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2026 年春季高一寒假检测 数学
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项符合题目要求.
1. 已知集合 ，则( )
A. B.
C. D.
2. “ 为第一象限角”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如果 ,那么下列不等式中成立的是 ( ).
A. B. C. D.
4. 函数 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5. 已知 是奇函数,当 时, (其中 为自然对数的底数),则 ( )
A. 3 B. -3 C. 8 D. -8
6. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 在区间 上单调递增
B. 点 是 图象的一个对称中心
C. 若 ,则 的值域为
D. 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到
8. 定义: 对于 定义域内的任意一个自变量的值 ,都存在唯一一个 使得 成立，则称函数 为“正积函数”. 下列函数是“正积函数”的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合题意的.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不选得 0 分.
9. 下列选项中, 结果为正数的有( )
A. sin1 B. cos2 C. sin3 D. cos4
10. 下列函数中是奇函数的有( )
A. B.
C. D.
11. 已知 是定义在 上的偶函数,且 是奇函数,当 时, , 则 ( )
A. 的值域为 B. 的最小正周期为 4
C. 在 上有 3 个零点 D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_____.
13. 已知函数 ,若 ,总 ,使 成立,则实数 的取值范围是_____.
14. 已知函数 在 上单调递增,且在 上有且仅有 1 个零点,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证 明过程.
15. 已知函数 .
(1)在平面直角坐标系中，画出函数 的简图，并写出 的单调区间和值域；
(2)若 ,求实数 的取值范围.
16. 求下列关于 的一元二次不等式的解集:
(1) ;
(2) .
17. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 如图所示,一条笔直的河流 (忽略河的宽度) 两侧各有一个社区 (忽略社区的大小), 社区距离 上最近的点 的距离是 社区距离 上最近的点 的距离是 , 且 . 点 是线段 上一点,设 .
现规划了如下三项工程:
工程 1: 在点 处修建一座造价 0.1 亿元的人行观光天桥;
工程 2: 将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园,且每平方千米造价为 亿元;
工程 3:将直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园，且每平方千米造价为 1 亿元.
记这三项工程的总造价为 亿元.
(1)求实数 的取值范围；
(2)问点 在何处时, 最小,并求出该最小值.
19. 若存在实数对 ,使等式 对定义域中每一个实数 都成立,则称函数 为 型函数.
(1)若函数 是 型函数，求 的值；
(2)若函数 是 型函数，求 和 的值；
(3)已知函数 定义在 上， 恒大于 0，且为 (1,4) 型函数，当 时， . 若 在 恒成立,求实数 的取值范围.
1. D
由于 ,但 ,故 不是 的子集, 错误; 错误; 错误, 正确.
2. A
若 为第一象限角则必有 ;
反之,若 ,则 为第一或第三象限角.
故选: A.
3. C
对于 A: 因为 ,所以 ,则 ,故 A 错误;
对于 B: 因为 ,所以 ,所以 ,故 B 错误;
对于 C: 因为 ,所以 ,故 C 正确;
对于 : 因为 ,所以 ,故 错误.
故选:
4.
对于函数 ,有 ,解得 或 ,
故函数 的定义域为 ,
内层函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
外层函数 为减函数,
由复合函数的单调性可知,函数 的单调递增区间为 .
故选: D.
5. D
由 是奇函数得 ,又 时, ,
所以 .
故选: D
6. D
当 时,不等式 恒成立,
当 时,满足不等式恒成立;
当 时,令 ,则 在 上恒成立,
函数 的图像抛物线对称轴为 ,
时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
则有 ,解得 ;
时, 在 上单调递增,在 上单调递减,
则有 ,解得 .
综上可知, 的取值范围是 .
故选: D.
7. D
设函数 的最小正周期为 ,
由题图及五点作图法得 ,则 ,又 ,
所以 ,所以 ,
又 ,即 ,又 ,则 ,故 .
对于 ,当 时, 的值域为 ,故 错误;
对于 ,由 知 在 上不单调递增,故 错误;
对于 ,由 ,故 错误;
对于 ,将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象,故 正确.
8.
