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2025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册
第一章 数列
§3 等比数列
3.1 等比数列的概念及其通项公式
A 基础练丨知识测评
1.若1，,,,16成等比数列，则 ( )
A.64 B. C.16 D.
2.（2025·山东省淄博中学阶段检测）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且，则 ( )
A.16 B.8 C.4 D.2
3.已知数列为等比数列，且，则 ( )
A. B. C. D.
4.新情境 视力表标准对数视力表（如图1-3.1-1）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为“ ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ ”的“边长”都是下方一行“”“边长”的倍，若视力4.0的视标“边长”为 ，则视力4.8 的视标“边长”为( )
A. B. C. D.
5.［多选题］（2025·江西省宜春市期中）已知数列的前项和为，且 ， ，下列说法正确的有( )
A.数列是等比数列 B.
C.数列是递减数列 D.数列 是递增数列
6.已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列 的连续三项，则 __.
7.（2025·四川省内江市第六中学期中）已知数列满足 ，且，
（1）求证： }是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
8.设是等差数列，，且，， 成等比数列.
（1）求 的通项公式;
（2）记的前项和为，求 的最小值.
B 综合练丨高考模拟
9.新情境 三分损益法（2025·江西省鹰潭市模拟）音乐与数学有着密切的联系，我国古代有个著名的“三分损益法”，即以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；…．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( )
A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列
C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列
10.（2025·江苏省无锡市澄宜六校联考）在等比数列中， ，则使不等式成立的最大正整数 是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.［多选题］已知等比数列的公比，等差数列的首项 ，若且 ，则以下结论正确的有( )
A. B. C. D.
12.已知数列满足：对任意均有为常数， 且，若，，，，，，6，11，，则 的所有可能取值的集合是_____.
13.设数列的前项和为，满足，且， .
（1）求证：数列 是等比数列;
（2）令，求数列{}的前项和，若对任意都有 ，
求实数 的取值范围.
14.新考法 结构不良设数列的前项和为， ，________.
给出下列三个条件：
①数列为等比数列，数列 也为等比数列；
②点在直线 上；
③ .
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线处，完成下面的解答.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设，求数列的前项和 .
C 培优练丨能力提升
15.（2025· 八省联考）已知数列中，, .
（1）证明：数列 ｝为等比数列；
（2）求 的通项公式；
（3）令，证明: ．
7 / 7第一章 数列
§3 等比数列
3.1 等比数列的概念及其通项公式
A 基础练丨知识测评
1.若1，,,,16成等比数列，则 ( )
A.64 B. C.16 D.
1.A【解析】若1，,,,16成等比数列，设其公比为 ,
则，即，则 ，
又，则 ．
2.（2025·山东省淄博中学阶段检测）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且，则 ( )
A.16 B.8 C.4 D.2
2.C【解析】设等比数列的公比为，由得，得 ，
因为数列的各项均为正数，所以 .
又 ，
所以，所以 .
3.已知数列为等比数列，且，则 ( )
A. B. C. D.
3.B【解析】依题意,得,所以 .
由,得或（由于与 同号,故舍去）,
所以 .
故 .
4.新情境 视力表标准对数视力表（如图1-3.1-1）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为“ ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ ”的“边长”都是下方一行“”“边长”的倍，若视力4.0的视标“边长”为 ，则视力4.8 的视标“边长”为( )
A. B. C. D.
4B【解析】由题意可得，以视力4.0的视标“边长”为首项 ，则公比，视力4.8的视标“边长”为 ，
故，即 .
5.［多选题］（2025·江西省宜春市期中）已知数列的前项和为，且 ， ，下列说法正确的有( )
A.数列是等比数列 B.
C.数列是递减数列 D.数列 是递增数列
5.ABD【解析】 ①，
当时， （出现的下标，需写出 的取值范围）②，
可得，即 ，
令,则，满足，故 ，
数列 为等比数列，故A正确；
，故B正确；
且， 数列是递增数列，故C错误，D正确．故选 ．
6.已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列 的连续三项，则 __.
6.
【解析】由题意得，即，即 ．设数
列的公比为,则 ，
则 ．
7.（2025·四川省内江市第六中学期中）已知数列满足 ，且，
（1）求证： }是等比数列；
7.(1)【答案】由 （构造等比数列常见类型（1），可直接观察也可用待定
系数法化归）,得 .
又,故数列}是首项为，公比为 的等比数列.
