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期中自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在函数y=-中，自变量x的取值范围是（　　）
A. x＞4 B. x＞-2 C. x≠-2 D. x＜-2
2. 在平面直角坐标系中，点M（4，-3）到x轴的距离为（　　）
A. 4 B. 3 C. -4 D. -3
3. 下列各式中，与分式的值相等的是（ ）
A. B. C. - D. -
4. 已知点M（1，2）在双曲线y=上，则其图象一定分布在（　　）
A. 第一、二象限 B. 第二、四象限
C. 第二、三象限 D. 第一、三象限
5. 若点A（1，y1），B（2，y2）在一次函数y=2x-1的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A. y1＞y2 B. y1=y2
C. y1＜y2 D. 无法确定
6. 已知分式（m，n为常数）满足下表的信息：
x -4 2 a 0
无意义 0 1 b
则下列结论中错误的是（　　）
A. n=6 B. m=4 C. a=-5 D. b=-
7. 如图1是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点.秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡；秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如下表所示：
x（克） 1 3 5 7 9
y（毫米） 10 14 18 22 26
由表中数据可知，y与x的函数关系式为（　　）
A. y=2x+8 B. y=x+9
C. y=-x+11 D. y=-2x+12
8. 如图2，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA.若△OAB的面积为，则k的值（　　）
A. B. C. D.
图2 图3
9. 小明在解关于x的分式方程=-2时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案为此方程有增根，则被污染的数字为（　　）
A. -2 B. -1
C. 1 D. 2
10. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因.运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在40 mg/L以下；运动员运动后，如果血乳酸浓度降到50 mg/L以下，就基本消除了疲劳.体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化的图象（如图3，实线表示采用慢跑活动方式放松时血液乳酸浓度的变化情况，虚线表示采用静坐方式休息时血液乳酸浓度的变化情况），下列叙述不正确的是（　　）
A. 体内血乳酸浓度和时间是变量
B. 当t=20 min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150 mg/L
C. 采用静坐方式放松时，运动员大约30 min后就能基本消除疲劳
D. 运动员进行完剧烈运动，采用慢跑方式比静坐能更快达到消除疲劳的效果
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 化简+的结果是 .
12. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000 007 6克，将数据0.000 000 007 6用科学记数法表示为 .
13. 直线y=-x+3与直线y=mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为_____________.
14. 如图4，双曲线y=与直线y=mx相交于A，B两点，点B的坐标为（-2，-3），则点A的坐标为___________.
图4 图5
15. “孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们所住驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时x公里，则可列方程为 .
16. 如图5-①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图5-②所示，则y的最大值为 .
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17. （每小题3分，共6分）计算：
（1）+（π-3）0-+（-1）2024； （2）÷.
18. （7分）下面是乐乐同学解分式方程1-=的部分过程：
解：方程两边同乘 ，得1-（x-3）=6x.
去括号，得1-x+3=6x.
移项、合并同类项，得-7x=-4.
系数化为1，得x=.
（1）这位同学解题过程中横线处应填 ，解题过程缺少的步骤是 ；
（2）乐乐反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请你帮他写出正确的解答过程.
19. （7分）很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜.研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图6所示.
（1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？
（2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了 度.
图6
20. （8分）近年来，国产汽车因其配置丰富、空间大、售价低等优点受到越来越多车主的青睐.金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车：
燃油车 新能源车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元 电池电量：60千瓦·时
电价：0.6元/千瓦·时
续航里程：a千米
每千米行驶费用： 元
（1）用含a的代数式表示新能源车每千米的行驶费用是 元；
（2）若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车每千米的行驶费用.
21. （8分）小明在观看2024年世界泳联世锦赛后对游泳产生了浓厚的兴趣，计划在假期练习游泳.某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x（次），所需费用为y（元），选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图7所示.
根据图象信息，解答下列问题：
（1）分别求出甲、乙两种消费卡对应的函数表达式；
（2）两图象交点B的坐标是______________；
（3）请根据游泳次数确定选择哪种卡消费比较合算.
22. （8分）定义：两个分式A与B满足：|A-B|=3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”.
（1）下列三组分式：①与；②与；③与.其中互为“美妙分式”的有_____________；（填序号）
（2）求分式的“美妙分式”.
23. （10分）【问题情境】老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线y=-2x向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式.
