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第一章 数列
§3 等比数列
3.2 等比数列的前n项和
A 基础练丨知识测评
1.已知公比不为1的等比数列，其前项和为，，则 ( )
A.2 B.4 C.5 D.25
【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则 ，
即，故，故 .
2.已知等比数列的前项和为，且，则的公比 为( )
A.2 B. C.2或 D.1或
【答案】C【解析】设等比数列的公比为 ,
若（分情况讨论），则 ，不符合题意，故 .
当时，由，可得 ，
因为，所以，则或 ．
3.（2025·浙江省杭州第四中学期末）设等比数列的前项和为，若 ，且，，成等差数列，则 ( )
A.63 B.31 C. D.
【答案】A【解析】设公比为 ，
因为，，成等差数列，所以 ，
则，解得或 （舍去）.
因为，所以，故 ．
4.设等比数列的前项和为，已知，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A【解析】因为,所以 ,
所以 .
5.［多选题］在公比为整数的等比数列中，是数列的前 项和，若， ，则下列说法正确的是( )
A. B.数列 是等比数列
C. D.数列{ 是公差为2的等差数列
【答案】ABC【解析】，，， ，又公比为整数，故 ，故A正确．
易得，， 数列 是首项为4，公比为2的等比数列，故B正确．
，故C正确．
，数列（可由等比数列性质（6）直接判断 为等差数列）是公差为 的等差数列,故D错误．
6.已知是等比数列的前项和，若存在，满足， ，则数列 的公比为___.
【答案】2
【解析】设数列的公比为,当时，，与题中条件矛盾，故 .
则,即 .
由,得,即,所以 .
7.设数列的前项和满足，且，， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
【答案】由已知，有 ，
即 .
从而， .
因为，，成等差数列，即 ,
所以，解得 .
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列.
故 .
（2）设数列{}的前项和为，求 .
【答案】由（1）得 ,
所以 .
8.设是等比数列，其前项和为，且， .
（1）求数列 的通项公式；
【答案】设等比数列的公比为,, ,
,, .
（2）若，求 的最小值.
【答案】, ,
即,,又,，即 的最小值为6.
B 综合练丨高考模拟
9.（2025·浙江省杭州第四中学期末）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，不是质数．现设，表示数列的前项和．若 ，则 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B【解析】因为 ，所以，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以．所以 ，解得 .
10.设为数列的前项和，，且.记 为数列{}的前项和，若对任意的，，则 的最小值为( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】由,得 ,
所以 .
令,可得 ,
又,所以, ．
所以数列{是以为首项, 为公比的等比数列,
则,所以 ,
所以 ,
所以 ,
故 .
因为对任意的,,所以的最小值为 ．
11.［多选题］（2025·河南省南阳一中期中）设数列的前项和为 ，关于数列 ，下列命题正确的是( )
A.若，则 既是等差数列又是等比数列
B.若（，，为常数），则 是等差数列
C.若，则 是等比数列
D.若是等比数列，则,, 也成等比数列
【答案】BC
【解析】对于选项A，因为，即，可知数列 是等差数列，当时，数列 不是等比数列，故A错误.
对于选项B，因为 ，
当时， ；
当时， .
可知时，符合上式，综上所述， ，
可得，所以数列 是等差数列，故B正确.
对于选项C，因为 ，
当时， ；
当时， .
可知 时，符合上式，
综上所述，，可得，所以数列 是等比数列，故C正确.
对于选项D，当数列是等比数列时，取，则 ，此时
显然，，不是等比数列，故D错误.（【易错点】等比数列连续 项
和的片段和性质使用前提是,为奇数，或 ）故选 .
12.（2024·湖北省武汉市华中师大一附中检测）把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（2））；如此继续下去，则
（1）图1-3.2-1（3）中共挖掉了____________________个正方形；
（2）第 个图形挖掉正方形的面积和是 __________
【答案】
(1).
