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第19章 矩形、菱形与正方形自我评估
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在正方形ABCD中，对角线AC=2 cm，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A. cm2 B. 2 cm2
C. 4 cm2 D. 8 cm2
2. 生活中，我们可以用肘、拃、步长等来估计距离.某校教室里新安装了一台屏幕为矩形的多媒体设备，小明想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是12拃，宽是5拃（如图1，1拃≈20 cm），则屏幕的对角线长大约是（　　）
A. 100 cm B. 240 cm
C. 260 cm D. 340 cm
图1 图2 图3 图4
3. 如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法不一定正确的是（　　）
A. AB∥DC B. AB=BD
C. AC⊥BD D. OA=OC
4. 如图3，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若AB=3，AC=6，则∠AOD的度数为（　　）
A. 90° B. 100°
C. 110° D. 120°
5. 如图4，木工刘师傅将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，并在A，D之间钉了一根木条用来固定该四边形.刘师傅测得∠ABC=50°，请你计算∠DAC的度数为（ ）
A. 50° B. 60 °
C. 65° D. 70°
6．如图5，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AD，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A．45° B．67.5° C．75° D．112.5°
图5 图6 图7
7. 诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　　）
A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等
8. 如图6，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（1，2），点D在第二象限，点A在第三象限.若CD∥x轴，则点A的坐标为（　　）
A.（-3，-2） B.（-2，-3） C.（3，2） D.（-3，2）
9．如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得△AEF，其中E，F分别是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D.若四边形ABDF为菱形，则∠CAE的度数是（　　）
A. 45° B. 60°
C. 75° D. 90°
10．已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，有下列条件：①AB=BC；②∠DAB=90°；③BO=DO，AO=CO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD．下列推论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如图8，在菱形ABCD中，若∠DCB=30°，则∠1的度数为 ．
图8 图9
12. 在□ABCD中，∠A=90°，请添加一个条件： ，使四边形ABCD为正方形.
13. 如图9，将一张长方形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①，②两部分，将①展开后得到的特殊平行四边形是 .
14. 如图10，在矩形ABCD中，AB=5 cm，M为边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当BC长为 cm时，四边形PEMF为矩形.
图10 图11 图12
15. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰（如图11），测得BD=12 cm，AC=16 cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为__________cm．
16.如图12，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处.若AE=5，BF=3，则CF的长为__________cm.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（6分）如图13，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，AD=BE，∠ABE=40°，求∠ECD的度数.
图13
18.（6分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具调整成图14-①所示的菱形，并测得∠B=60°，AC=1 dm，接着他又将活动学具调整成图14-②所示的正方形，求此时对角线A'C'的长.
19.（8分）如图15，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在线段OB上（不与点O，B重合），点F在线段OD上，且DF=BE，连接AE，AF，CE，CF．求证：四边形AECF是菱形.
图15
20.（8分）如图16，点M在□ABCD的边AD上，BM=CM，有以下三个选项：①∠1=∠2；②AM=
DM；③∠3=∠4.请从中选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你选择的条件是 ；（填序号）
（2）根据（1）中添加的条件，证明□ABCD为矩形.
图16
21.（8分）如图17，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G.若正方形ABCD的周长是40 cm.
（1）求四边形EFBG的周长；
（2）当AF的长为多少时，四边形EFBG是正方形？
图17
23.（8分）综合与实践
【阅读材料】
问题：已知：如图18-①，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上．图18-① 小明的作法：（1）如图18-②以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D：（2）以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；（3）连接CD，则四边形ABCD就是所求作的菱形． 图18-②
【解答问题】
（1）请根据材料中的信息，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）只利用尺规，你还有其他方法做出菱形ABCD吗？若有，请作出菱形ABCD（保留作图痕迹，不写作法）；若没有，请说明理由.
23.（12分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在 ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作 DEGF．
特例探究：（1）如图19-①，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图①基础上连接BG，AC，得到图19-②，发现图19-②中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对□ABCD展开类似研究．如图19-③，在□ABCD中，AB=4，BC=6，请直接写出A，G两点之间的距离.
图19
附加题（20分，不计入总分）
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AD=12 cm，AB=18 cm，CD=23 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿折线B-C-D向终点D运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示PB的长．
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
第19章 矩形、菱形与正方形自我评估 参考答案
答案详解
三、17. 解：因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC，∠ABC=∠BCD=90°.
所以∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-40°=50°.
因为AD=BE，所以BC=BE.所以∠BCE=∠BEC==65°.所以∠ECD=∠BCD-∠BCE=90°-65°=25°.
18. 解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC.