（2）求数列 的通项公式.
(2)【答案】由（1）知, ，
.
8.设是等差数列，，且，， 成等比数列.
（1）求 的通项公式;
8.(1)【答案】设的公差为 .
因为，所以，， .
因为，， 成等比数列，
所以 ，
所以，解得 .
所以 .
（2）记的前项和为，求 的最小值.
(2)【答案】由（1）知， .
所以，当时，；当时， .
所以的最小值为 .
B 综合练丨高考模拟
9.新情境 三分损益法（2025·江西省鹰潭市模拟）音乐与数学有着密切的联系，我国古代有个著名的“三分损益法”，即以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；…．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( )
A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列
C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列
9.A【解析】设“宫”的频率为，由题意“宫”经过一次“损”，可得“徵”的频率为 ，“徵” 经过一次“益”，可得“商”的频率为 ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为,，由于，， 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．
10.（2025·江苏省无锡市澄宜六校联考）在等比数列中， ，则使不等式成立的最大正整数 是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.C【解析】在等比数列中，由，知公比
,
则当时,;时, .
又(等比数列性质),则,, ,
所以 ,
又当时，,故使不等式 成立的 的最大值为7.
11.［多选题］已知等比数列的公比，等差数列的首项 ，若且 ，则以下结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.AD【解析】数列是公比为的等比数列， 是首项为12的等差数列,设其公差
为，，所以 ,故A正确；
由于 的正负不确定，故B错误;
由，得与必有一个为负数，又，且,所以与 至少有一个为负数，又，故公差，那么，则 ，故C错误，D正确.故选 .
12.已知数列满足：对任意均有为常数， 且，若，，，，，，6，11，，则 的所有可能取值的集合是_____.
12.
【解析】由 （构造等比数列常见类型（1））,得
,
①若,则，,同理可得 ，
即 符合题意.
②若,为不等于0与1的常数，则数列是以 为公比的等比数列，
因为,,,6,11,, ,3,4,5,
则可以取， ,8，32.
若公比，则，此时,,, ,
则由得 ;
若公比，则，此时,,, ，
则由得 .
综上所述，满足条件的所有可能取值为，0， .
13.设数列的前项和为，满足，且， .
（1）求证：数列 是等比数列;
13.(1)【答案】分别令,2，代入条件，得
,,解得
所以 ①,
当时， ②,
得， ,
即 .
又,则 ,
所以为首项为1，公比为 的等比数列.
（2）令，求数列{}的前项和，若对任意都有 ，
求实数 的取值范围.
(2)【答案】由（1）知，则 ,
则 ，
所以 .
易知在 上递增，
所以当时， .
故 .
14.新考法 结构不良设数列的前项和为， ，________.
给出下列三个条件：
①数列为等比数列，数列 也为等比数列；
②点在直线 上；
③ .
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线处，完成下面的解答.
（1）求数列 的通项公式；
14.(1)【答案】方案一：选择条件①.
（1）因为数列为等比数列，所以
（等比中项的应用）,即
设等比数列的公比为，因为,所以,解得 或
（舍去），
所以 .
方案二：选择条件②.
（1）因为点在直线 上，
所以,所以 ,
两式相减得,即 .
因为,,所以 符合上式.
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 .
方案三：选择条件③.
（1）当时，因为 ,
所以 ,
等式两边乘以2，得 ,
（ⅰ）得,即 ,
当时，, ,符合上式.
所以数列 是首项为1,公比为2的等比数列，
所以 .
（2）设，求数列的前项和 .
(2)【答案】方案一：选择条件①.
（2）由（1）得 ,
所以 ,
所以
.
方案二：选择条件②.
（2）同方案一的（2）.
方案三：选择条件③.
（2）同方案一的（2）.
C 培优练丨能力提升
15.（2025· 八省联考）已知数列中，, .
（1）证明：数列 ｝为等比数列；
15.(1)【答案】由得 ，则
（【懂方法】由所要证明的结论，去转化已知式的
形式，由果索因 ，逐步完成证明过程），
所以数列｝是首项为，公比为 的等比数列.
（2）求 的通项公式；
(2)【答案】由（1）得 ,
解得 .
（3）令，证明: ．
(3)【答案】.
令， （构造函数，借助函数的单调性证明不等式成立），
因为在 上单调递增，
则 ，
所以数列｛｝为递减数列，从而数列为递增数列，且 ，故得
.
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