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第18章 平行四边形自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在 ABCD中，∠B=50°，则∠C的度数是（　　）
A. 140° B. 130°
C. 50° D. 40°
2. 如图1，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若AC=12，则OA的长是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
图1 图2 图3 图4
3. 如图2，已知直线a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，∠ABC是钝角.若AB=5，则a，b两直线之间的距离可以是（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
4. 如图3，在 ABCD中，已知AD=8 cm，AB=5 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　）
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
5. 如图4，已知AB∥CD，添加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A. ∠1=∠2 B. OA=OC
C. AD=BC D. AD=AB
6. 如图5，点E，F是 ABCD对角线BD上两点，连接AF，CE，已知AF∥CE，且BE=4，BD=13，则EF的长为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
图5 图6 图7
7. 如图6，AD∥BC，AB=BD，以B为圆心，AD的长为半径的圆弧交BC于点E，连接DE.若∠A=50°，则∠DBC的度数为（　　）
A. 65° B. 60°
C. 40° D. 50°
8. 如图7，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连接AE，DE.若 ABCD的面积为12，则△ADE的面积为（　　）
A. 6 B. 4
C. 8 D. 3
9. 如图8，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，则∠BAC的度数为（　　）
A. 80° B. 60°
C. 50° D. 40°
10. 在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图9中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是（　　）
A. 只有甲、乙 B. 只有甲、丙
C. 只有乙、丙 D. 甲、乙、丙
图9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=3，当CD= 时，四边形ABCD是平行四边形.
12. 如图10，乐乐将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，发现旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，依据是 .
图10 图11 图12 图13
13. 如图11，将 ABCD的一边BC延长至点E，若∠1=65°，则∠A的度数是 .
14. 如图12， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC=3，BD=5，则四边形OCED的周长为 .
15. 如图13，在 ABCD中，AB=3，∠ABC与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为 .
16. 如图14， ABCD的边上一动点P从点C出发沿C—D—A运动至点A停止.设运动的路程为x，∠ABP与 ABCD重叠部分的面积为y，其函数关系式如图所示，则在 ABCD中，BC边上的高为 .
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17. （6分）如图15，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO=CO，∠ABD=∠CDB.求证：四边形ABCD是平行四边形.
图15
18. （6分）如图16，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），请找出格点D，使以A，B，C，D四个点为顶点的四边形为平行四边形，画出所有符合条件的平行四边形，并在图上标出点D的位置.
图16
19. （6分）如图17，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， .请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求AE的长.
图17
20. （8分）尺规作图题：
如图18-①，E是 ABCD边AD边上一点（不与点A，D重合），连接CE.用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.
小明：如图18-②，以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
小丽：以点A为圆心，CE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF∥CE.
（1）根据小明的作法，求证：AF∥CE；
（2）你认为小丽的作法正确吗？若不正确，请说明理由.
图18
21. （8分）如图19，在 ABCD中，连接BD，∠ADB=90°，AD=6 cm，BD=8 cm，动点P从点A出发，沿线段AB匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD匀速运动.当P，Q中的一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t s.
（1）AB= cm，CD= cm；
（2）已知点P的速度为4 cm/s，点Q的速度为2 cm/s.当四边形PBCQ为平行四边形时，求t的值.
图19
22. （8分）阅读与思考
若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点，在此基础上，若满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点. 例如，如图20-①，在四边形ABCD中，AC是对角线，若CD=CA=CB，则点B与点D关于AC互为对顶点；若再满足∠B+∠D=90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点.
任务：
如图20-②， ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE=AD=AC，∠ACB=70°.
（1）求证：点B与点E关于AC互为对顶点；
（2）当点B与点E关于AC为互余对顶点时，求∠DCE的度数.
图20-②
23. （10分）综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究.“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片ABCD中，E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B'.
（1）【感知】如图21-①，若点B'恰好落在边AD上时，求证：四边形B′ECD是平行四边形；
（2）【探究】如图21-②，若点E，B'，D三点在同一条直线上，求证：DA=DE；
（3）【应用】如图21-③，若∠BAE=45°，连接BB'并延长，交CD于点F.若平行四边形纸片ABCD的面积为6，CD=2，直接写出线段B′F的长.
