通项公式
A 基础练丨知识测评
1.（2025·安徽省马鞍山市期中）已知等差数列满足 ，则 ( )
A.10 B.11 C.12 D.15
2.（2025·山东省临沂市质检）在各项均为正数的等差数列 中，若，则 等于( )
A. B.0 C.1 D.2
3.已知数列满足，，，那么使成立的 的最大值为( )
A.4 B.5 C.24 D.25
4.数学文化 九章算术（2025·江苏省淮阴中学调研）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.1升 B. 升 C. 升 D. 升
5.［多选题］（2025·广东省佛山市南海一中质检）下列关于等差数列的命题中正确的有( )
A.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列
B.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列
C.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列
D.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列
6.设数列，都是等差数列．若，，则 ____．
7.［开放题］已知等差数列是首项为的递增数列，若， ，则满足条件的数列 的一个通项公式为____________________________．
8.（2025·江苏省盐城市五校联考期中）已知等差数列的公差为正数，与 的等差中项为8，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）从中依次取出第3项，第6项，第9项， ，第 项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断938是不是数列 中的项，并说明理由．
B 综合练丨高考模拟
9.（2025·湖北省鄂州市期中）已知数列满足， ，设数列的前项和为，若，则 的最小值是( )
A.16 B.17 C.18 D.19
10.已知数列的首项，其前项和为 ，且满足．若对任意的，恒成立，则 的取值范围是( )
A.， B.， C.， D.，
11.传统文化 二十四节气［多选题］（2025·四川省泸州市第二中学校月考）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图 1-2.1-1 （1）（2）所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的为( )
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.立春和立秋两个节气的晷长相同
C.春分的晷长为七尺五寸
D.立春的晷长比秋分的晷长长
12.（2025·山西省太原市期中）已知数列的前项和为 ，且满足,，则数列的通项公式为 _ ________________.
13.已知数列中，，且 .
（1）求， 的值；
（2）是否存在实数 ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
14.（2025·陕西省西安市期末）已知数列满足，且 .
（1）求证：数列{}是等差数列，并求 ；
（2）令，求数列的前项和 ．
C 培优练丨能力提升
15.[多选题]（2025·安徽省合肥八中三模）若数列满足：对其任意项 ，总存在唯一，使得，则称数列 具有“前 项封闭性质”．下列说法正确的是( )
A.数列1，2，3，4具有“前 项封闭性质”
B.数列1，2，，3具有“前 项封闭性质”
C.若数列的前项和为，则数列具有“前 项封闭性质”
D.已知具有“前项封闭性质”的数列满足, ，数列为等差数列，则
2 / 22025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册
第一章 数列
§2 等差数列
2.1 等差数列的概念及其通项公式
A 基础练丨知识测评
1.（2025·安徽省马鞍山市期中）已知等差数列满足 ，则 ( )
A.10 B.11 C.12 D.15
1.C【解析】在等差数列中，由，得，即 ，则
．
2.（2025·山东省临沂市质检）在各项均为正数的等差数列 中，若，则 等于( )
A. B.0 C.1 D.2
2.D【解析】由等差中项的定义知，结合条件得 .又
，所以,故 .
3.已知数列满足，，，那么使成立的 的最大值为( )
A.4 B.5 C.24 D.25
3.C【解析】，, 是首项为1，公差为1的等差数列，
,又, .
由得,即 .
又,故使成立的 的最大值为24.
4.数学文化 九章算术（2025·江苏省淮阴中学调研）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.1升 B. 升 C. 升 D. 升
4.B【解析】设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列，其首项为，公差为 ，
由条件得即解得 所以
．
5.［多选题］（2025·广东省佛山市南海一中质检）下列关于等差数列的命题中正确的有( )
A.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列
B.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列
C.若，，成等差数列，则，， 一定成等差数列
D.若，，成等差数列，则，， 可能成等差数列
5.BCD【解析】对于A，取，，，可得，， ，显然，
，， 不成等差数列，故A错；
对于B，取，可得 ，故B正确；
对于C，，， 成等差数列，
，
即，， 成等差数列，故C正确；
对于D，若，则 ，故D正确．
6.设数列，都是等差数列．若，，则 ____．
6.35【解析】 因为数列,都是等差数列,所以数列 也是等差数列.
故由等差数列的性质,得,即 ,
解得 .