因为∠B=60°，所以△ABC是等边三角形.所以AB=BC=AC=1 dm.
因为四边形A'BC'D是正方形，所以A'B=BC'=AB=1 dm，∠B=90°.
所以A'C'===（dm）.
19.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.
因为BE=DF，所以BO-BE=DO-DF，即OE=OF.所以四边形AECF是平行四边形.
因为AC⊥BD，所以 AECF是菱形.
20.（1）解：①（或②）
（2）选择①∠1=∠2.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC.所以∠ABC+∠BCD=180°.
因为BM=CM，所以∠3=∠4.
又因为∠1=∠2，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠BCD.所以∠ABC=∠BCD=90°.所以 ABCD为矩形.
选择②AM=DM.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AB∥DC.所以∠A+∠D=180°.
又因为AM=DM，BM=CM，所以△ABM≌DCM（S.S.S.）.
所以∠A=∠D.所以∠A=∠D=90°.所以□ABCD为矩形．
21. 解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠B=90°，∠BAC=45°．
因为EF⊥AB，EG⊥BC，所以∠BFE=∠AFE=90°，∠BGE=90°所以四边形EFBG是矩形，∠AEF=∠EAF=45°.所以EG=FB，EF=GB=AF.
因为正方形ABCD的周长是40 cm，所以AB=10 cm.所以C矩形EFBG=2（EF+BF）=2（AF+BF）=2AB=20（cm）.
（2）当四边形EFBG是正方形时，可知EF=BF.
由（1），知AF=EF，AB=10 cm，所以AF=EF=BF=AB=5（cm）.
所以当AF的长为5 cm时，四边形EFBG是正方形.
22．（1）证明：由作图可知AD=AB，BC=AB，所以AD=AB=BC.
因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
因为AD=AB，所以ABCD是菱形.
（2）解：有. 作出的菱形ABCD如图1所示（答案不唯一）.
23.（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以∠C=90°，AD∥BC，AB∥CD.
所以∠FED=∠EBC，∠EFD=∠ABE，∠FDE=∠C=90°.所以 DEGF为矩形，
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC=∠ABC.所以∠FED=∠EFD.所以DE=DF.
所以矩形DEGF为正方形.
（2）解：BG=AC.理由如下：连接DG交BF于点O，连接BD.
由（1），知四边形DEGF为正方形，所以DG⊥EF，GO=DO.所以BF垂直平分DG.
所以BG=BD.因为四边形ABCD为矩形，所以AC=BD.所以BG=AC.
（3）四边形DEGF的周长为8.
解析：由题意可知四边形DEGF为平行四边形.
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE.因为AD∥BC，DF∥GE，FG∥DE，所以∠AEB=∠CBE，∠GFE=∠DEF=∠CBE，∠DEG=∠ADC=∠ABC.所以∠AEB=∠ABE，∠GFE=∠GEF.所以AE=AB=4.所以DE=AD-AE=BC-AE=2，GF=GE.所以DEGF为菱形.所以菱形DEGF的周长为8.
附加题
解：（1）根据题意，得AP=t cm.所以BP=AB-AP=（18-t）cm.
（2）因为AB∥CD，∠ADC=90°，所以∠DAB=90°.
过B点作BN⊥CD于点N，所以∠BND=90°.所以四边形ADNB是矩形.所以BN=AD=12 cm，DN=AB=18 cm.
因为CD=23 cm，所以CN=CD-DN=23-18=5（cm）.所以Rt△BNC中，BC===13（cm）.
观察题图可知，当点Q在线段BC上时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分没有平行四边形，所以点Q在线段CD上.
如图①，当PB=CQ时，因为AB∥CD，即PB∥CQ，所以四边形PQCB是平行四边形.
所以18-t=2t -13.解得t=.
① ②
如图②，当AP=DQ时，因为AB∥CD，即AP∥DQ，所以四边形ADQP是平行四边形.
所以t= 23+13-2t.解得t=12.
综上，当t= 或t=12 时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形.
（3）设点Q的速度为x cm/s.由（2）可知，当点Q在CD边上，四边形PBCQ可能为菱形.
因为PB∥CQ，所以只需满足PB=CQ=BC.由（1）知，PB=（18-t）cm.由（2）知，CQ=（xt-13）cm，BC=13 cm.
所以18-t=13，xt-13=13.解得t=5，x=.
所以当点Q的速度为 cm/s时，在运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形.
图14
答案速览
一、1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．A 10．C
二、11. 15° 12. AB=AD（答案不唯一） 13. 菱形 14. 10 15. 16. 12
三、解答题见“答案详解”

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