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第一章整式的乘除单元复习拔尖卷北师大版2025—2026学年七年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．某人工智能研究实验室新推出一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
4．若，，则 等于（ ）
A．1 B．9 C．3 D．
5．下列多项式的乘法可用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．若，则（ ）．
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知，，则 ________．
10．已知，则值为_________．
11．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________．
12．利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：．其中，．
14．定义，如．已知（为常数），．
(1)若，求的值；
(2)若中的满足，且，求的值．
15．如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形．
(1)用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长；
(2)A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？
16．（1）若，，求的值；
（2）若，求的值．
17．若，，求：
(1)，
(2)．
18．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，
，．
．
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则的值为____________；
(2)若，，求的值；
(3)如图，C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和，求的面积．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．C
4．D
5．C
6．D
7．D
8．D
二、填空题
9．12
10．9
11．
12．
三、解答题
13．【详解】解：（1）
；
（2）
，
当，时，
原式．
14．【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）解：1张A型卡片面积为，4张B型卡片面积为，张C型卡片面积为，则大正方形面积为，
∵大正方形面积为完全平方式，且，
∴，此时大正方形边长为，
答：的值为，大正方形的边长为．
（2）解：设大正方形边长为（p，q为正整数），则其面积为，对应A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，
由题意，，，，且，
要使面积最大，需最大，结合，优先增大，
时，，由得，取，
此时，，满足条件，
此时卡片总数为，
答：当所拼成的大正方形面积最大时，需要三类卡片共100张．
16．【详解】（1）解：根据完全平方公式，
变形得，
已知，，代入得：
．
（2）解：设，，
则 ，
已知，
则，
故．
17．【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
18．【详解】（1）解：∵，，
，
，
∴；
（2）解：∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
∴．
即；
（3）解：设，，
∴．
∴．
即．
∵，
∴．
∴．
由题意得，为直角三角形，
∴．
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