7.［开放题］已知等差数列是首项为的递增数列，若， ，则满足条件的数列 的一个通项公式为____________________________．
7.（答案不唯一）
【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得 ，
又，得，解得 ，
所以只需可满足题意，如
8.（2025·江苏省盐城市五校联考期中）已知等差数列的公差为正数，与 的等差中项为8，且 ．
（1）求 的通项公式；
8.(1)【答案】设等差数列的公差为 ,
由题意知 ，
又，即 ,
所以，，因为公差为正数，所以 ,
则，则 .
所以 ．
（2）从中依次取出第3项，第6项，第9项， ，第 项，按照原来的顺序组成一个新数列，判断938是不是数列 中的项，并说明理由．
(2)【答案】结合（1）可知 ．
令，即，符合题意，即 ．
所以938是数列 中的项．
B 综合练丨高考模拟
9.（2025·湖北省鄂州市期中）已知数列满足， ，设数列的前项和为，若，则 的最小值是( )
A.16 B.17 C.18 D.19
9.B【解析】， ，
数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列，
，则 ，
，
，
由得，，解得 ，
又， ．
10.已知数列的首项，其前项和为 ，且满足．若对任意的，恒成立，则 的取值范围是( )
A.， B.， C.， D.，
10.A【解析】由条件,得 ,两式相减得
，于是,两式相减得 ，即数列
在 时的奇数项与偶数项均是以6为公差的等差数列．
又时，即 ，
从而， ；
时，即 ，
从而, .
由条件得
解得，故的取值范围是, ．
11.传统文化 二十四节气［多选题］（2025·四川省泸州市第二中学校月考）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中有一个问题：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图 1-2.1-1 （1）（2）所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的为( )
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.立春和立秋两个节气的晷长相同
C.春分的晷长为七尺五寸
D.立春的晷长比秋分的晷长长
11.ACD【解析】先取上半年（冬至到夏至）进行研究，设晷长为等差数列，公差为
（单位：寸）．
则，， ，
，
立春对应的晷长 ，夏至对应的晷长
．
再取下半年（夏至到冬至）进行研究，设晷长为等差数列 ，公差为
， ，
立秋对应的晷长 ，
，春分对应的晷长 ，
不正确，A，C，D正确．故选 ．
12.（2025·山西省太原市期中）已知数列的前项和为 ，且满足,，则数列的通项公式为 _ ________________.
12.
【解析】 ,
,, .
故数列{}是以 为首项，4为公差的等差数列，
, ,
当时， ,
13.已知数列中，，且 .
（1）求， 的值；
13.(1)【答案】由,得 ,
.
（2）是否存在实数 ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
(2)【答案】假设存在实数 ,使得数列{}为等差数列，设,由 为等差数
列，得 ,
即,即,解得 ,
当 时，
，
（由于数列的前三项成等差数列，数列未必是等差数列，因此务必要检验）
.
所以存在实数,使得数列{ }为首项是2,公差是1的等差数列.
14.（2025·陕西省西安市期末）已知数列满足，且 .
（1）求证：数列{}是等差数列，并求 ；
14.(1)【答案】， ，
故 ，
，
数列是公差为 的等差数列.
又， ，
，
， .
（2）令，求数列的前项和 ．
(2)【答案】由（1）知 ，
，故 .
C 培优练丨能力提升
15.[多选题]（2025·安徽省合肥八中三模）若数列满足：对其任意项 ，总存在唯一，使得，则称数列 具有“前 项封闭性质”．下列说法正确的是( )
A.数列1，2，3，4具有“前 项封闭性质”
B.数列1，2，，3具有“前 项封闭性质”
C.若数列的前项和为，则数列具有“前 项封闭性质”
D.已知具有“前项封闭性质”的数列满足, ，数列为等差数列，则
15.ACD【解析】记数列的前项和为 .
对于A，,,, ，
则,,,，则,, ,
成立，且 ，故A正确.
对于B，,,, ，
则,,,，可知, ，故B错误.
对于C，由，得 ，
当时，，而不满足 ，
因此令，即 ，
则当时，有，解得 ；
当时，，则，而， ，于是
，
因此对每一个，有且仅有一个且 ，
使得 ，
即对任意的正整数，都仅存在一个正整数 ，满足条件，故C正确.
对于D，因为，得单调递增，则 ，
记，则 ，
由，且具有"前项封闭性质，得 ，
由，得，其公差 ，
由，得 ，
若，则当时， ，与
矛盾，故．即，所以 ，
又，于是（因为,所以,若 ,则有
,不符合，所以 ），
又单调递增，所以 ，
即，从而 ，
即 ，
又, ，也符合，
故,，又，所以 ，故D正确．故选
.
2 / 2

展开更多......

收起↑