对于 选项， ，由 ， 当 时，则不存在 满足情况，故函数 不是正积函数；
对于 选项， ，由 ，
则任意一个自变量的值 ,都存在唯一一个 满足 ,故函数 是正积函数;
对于 选项， ，
由 ,
得 ,当 时, ,则 不唯一,
故函数 不是正积函数;
对于 选项, ,由 ,
当 时,则不存在 满足情况,故函数 不是正积函数.
故选: B.
9. AC
因为 ,所以 . 故选: AC.
10. AD
对于 项,定义域为 ,关于原点对称,因为 ,所以 为奇函数,故 正确;
对于 项，定义域为 ，关于原点对称，因为 ，所以 为偶函数,故 错误;
对于 项,定义域为 ,关于原点对称,因为 ,所以 为偶函数, 故 C 错误;
对于 项，定义域为 ，关于原点对称，因为
,所以 是奇函数,故 D 正确.
11.
对于 ,因为 是奇函数,
所以 的图象关于 对称,
且 ,
因为 为偶函数,图象关于 轴对称,
且当 时, ,
作出 的图象,如下图所示:
由图可知, 的值域为 ,故 A 错误;
对于 ,因为 是奇函数,
所以 ,即 ,
因为 为偶函数,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
所以函数 的最小正周期为 4,故 正确;
对于 ,由图象可得在 上, 的图象与 轴有 3 个交点,
所以函数 在 上有 3 个零点,故 正确;
对于 ,由题意得 ,
所以 ,故 错误.
故选:BC.
12.
对于 ,令 ,则 ,
所以 ,即 的定义域为 .
故答案为:
13.
当 时,函数 在 上单调递增,可得 ,又函数 在 上单调递减,可得 ,
由 ,总 ,使 成立,可知 ,解得 ; 当 时,函数 在 上单调递减,可得 ,
同理可知 ,解得 .
综上, 或 .
所以实数 的取值范围是 .
14.
当 时, ,
由 在 上单调递增,结合正弦函数的单调性可得 ,
解得 .
当 时, ,
因为 ,所以 ,
又 在 上有且仅有 1 个零点,所以 或 , 解得 或 .
则 的取值范围为 .
故答案为:
15.(1)函数 的简图如下:
由图可知,函数 的增区间为 ,减区间为 ; 值域为 .
(2)由 ，及函数 的单调性可知，
若 ,则实数 的取值范围为 .
16. .
( 2 )当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 ，当 时,不等式的解集为 .
(1) 原不等式可化为 ,
方程 的两个根为 ,
所以不等式的解集为 .
(2)原不等式可化为 ，
① 当 时，不等式的解集为 ，
② 当 时，不等式的解集为 ，
③ 当 时，不等式的解集为 .
17. ;
(2)
(1)
,
所以函数 的最小正周期为 ;
( 2 )由( 1 )知 ，
由 ,得 ,
又函数 在 上单调递增,所以 ,即 . 因为 恒成立,所以 在 上恒成立,则 , 即实数 的取值范围为 .
18.
( 2 )当点 满足 时， 最小，最小值为 5.1 亿元.
(1)因为直角三角形 地块全部修建为面积至少 的湿地公园,
所以 ,解得:
直角三角形 地块全部修建为面积至少 的文化主题公园,
所以 ,解得: ,
故实数 的取值范围为 .
(2)依题意可得: ,
当且仅当 ,即 时取等.
所以当点 满足 时, 最小,最小值为 5.1 亿元.
19. ;
(2) ;
(3) .
(1) 由 是 型函数,得 ,即 , 所以 .
(2)由 是 型函数，得 ，
则 ,因此 对定义域 内任意 恒成立,
于是 ,解得 ,
所以 .
(3)由 是 型函数，得 ，
① 当 时， ，而 ，则 ，满足 ；
② 当 时， 恒成立，
令 ,则当 时, 恒成立,于是 恒成立,
而函数 在 单调递增,则 ,当且仅当 时取等号,因此 ;
③ 当 时， ，则 ，
由 ,得 ,
令 ,则当 时, ,
由②知 ，则只需 时， 恒成立，即 恒成立，
又 ,当且仅当 时取等号,因此 , 所以实数 的取值范围是 .

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