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第一章三角形的证明及其应用培优卷北师大版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．如图，在中，平分交边于，且．若，，则的周长为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．13
2．如图，在中，点D是上的点，，将沿翻折得到，若，则等于（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
3．如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
4．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
5．如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤，其中正确结论的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，是的中线，是上一点，连接并延长，与交于点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，若，，分别平分和，与交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边三角形中，D是的中点，点E，F分别在，上，且，，在上有一动点G，则的最小值为（ ）
A．3 B．7 C．9 D．12
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，，，，则的长为______．
10．如图，是的高，，，，则_____．
11．如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________．
12．中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为，腰长为12m，则腰上的高是__________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．如图，
(1)证明：；
(2)若点共线且满足，求的度数．
15．如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点F，E是边
上一点，并且．过点E作交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
16．如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、．
(1)求的度数；
(2)证明：是等边三角形．
17．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
18．如图，在中，，，点D在边上（点D不与点A重合）．
(1)如图1，若点D在边时，延长至点G，，过点D作，交于点E，过G作交延长线于点H．求证：．
(2)如图2，过点A作，垂足为F，射线交于点N，点Q在射线上，且，求证：．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．A
4．C
5．B
6．C
7．C
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：在中，，，
∴．
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
14．【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，
∴，
∵，，
∴，
又∵点共线且满足，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（1）可证，
∴，
∴．
16．【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
17．【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在和中，，
；
（2）解：由（1）可知：，
，，
，，
，
又，
，
，
．
18．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
在和中，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过C作交延长线于点E，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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