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期末自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在平面直角坐标系中，点A（1，-3）位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列正比例函数中，其图象经过点（2，-4）的是（　　）
A. y=2x B. y=-2x
C. y= D. y=
3. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，其与π的误差小于0.000 000 27.其中0.000 000 27用科学记数法可以表示为（　　）
A. 2.7×10-7 B. 0.27×10-6
C. 2.7×10-6 D. 2.7×107
4. 下列分式中，最简分式是（　　）
A. B. C. D.
5. 如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=12，CD=4，则△ABO的周长是（　　）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
图1 图2
6. 小宇记录了连续两周上午十点自己的体温，并将结果统计如下表：
体温（°C） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8
天 数 3 3 4 2 2
根据表格数据，这14天中，小宇上午十点体温的众数和中位数分别是（　　）
A. 36.6 ℃，36.4 ℃ B. 36.5 ℃，36.5 ℃
C. 36.8 ℃，36.4 ℃ D. 36.8 ℃，36.5 ℃
7. 已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，则一次函数y=x-k的图象大致是（　　）
A B C D
8. 如图2，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，CD于点M，N.若正方形ABCD的边长为8，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）
A. 64 B. 32
C. 16 D. 8
9. 如图3，直线y=4x-k与x轴相交于点B，A是直线上一点，过点A，B分别作x轴、y轴的平行线交于点C，已知点C恰好在反比例函数的图象上.若点A的横坐标为点B横坐标的一半，则k的值为（　　）
A. -4 B. -6
C. -8 D. -10
图3 图4
10. 如图4，在菱形ABCD中，AB=5 cm，∠ADC=120°，点E，F同时从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动，点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s.若经过t s时，△DEF为等边三角形，则t的值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若（x-4）0=1，则x的取值范围是 .
12. 如图5是一个平行四边形的活动框架，对角线AC，BD是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠ABC和橡皮筋的长度也随之改变，当∠ABC= 时，活动框架是矩形.
图5 图6 图7
13. 曲老师参加区青年教师教学大比武比赛，笔试得95分，微型课得90分，教学反思得85分.按图6所示的笔试、微型课、教学反思的权重，曲老师的综合成绩是 分.
14. 如图7，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为（3x，y+1），则y与x之间的函数表达为 .
15. 从-2，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使关于x的不等式组的解集为x＞3，且使关于x的分式方程=-1有解，则这五个数中所有满足条件的数的乘积是 .
16. 如图8-①，在平面直角坐标系中， ABCD在第一象限，且BC∥x轴.直线y=x从原点O出发，沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被 ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离x的函数图象如图8-②所示，那么 ABCD的面积为 .
图8
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17. （每小题4分，共8分）（1）解方程：=+1；
（2）先化简，再求值：，其中a=-1.
18. （6分）已知直线y=ax-5与y=2x+b的交点坐标为A（1，-2）.
（1）写出关于x，y的方程组的解为 ；
（2）求a，b的值.
19. （7分）如图9，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求AC的长.
图9
20. （7分）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图10所示.
（1）当气球内的气压超过150 KPa时，气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸；（球体的体积公式V=，π取3，r为半径）
（2）请你利用p与V的关系解释为什么超载的车辆容易爆胎.
图10
21. （8分）为培养学生的数学思维，激发学生学习数学的兴趣，某班开展了学生数学讲题比赛，现分别从男同学和女同学中各选出10位选手参赛，成绩如下：
男同学：85，85，90，75，90，95，80，85，70，95；
女同学：80，95，80，90，85，75，95，80，90，80.
数据整理分析如下表：
平均数 中位数 众 数 方 差
男同学 85 a 85 60
女同学 85 82.5 b c
根据以上统计信息，回答下列问题：
（1）表中a= ，b= ，c= ；
（2）女同学小雅参加了本次讲题比赛，已知她的成绩在女同学中是中等偏上，则小雅的成绩最低可能为__________分；
（3）小雅认为在此次讲题比赛中，女同学成绩比男同学成绩好，你同意吗？请选择适当的统计量说明你的观点.
22. （8分）如图11，在△ABC中，D是BC的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE.
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）①若AB=5，则AC的长为 时，四边形BECF是菱形；
②若AB=5，BC=6，且四边形BECF是正方形，则AF的长为 .
图11
23. （10分）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元.
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）商场售出足球的数量比篮球数量的还多10个，且获利超过1300元，问：篮球最少售出多少个？
（3）商场计划用不超过10 350元购进两种球共100个，问：分别购进篮球和足球多少个，能使商场获利最大？最大利润是多少？
24. （12分）综合与探究
在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，过点A作x轴的垂线交反比例函数y=（x>0）的图象于点B，以AB为边作矩形ABCD，使顶点C落在反比例函数y=（x<0）的图象上，顶点D落在x轴负半轴上，BC与y轴正半轴交于点P，设动点A的横坐标为m，如图12-①，当m=2时，四边形OPCD恰好为正方形.
（1）求点B，C的坐标，并求出反比例函数y=（x<0）的表达式；
（2）如图12-②，在点A的运动过程中，求线段BC的长；（用含m的代数式表示）
（3）如图12-②，在点A的运动过程中，是否存在某一时刻使矩形ABCD的长是宽的倍？若存在，直接写出相应m的值；若不存在，请说明理由.
