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第一章 数列
§1 数列的概念及其函数特性
A 基础练丨知识测评
1.已知数列为等差数列，，前10项和，则公差 ( )
A. B. C. D.
1.D【解析】由，得，解得 ,所以
.
2.（2025·福建省龙岩市月考）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和 ，偶数项之和 ，则其公差为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.C【解析】设该数列的公差为,由等差数列前项和的性质，得 ,即
，解得 .
3.（2025·甘肃省兰州第一中学期中）在等差数列中， ， ，那么此数列前20项的和为( )
A.160 B.180 C.200 D.220
3.B【解析】 设数列的公差为 ，由题意得
解得
故 .
4.［多选题］（2025·四川省眉山市检测）设等差数列的前项和为 ，公差，若 ，则下列结论中正确的有( )
A. B.当且仅当时， 取得最小值
C. D.当时， 的最小值为29
4.AC【解析】 数列是等差数列，且 ，
，即 ,故选项A正确；
， 当时，，当时，，故当或 时，
取得最小值，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误.故选 ．
5.（2025·上海）已知等差数列的首项，公差 ,则该数列的前6项和为____.
5.12
【解析】 该数列的前6项和为 .
6.已知等差数列，，其前项和分别为，，若，则 ___.
6.
【解析】由等差数列的性质得 .
【变式】 你会求 吗
【答案】令, ，
则 ,
,
所以，.故
7.（2025·安徽省亳州市第二完全中学月考）记为等差数列的前 项和，已知， .
（1）求 的通项公式;
7.(1)【答案】设的公差为，由题意得 .
由得 .
所以的通项公式为
（2）求，并求 的最小值.
(2)【答案】 由（1）得，则 .
所以当时，取得最小值，最小值为 .
8.（2025·山西省晋中市期中）在公差为的等差数列中，已知 ， .
（1）求， ；
8.(1)【答案】因为，,所以 ，
解得或 .
故或 .
（2）若，求 .
(2)【答案】设数列的前项和为 .
因为,所以由（1）得， .
由得，则当 时，
；
当 时，
.
综上所述,
B 综合练丨高考模拟
9.数学文化 算法统宗（2025·河南省南阳市期中）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首，其内容为：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百七岁期（207岁），借问长儿多少岁？各儿岁数要详推．这位公公年龄最大的儿子的年龄为( )
A.9岁 B.12岁 C.21岁 D.35岁
9.D【解析】设第个儿子的年龄为，则是首项为,公差的等差数列，前
项和为 .
由题意得，解得 ．故选D．
10.已知等差数列的前项和为，， ，且，则 的值为( )
A.5 B.8 C.12 D.14
10.A【解析】，则 ，
又,所以 ,
即，即 ，
解得 .
11.传统建筑 北京天坛（2025·浙江省杭州学军中学月考）如图1-2.2-1所示，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） ( )
A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块
11.C【解析】由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，
记为，易知其首项，公差 ，
所以
设数列的前项和为，由等差数列的性质知，， 也成等差数列，
所以 ，所以
，得 ，
所以三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数为
，故选C．
12.［多选题］（2025·重庆市巴川中学校段考）设等差数列的公差为，前 项和为，若，， ，则下列结论正确的是( )
A. B.数列 是递增数列
C. D.，， ，中最大的是
12.ACD【解析】 ,故A正确.
依题意，有， ，分别化简得
①， ②，即，，．由 ，
得 ③，联立,解得,故可知等差数列 是递减数
列，故B错误,C正确.
当最大时，即结合，可得 ,所以
，， ，中最大的是 ,故D正确．
13.新考法 开放探究（2025·湖南省长沙市期中）设数列的前项和为 ，则同时满足条件①②的等差数列的通项公式 _______________________（写出一个即可）.
①存在最小值且最小值不等于 ；
②不存在正整数，使得且 .
13.（答案不唯一）
【解析】若，则 ,
故当或5时，取得最小值，最小值为，不等于 ，满足条件①.
且 ,
所以不存在正整数，使得且 同时成立，满足条件②.