图21
附加题（20分，不计入总分）
如图，直线l1：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD.
（1）求点C，D的坐标；
（2）求四边形BACD的面积；
（3）若直线l2：y=ax-2a+4将四边形BACD分成面积相等的两部分，直接写出a的值.
第18章 平行四边形自我评估 参考答案
一、1. B 2. D 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D
二、11. 3 12. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形（答案不唯一）
13. 115° 14. 8 15. 36 16. 3
三、17. 证明：在△ABO和△CDO中，∠ABO=∠CDO，∠AOB=∠COD，AO=CO，所以△ABO≌△CDO（A.A.S.）.所以BO=DO.
又因为AO=CO，所以四边形ABCD是平行四边形.
18. 解：如图1，D，D′，D″即为所求.
图1
19. 解：①（或②）
（1）选择①.
因为∠B=∠AED，所以BC∥DE.
又因为AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
或选择②.
因为AE=BE，AE=CD，所以BE=CD.
又因为AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
（2）因为四边形BCDE是平行四边形，所以DE=BC=10.
因为AD⊥AB，所以∠A=90°.
所以AE===6.
20. （1）证明：根据小明的作法知，CF=AE.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，即AE∥CF.
又因为CF=AE，所以四边形AFCE是平行四边形.
所以AF∥CE.
（2）解：不正确.理由如下：
因为以点A为圆心，CE的长为半径画弧，可能与边BC有两个交点，只有其中之一符合题意，所以小丽的作法不正确.
21. 解：（1）10 10
（2）根据题意，得AP=4t cm，CQ=2t cm.
当四边形PBCQ是平行四边形时，BP=CQ，此时点P在线段BA上时，BP=AB-AP=（10-4t）cm.
所以10-4t=2t，所以t=.
22. （1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC.
因为AE=AD=AC，所以AE=AC=BC.
所以点B与点E关于AC互为对顶点.
（2）解：因为AC=BC，∠ACB=70°，所以∠B=∠CAB=（180°-∠ACB）=55°.
因为点B与点E关于AC为互余对顶点，所以∠E=90°-∠B=35°.
因为AE=AC，所以∠ACE=∠E=35°.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD.
所以∠ACD=∠CAB=55°.
所以∠DCE=∠ACD-∠ACE=55°-35°=20°.
23. 证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠B=∠D.
由折叠的性质，得∠B=∠AB′E，所以∠AB′E=∠D.
所以EB′∥CD.
又因为B′D∥EC，所以四边形B′ECD是平行四边形.
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.
所以∠DAE=∠AEB.
由折叠的性质，得∠AEB=∠AEB'.
所以∠DAE=∠AEB′.
所以DA=DE.
（3） 解析：如图2，延长AB'交CD于点H.
由折叠的性质，得∠B'AE=∠BAE=45°，AB=AB'，所以∠BAB'=90°.
所以△ABB'是等腰直角三角形，∠ABB'=45°.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=AB'=CD=2.
所以∠AHD=∠BAB'=90°，∠B'FH=∠ABB'=45°.
所以△B′HF是等腰直角三角形.所以B′H=HF.
因为S ABCD=AB AH=6，所以AH=3.
所以HF=B'H=AH-AB'=1.
所以B′F==.
图2
附加题
解：（1）对于直线y=3x+3，令x=0，得y=3，所以B（0，3）；令y=0，得3x+3=0，解得 x=-1，所以A（-1，0）.
因为将线段AB向右平移7个单位长度、向上平移1个单位长度得到线段CD，所以C（6，1），D（7，4）.
（2）如图3，连接BC并延长，交x轴于点P.
根据题意，得AB∥CD，AC∥BD，所以四边形BACD是平行四边形.所以S BACD=2S△ABC.
设直线BC的函数表达式为y=kx+3，将C（6，1）代入，得6k+3=1，解得k=-.
所以直线BC的函数表达式为y=-x+3.
令y=0，得-x+3=0，解得x=9.所以P（9，0）.
所以AP=9-（-1）=10.
所以S△ABC=S△ABP-S△ACP=×10×3-×10×1=10.
所以S BACD=2S△ABC=20.
图3
（3）a的值为-2.
提示：连接AD，易知线段AD与BC的交点即为 BACD对角线的交点.

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