① ②
图12
期末自我评估 参考答案
答案速览 一、1. D 2. B 3. A 4. C 5. B 6. B 7. B 8. C 9. C 10. D 二、11. x≠4 12. 90° 13. 91 14. y=-3x-1 15. -6 16. 三、解答题见“答案详解”
答案详解
10. D 解析：连接BD.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠ADB=∠ADC=60°.所以△ABD是等边三角形.所以∠A=60°，AD=BD.因为△DEF是等边三角形，所以∠EDF=∠DEF=60°.又因为∠ADB=60°，所以∠ADB-∠EDB=∠EDF=∠EDB，即∠ADE=∠BDF.由菱形的性质，得∠ABC=∠ADC=120°，所以∠DBC=∠ABC=60°.在△ADE和△BDF中，因为∠ADE=∠BDF，AD=BD，∠A=∠DBF，所以△ADE≌△BDF（A.S.A.）.所以AE=BF.由题意，得AE=t，CF=2t，所以BF=BC-CF=5-2t.所以t=5-2t，解得t=.
16. 解析：由图可知，当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动的距离是4时，直线经过点B；当移动的距离是6时，直线经过点D.所以AD=6-1=5.设直线经过点D时，交BC于点N，则DN=2.如图，作DM⊥BC于点M，所以∠DMN=90°.因为直线的表达式为y=x，结合平移的性质，得∠DNM=45°.所以∠NDM=90°-45°=45°.所以∠NDM=∠DNM.所以DM=NM.在Rt△DMN中，由勾股定理，得2DM2=DN2，即2DM2=4，解得DM=（负值舍去）.由平行四边形的性质，得BC=AD=5，所以S ABCD=BC·DM=.
三、17. 解：（1）方程两边同时乘2（x-1），得2x=-3x+2（x-1），解得x=-.
检验：当x=-时，2（x-1）≠0.
所以x=-是原方程的解.
（2）原式==a+2.
当a=-1时，原式=-1+2=1.
18. 解：（1）
（2）将A（1，-2）代入y=ax-5，得a-5=-2，解得a=3.
将A（1，-2）代入y=2x+b，得2+b=-2，解得b=-4.
19. （1）证明：因为四边形ABDE是平行四边形，所以BD∥AE，BD=AE.
因为D是BC的中点，所以BD=CD.所以AE=CD.
又因为AE∥CD，所以四边形ADCE是平行四边形.
因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.所以∠ADC=90°.
所以 ADCE是是矩形.
（2）解：因为四边形ADCE是矩形，所以AO=CO=DO=EO.
因为∠AOE=60°，所以△AOE是等边三角形.
所以AO=AE=4，AC=2AO=8.
20. 解：（1）设p与V的函数表达式为p=.
将（0.04，120）代入，得k=pV=120×0.04=4.8，所以p=.
将p=150代入，得150=，解得V=0.032.
因为k=4.8＞0，V>0，所以p随V的增大而减小.所以当V≥0.032时，气球不会爆炸.
所以≥0.032，解得r≥0.2.所以气球的半径至少为0.2 m时，气球不会爆炸.
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎.
21. 解：85 80 45
（2）85
（3）答案不唯一，如同意.理由如下：
因为男、女同学成绩的平均数相同，但女同学成绩的方差小于男同学，成绩波动小，所以女同学的成绩更好.
或不同意.理由如下：
因为男同学成绩的中位数和众数均大于女同学，所以男同学成绩比女同学成绩好.
22. 解：（1）因为D是BC的中点，所以BD=CD.
因为CF∥BE，所以∠CFD=∠BED.
在△CFD和△BED中，因为∠CFD=∠BED，∠FDC=∠EDB，CD=BD，所以△CFD≌△BED（A.A.S.）.
所以CF=BE.
又因为CF∥BE，所以四边形BFCE是平行四边形.
（2）①5 解析：因为四边形BECF是菱形，所以BC⊥EF.
因为D是BC的中点，所以AE垂直平分BC.
所以AC=AB=5.
②1 解析：四边形BEFC是正方形，所以EF⊥BC，EF=BC=6.所以DF=EF=3.
因为D是BC的中点，所以BD=CD=3.
所以AD===4.
所以AF=AD-DF=4-3=1.
23. 解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元.
根据题意，得，解得x=90.
经检验，x=90是原方程的解.
x+30=90+30=120.
答：足球的单价为90元，篮球的单价为120元.
（2）设篮球售出m个，则足球售出个.
根据题意，得（150-120）m+（110 90）＞1300，解得m＞30.
因为m，为正整数，所以m的最小值为33.
答：篮球最少售出33个.
（3）设购进篮球n个，则购进足球（100-n）个.
根据题意，得120n+90（100-n）≤10 350，解得n≤45.
设商场获利w元.根据题意，得w=（150-120）n+（110-90）（100-n）=10n+2000.
因为10＞0，所以w随n的增大而增大.
所以当n=45时，w有最大值，最大值为10×45+2000=2450（元）.
此时购进足球100-45=55（个）.
答：购进篮球45个，购进足球55个时，商场获利最大，最大利润为2450元.
24. （1）因为AB⊥x轴，所以当m=2时，点B的横坐标为2.
将x=2代入y=，得y=3.所以B（2，3）.所以AB=3.
由题意知四边形OABP为矩形，所以OP=AB=3.
因为四边形OPCD是正方形，所以OD=CD=CP=OP=3.所以C（-3，3）.
将C（-3，3）代入y=中，得3=，解得k=-9.
所以反比例函数的表达式为y=.
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以BC=AD.
由图可知点B的横坐标为m，将x=m代入y=，得y=.所以B.
将y=代入y=，得=，解得x=.所以C.
所以BC=AD=m-=.
（3）存在.理由如下：
由（2）知BC=，B，C，所以AB=.
当AB=BC时，=×，解得m=2或m=-2（舍去）；
当BC=AB时，=×，解得m=或m=（舍去）.
综上，当m的值为2或时，矩形ABCD的长是宽的倍.

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