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1.3乘法公式课后培优提升拔尖训练北师大版2025—2026学年七年级数学下册
一、选择题
1．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是完全平方式，则的值是（　　）
A．-6 B．6 C． D．±36
3．如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（ ）个．
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，，，当，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
6．若，，则下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
7．已知，则的值是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
8．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果，那么的值为____________．
10．已知，则____________．
11．已知，，则_______．
12． 已知实数满足，，则的值为_______．
三、解答题
13．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，求代数式的值．
14．（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
①若，求的值；
②已知，请利用上述等式求的值．
15．有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）．
(1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______；
(2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除；
(3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由．
16．如图1，一个长为2a，宽为2b的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形．
(1)根据图1和图2，写出，，ab之间的一个等量关系________；
(2)利用（1）中的结论解决下列问题：，，求的值；
(3)如图3，正方形ABCD和正方形EFGH面积之和为136，点E，点F在边AB上，若，求图中阴影部分的面积．
17．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】
已知代数式，则A的最小值为__________；
(2)【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】
已知实数x和y满足，求的最大值．
18．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形．
数学思考：
(1)图1可以推导出的乘法公式为________，图2可以推导出的乘法公式为________；
(2)若，，求及的值；
(3)若，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．D
5．A
6．C
7．B
8．B
二、填空题
9．9
10．4
11．
12．
三、解答题
13．【详解】解：（1）原式
．
当时，原式．
（2）原式
．
，
∴原式．
14．【详解】解：（1）
；
故答案为：，；
（2）①，，
，
；
②，，
，
．
15．【详解】（1）解：将表示为两个连续正奇数的平方差：；
故答案为：，；
（2）证明：由题意得，，
为正整数，
能被8整除，
∴对任意的正整数，一定能被8整除；
（3）解：是，
∵，
又是第个“特征数”，由（2）可知，
，
为正整数，
∴该数是第个“特征数”．
16．【详解】（1）图整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为，
；
故答案是：．
（2），，
，
；
（3）设，，则，，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积为．
17．【详解】（1）解：，
因为所以，当时，，
因此有最小值，最小值为，即的最小值为，
A的最小值为；
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
甲菜地的面积，
乙菜地的面积，
，
因为，所以，
即，
所以；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
当时，取最大值，
故的最大值为．
18．【详解】（1）解：图；图；
故答案为：；；
（2）解：，，
，
的值为；
∵,
∴或；
（3）解：设，，
，
，
，

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