小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为y=-2x+3；
小谢认为平移前后直线y=kx+b中的“k”不变，只要求出b的值即可.他的方法是：在原直线上任意找一点，如点A（1，-2），先把点A按要求平移，得到相应的对应点A'，再用待定系数法求过点A'的直线的函数表达式.在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证：
【解决问题】
（1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点A（1，-2）向上平移3个单位长度后的对应点A'的坐标为_____________，利用待定系数法求得过点A'的直线的函数表达式为 ；
（2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线y=-2x向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线y=-2x向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线；
【拓展应用】
（3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”.请你求出将直线y=-2x进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式.
24. （12分）如图8，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y=（x＜0）和y=（k＞0，x＞0）的图象上，连接BD交y轴于点M.已知AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB=3，DC=2.
（1）求反比例函数y=和BD所在直线的函数表达式；
（2）连接OB，OD，△ODB的面积为 ；
（3）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究：是否存在点P，Q，使得以AP为腰的△APQ是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
图8
期中自我评估 参考答案
一、1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C 7. A 8. A 9. B 10. C
二、11. 2 12. 7.6×10-9 13. 14. （2，3） 15. -=1 16. 3
三、17. （1）1. （2）.
18. 解：2（x+1） 检验
（2）方程两边同乘2（x+1），得2（x+1）-（x-3）=6x.
去括号，得2x+2-x+3=6x.
移项，得2x-x-6x=-2-3.
合并同类项，得-5x=-5.
系数化为1，得x=1.
检验：把x=1代入2（x+1），得2（x+1）≠0.
所以x=1是分式方程的解.
19. 解：（1）设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的函数表达式为y=.
将（0.25，400）代入，得400=，解得k=100.
所以反比例函数的表达式为y=.
当y=200时，x==0.5.
答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米.
（2）25
20. 解：（1）
（2）根据题意，得-=0.54.解得a=600.
经检验，a=600是原方程的解.
所以=0.6，=0.06.
答：燃油车每千米的行驶费用为0.6元，新能源车每千米的行驶费用为0.06元.
21. 解：（1）设甲种消费卡对应的函数表达式为y=k1x.
将（4，120）代入，得k1=30.
所以甲种消费卡对应的函数表达式为y=30x；
设乙种消费卡对应的函数表达式为y=k2x+b.
将（0，120），（16，440）代入，得解得
所以乙种消费卡对应的函数表达式为y=20x+120.
（2）（12，360）
（3）由图象可知，当x=12时，选择两种卡的费用相同；
当x＜12时，选择甲种消费卡比较合算；
当x＞12时，选择乙种消费卡比较合算.
22. 解：（1）②③
（2）设分式的“美妙分式”为A，则=3.
所以=3或=-3.
当=3时，A=3+=；
当=-3时，A=-3+=-.
所以分式的“美妙分式”为或-.
23. 解：（1）（1，1） y=-2x+3
（2）y=-2x-6 下 6
（3）取直线上的点A（1，-2）进行一次“斜平移”后对应点的坐标为（-2，1），进行两次“斜平移”后对应点的坐标为（-5，4）.
设两次斜平移后直线的函数表达式为y=-2x+n.
将（-5，4）代入，得4=-2×（-5）+n，解得n=-6.
所以两次斜平移后直线的函数表达式为y=-2x-6.
24. 解：（1）因为点B在反比例函数y=上，AB⊥x轴，AB=3，所以=3，解得x=-2.
所以B（-2，3）.
因为O是线段AC的中点，所以C（2，0）.
因为DC⊥x轴，DC=2，所以D（2，2）.
将D（2，2）代入y=中，得k=4.所以反比例函数的表达式为y=.
设直线BD的函数表达式为y=mx+n.
将B（-2，3），D（2，2）代入，得解得
所以直线BD的表达式为y=.
（2）5
（3）存在，点P的坐标为（-2，2）或.
解析：设直线OB的表达式为y=ax.将B（-2，3）代入，得a=.所以直线OB的表达式为y=x.
设Q.①当∠PAQ=90°时，AP=AQ，此时点Q与原点O重合，所以P（-2，2）；
②如图，当∠APQ=90°时，AP=PQ，所以t-（-2）=t，解得t=.所以AP=PQ=-（-2）=.所以P.
综上，存在P（-2，2）或P，使得以AP为腰的△APQ是等腰直角三角形.

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