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专题02 几何作图问题（7大题型）
几何作图是中考数学基础必考题型，多以填空、作图题呈现，分值 5-8 分，整体难度偏基础，是中考必拿分模块。该专题聚焦 7 大核心题型，其中角的平分线、线段垂直平分线、格点作图、无刻度直尺作图为全国中考高频考点，作圆及切线问题常与圆的性质结合考查，部分考题会融入简单的几何计算或证明，载体多为三角形、圆、平行四边形、网格等基础图形。从命题趋势来看，网格中的无刻度直尺作图是考查热点，作圆及切线问题逐渐向 “作图 + 性质应用” 小综合过渡，格点作图也从正方形网格延伸至正三角形网格。备考核心在于熟记各类作图规范步骤，理解作图背后的几何定理，严格遵循工具使用要求，保留完整作图痕迹，同时针对格点作图、无刻度直尺作图等高频题型，掌握 “借网格定位置”“找交点用性质” 的解题思路，通过实操和真题精练规避痕迹缺失、半径选择不当、关键点定位错误等常见失分问题。
题型一： 作一条线段等于已知线段
1．（2025·贵州贵阳·三模）如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作一条线段等于已知线段，
根据平行四边形的性质得，再根据题意得，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
根据题意，得，
∴．
故选：A．
2．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得
∴四边形是菱形，则，
又∵，
∴
故选：D．
借助圆规截取已知线段的长度，以指定端点为圆心，已知线段长为半径画弧，与指定射线相交得到等长线段； 2. 作图时保持圆规半径不变，确保线段长度精准，标注对应端点与相等线段标识。②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
1．（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______．
【答案】5
【分析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出，即可求解．
【详解】解∶由作图可知∶ ，
∵，
∴，
故答案为∶5．
2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，根据作图证明四边形是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解：由作图可知，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴,
故选项A 、B、 D正确；
无法证明，即不一定成立．
故选：C．
3．（2025·吉林松原·模拟预测）小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心，任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图可得，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可得出答案．
【详解】解：由作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由题意无法说明，
结合选项可知，A、B、D选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；
故选：C．
题型二：作一个角等于已知角
1．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得．
【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意；
∴，，故B、C结论都正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
2．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．
【详解】解：由作法得：，
根据题意无法得到与的大小关系，
所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，故D选项正确；
题干中没有说明的大小关系，
∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；
根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误；
故选：D
以已知角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点；2. 以新作角的顶点为圆心，相同长度为半径画弧，交新作角的一边于一点；3. 以该交点为圆心，已知角上两弧交点间的距离为半径画弧，与前弧相交，连接新作角顶点与交点即得等角； 4. 全程保持圆规半径匹配，弧的交点定位准确，标注角的相等标识。
1．（2025·吉林长春·一模）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由作图可得，，，，从而利用即可证明，从而得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：由作图可得，，，，
∴，
∴判定的依据是，
故选：A．
2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
3．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，中，，，是的角平分线．
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F．
②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G．
③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
④画射线．
⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M．
⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题：
(1)求的度数；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由作图可知，，由，，是的角平分线，得，，，过M作于点K，可得四边形为矩形，得，即得；
（2）设，则，由矩形及平行线的性质得，由正切关系得，在中，由正切关系求得，即可求解．
【详解】（1）解：根据作图可知，．
，，
为等腰直角三角形，，
又是的角平分线，
，，
∴，
过M作于点K，则，如图所示：
是的角平分线，，
，即，
，
，
∴四边形为矩形，
，
；
（2）解：设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
，
，
即，
在中，，
即，
．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角函数等知识，掌握这些知识是关键．
题型三：作一个角的平分线
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解．
【详解】解：由作图知，平分，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
故选：A．
2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可．
【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，，
∴，
∴的周长为；
故选B
1. 以角的顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交角的两边于两点；2. 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角内部相交于一点；3. 连接角的顶点与该交点，所得射线即为角的平分线；4. 注意两弧相交需在角内部，半径长度需保证两弧能相交，标注角平分线与相等角标识。
1．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则_______．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理．
作交于I，根据菱形的性质可知，由作图可知平分，即，进而根据三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，作交于I，
∵菱形，
∴，即，
由作图可知平分，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为________．
【答案】
【分析】本题考查了几何作图、垂直平分线的性质、正切、坐标与图形，熟练掌握几何作图的一般步骤是解题的关键．由作图可知，，为的垂直平分线，设，结合正切值可求出点C的坐标，再根据垂直平分线的性质可求出点B的坐标，直线所在直线为，设直线解析式为，利用待定系数法可求出解析式，联立两直线求解即可得出答案．
【详解】解：由作图可知，，为的垂直平分线，
，
，
设，
，
，，
，，
，
，直线所在直线为，
设直线解析式为，
，
解得：，
，
联立，
，
点的坐标为．
故答案为：．
3．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求；
（2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵由折叠可得，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
题型四：作线段的垂直平分线（作垂线问题）
1．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可.
