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第一章三角形的证明及其应用拔尖卷北师大版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应边都相等
C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的对应角都相等
2．对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．如图，中，，为上一点，且，为上一点，且，过作交于点，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，将长方形纸条沿着线段折叠，点对应点为、，线段与边交于点，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
7．如图，在中，，是边上的高，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，中，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．正确结论有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在中，，于点，．如果，那么______．
10．已知是的高，，，的度数是______．
11．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为______．
12．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为_________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．在三角形中，是角平分线，．
(1)如图（1），是高，，求的度数；
(2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由；
(3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）．
14．如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F．
(1)求的长；
(2)求证：．
15．如图，已知为的中点．
(1)如图1，求证：是等腰三角形．
(2)如图2，与交于点F，若，，求的长．
16．已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
17．如图，中，，为的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，连结，F是的中点，连结．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
18．已知，均为等腰直角三角形，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，在图1的基础上延长和相交于点G，过点A作于点F，若，，求的长；
(3)如图3，点D，E分别在，上，连接，过点D作于点H，过点A作交的延长线于点G，连接，求证：．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．D
5．C
6．D
7．C
8．C
二、填空题
9．6
10．或
11．或
12．10
三、解答题
13．【详解】（1）解：如图1所示：
平分，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：结论．
理由如下：过作于，如图2所示：
，
，
，
由（1）可得，
；
（3）解：结论仍成立．
过作于，如图3所示：
，
，
，
由（1）可得，
．
14．【详解】（1）解：，
，
，
，
故的长为；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
15．【详解】（1）证明：∵，
∴和是直角三角形，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：过点E作于G，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
16．【详解】（1）证明：∵，，点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：∵，点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
由（1）知：平分，
∴．
17．【详解】（1）连结，
∵，
∴
∵，
∴
∵，为的中点，
∴，
∴为等腰三角形，
∵F是的中点，
∴；
（2）设，则，
∵
∴
在中，，
，
∴，
即，
解得（舍去），，
∴．
18．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，均为等腰直角三角形
∴，
∴
∴；
（2）解：连接，作于点N，
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：在上取点M，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
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