(2)
【解析】 设第个图形共挖掉 个正方形，则，,, ,
,原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为
.
13.新考法 结构不良在且,,， 且 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题．已知等比数列的前项和为，且____，则是否存在正整数 ，使成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】选条件且 .
设等比数列的公比为 ，
则，解得 ，
所以， ，
则，解得 ，
所以存在正整数，使成立， 的最小值为7．
选条件 .
则 ，
因为是等比数列，所以，所以 ，
解得，所以 ，
则 ，
故不存在正整数，使 成立．
选条件，且 .
则，解得 ，
设等比数列的公比为 ，
则，解得或 （舍），
所以， ，
，解得 ，
所以存在正整数，使成立， 的最小值为7．
14.（2025·山东省淄博第七中学月考）设是首项为1的等比数列，数列 满足.已知，， 成等差数列.
（1）求和 的通项公式；
【答案】设的公比为，则 .
因为，，成等差数列，所以，解得 ，
故， .
（2）记和分别为和的前 项和.
证明： .
【答案】由（1）知， ，
②，
得 ，
即 ，
整理得 ，
则，故 .
C 培优练丨能力提升
15.（2025·湖南省长沙市月考）设是等差数列， 是等比数列，公比大于0.已知，， .
（1）求和 的通项公式；
【答案】设等差数列的公差为,等比数列的公比为 .依题意,得
解得故, .
所以的通项公式为,的通项公式为 .
（2）设数列满足求 .
【答案】
.
记 ①,
则 ②,
得, .
所以 .
7 / 72025-2026学年北师大版数学选择性必修第二册
第一章 数列
§3 等比数列
3.2 等比数列的前n项和
A 基础练丨知识测评
1.已知公比不为1的等比数列，其前项和为，，则 ( )
A.2 B.4 C.5 D.25
2.已知等比数列的前项和为，且，则的公比 为( )
A.2 B. C.2或 D.1或
3.（2025·浙江省杭州第四中学期末）设等比数列的前项和为，若 ，且，，成等差数列，则 ( )
A.63 B.31 C. D.
4.设等比数列的前项和为，已知，，则 ( )
A. B. C. D.
5.［多选题］在公比为整数的等比数列中，是数列的前 项和，若， ，则下列说法正确的是( )
A. B.数列 是等比数列
C. D.数列{ 是公差为2的等差数列
6.已知是等比数列的前项和，若存在，满足， ，则数列 的公比为___.
7.设数列的前项和满足，且，， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列{}的前项和为，求 .
8.设是等比数列，其前项和为，且， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若，求 的最小值.
B 综合练丨高考模拟
9.（2025·浙江省杭州第四中学期末）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 ，不是质数．现设，表示数列的前项和．若 ，则 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.设为数列的前项和，，且.记 为数列{}的前项和，若对任意的，，则 的最小值为( )
A. B. C. D.1
11.［多选题］（2025·河南省南阳一中期中）设数列的前项和为 ，关于数列 ，下列命题正确的是( )
A.若，则 既是等差数列又是等比数列
B.若（，，为常数），则 是等差数列
C.若，则 是等比数列
D.若是等比数列，则,, 也成等比数列
12.（2024·湖北省武汉市华中师大一附中检测）把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图1-3.2-1（2））；如此继续下去，则
（1）图1-3.2-1（3）中共挖掉了____________________个正方形；
（2）第 个图形挖掉正方形的面积和是 __________
13.新考法 结构不良在且,,， 且 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题．已知等比数列的前项和为，且____，则是否存在正整数 ，使成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．
14.（2025·山东省淄博第七中学月考）设是首项为1的等比数列，数列 满足.已知，， 成等差数列.
（1）求和 的通项公式；
（2）记和分别为和的前 项和.
证明： .
C 培优练丨能力提升
15.（2025·湖南省长沙市月考）设是等差数列， 是等比数列，公比大于0.已知，， .
（1）求和 的通项公式；
（2）设数列满足求 .
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