故 符合题意.
14.在等差数列中，，是数列的前 项和．
（1）若，当取得最大值时，求 的值；
14.(1)【答案】设的公差为 .
由，得，即 ．
所以 ．
又，故当时， 取得最大值．
（2）若，记，求 的最小值．
(2)【答案】由（1）及，得 ，
则 ，
．
所以 ，当且仅当
，即 时，等号成立．
故的最小值为 ．
C 培优练丨能力提升
15.新定义 数列（2025·山东省泰安市新泰第一中学月考）设数列的前 项和为,若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“ 数列”.
（1）若数列的前项和，证明：是“ 数列”.
15.(1)【答案】由已知得,当时， .
于是对任意的正整数，总存在正整数，使得.所以 是“
数列”.
（2）设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求 的值.
(2)【答案】由已知，得 .
因为是“数列”，所以存在正整数,使得 ,
即,于是 .
因为,所以,故.从而 .
当时，,是小于2的整数， .
于是对任意的正整数，总存在正整数 ,
使得，所以是“ 数列”.
因此的值为 .
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和 ，使得
成立.
(3)【答案】设等差数列的公差为 ,则
.
令,,则 .
下面证是“ 数列”.
设的前项和为,则 .
于是对任意的正整数,总存在正整数,使得 ,
所以是“ 数列”.
同理可证也是“ 数列”.
所以，对任意的等差数列，总存在两个“数列”和 ，使得
成立.
7 / 72025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册
第一章 数列
§1 数列的概念及其函数特性
A 基础练丨知识测评
1.已知数列为等差数列，，前10项和，则公差 ( )
A. B. C. D.
2.（2025·福建省龙岩市月考）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和 ，偶数项之和 ，则其公差为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.（2025·甘肃省兰州第一中学期中）在等差数列中， ， ，那么此数列前20项的和为( )
A.160 B.180 C.200 D.220
4.［多选题］（2025·四川省眉山市检测）设等差数列的前项和为 ，公差，若 ，则下列结论中正确的有( )
A. B.当且仅当时， 取得最小值
C. D.当时， 的最小值为29
5.（2025·上海）已知等差数列的首项，公差 ,则该数列的前6项和为____.
6.已知等差数列，，其前项和分别为，，若，则 ___.
【变式】 你会求 吗
7.（2025·安徽省亳州市第二完全中学月考）记为等差数列的前 项和，已知， .
（1）求 的通项公式;
（2）求，并求 的最小值.
8.（2025·山西省晋中市期中）在公差为的等差数列中，已知 ， .
（1）求， ；
（2）若，求 .
B 综合练丨高考模拟
9.数学文化 算法统宗（2025·河南省南阳市期中）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首，其内容为：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百七岁期（207岁），借问长儿多少岁？各儿岁数要详推．这位公公年龄最大的儿子的年龄为( )
A.9岁 B.12岁 C.21岁 D.35岁
10.已知等差数列的前项和为，， ，且，则 的值为( )
A.5 B.8 C.12 D.14.
11.传统建筑 北京天坛（2025·浙江省杭州学军中学月考）如图1-2.2-1所示，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） ( )
A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块
12.［多选题］（2025·重庆市巴川中学校段考）设等差数列的公差为，前 项和为，若，， ，则下列结论正确的是( )
A. B.数列 是递增数列
C. D.，， ，中最大的是
13.新考法 开放探究（2025·湖南省长沙市期中）设数列的前项和为 ，则同时满足条件①②的等差数列的通项公式 _______________________（写出一个即可）.
①存在最小值且最小值不等于 ；
②不存在正整数，使得且 .
14.在等差数列中，，是数列的前 项和．
（1）若，当取得最大值时，求 的值；
（2）若，记，求 的最小值．
C 培优练丨能力提升
15.新定义 数列（2025·山东省泰安市新泰第一中学月考）设数列的前 项和为,若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“ 数列”.
（1）若数列的前项和，证明：是“ 数列”.
（2）设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求 的值.
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和 ，使得
成立.
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