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，而，
∴，
∴，
故选：C
2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．
根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图 复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解．
【详解】解：连接，
由作法得平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为；
②在射线上截取；
③连接，作线段的垂直平分线交于点O；
④以点O为圆心，的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键．
根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可．
【详解】解：由题意，作图如下，即为所求：
1. 分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度的相同半径画弧，两弧分别在线段两侧相交于两点；2. 连接这两个交点，所得直线即为线段的垂直平分线；3. 若仅作线段的垂线（过中点 / 指定点），可依托垂直平分线作图法，过指定点作垂直即可；4. 半径需保证两侧均有交点，作图后标注垂直符号与中点标识，验证平分且垂直的性质。
1．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解．
【详解】解：由作图可知：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键：
（1）根据作图可知，结合，即可得证；
（2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：由作图可知，．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得．
∴．
∴，
∴，
∴．
由（1）知，
∴．
∵且，
∴．
∴．
∵，设，则，即．
解得或（舍去）．
∴的长为．
3．（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
(2)求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可；
（2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
题型五： 作圆及切线问题
1．（2026·陕西西安·一模）如图，点A在外，求作的一条直径，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】要作出的直径使，需利用线段垂直平分线的性质，延长交于两点，作线段的垂直平分线即可．
【详解】如图所示
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1. 确定圆心位置，以指定长度为半径，用圆规绕圆心画弧即可得到圆；2. 若作三角形的外接圆 / 内切圆，先作边的垂直平分线（外心）/ 角的平分线（内心），再以圆心到顶点 / 边的距离为半径作圆。### 作切线1. 过圆上一点作切线：连接该点与圆心，过此点作圆心连线的垂线，垂线即为切线；2. 过圆外一点作切线：以圆外点与圆心的连线为直径作圆，与已知圆交于两点，连接圆外点与这两个交点，所得直线即为切线；3. 作图时标注圆心、半径、切点与垂直符号，确保切线与半径垂直。
1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于．
【答案】见解析
【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P．
【详解】解：如图，点P即为所作．
2．（2025·河南驻马店·三模）如图，与相切于点，且经过的中点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查过圆外一点作圆的切线，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质及弧长公式．
（1）根据题意得，以点C为圆心，为半径画圆交于点两点，由与相切于点，则，根据直径所对圆周角为得，即可解答；
（2）解直角三角形求出，进而求出，根据切线的性质证明，推出， 求出，再利用弧长公式即可解答．
【详解】（1）解：如图1，直线即为所求作的切线；
（2）解：与相切于点，
，
点为的中点，
，
，
，
，
与相切于点，
．
在和中，，
，
，
；
．
3．（2026·山东滨州·一模）如图，直线，被所截， ．
(1)请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用角平分线的性质，作与的角平分线，其交点即为圆心，再以到的距离为半径作圆，即可得到与、、都相切的．
（2）先根据切线长定理得到线段相等关系，再通过作辅助线构造矩形和直角三角形，最后利用勾股定理建立等式，化简得出与的函数关系式．
【详解】（1）解：分别作和的角平分线，两条角平分线交于点．
过点作于，以为圆心，为半径作圆，即为所求．
（2）解：如图，连接，，过点作．
∵分别与，，相切于点，，， ，
∴，，
∴，，点，，共线．
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形．
∴，，
∴，
在中，，
∴，
化简得，．
∴与的函数关系式为
题型六： 格点作图问题
1．（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．）
(1)画出关于对称的；
(2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点图形中的轴对称作图和相似三角形的无刻度直尺作图，解题的关键是利用正方形格点的坐标或边长特征确定对称点位置，以及结合网格等分线段和构造平行线实现相似比要求．
（1）通过观察格点中的位置，利用对称点到的格点距离相等的特征，在另一侧找到B的对称点，连接、完成轴对称作图；
（2）先根据网格确定的格点长度，按的相似比在上找到点D，使，则，再利用格点中与平行的连线与交于点E，于是满足．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，点D、E即为所求．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上．
(1)将线段向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，画出四边形，并直接写出四边形的周长；
(2)在（1）的条件下，在线段上画点，连接，使．（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】本题考查作图-平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；结合勾股定理计算即可．
（2）取格点,连接交于点，则点为的中点；作格点,使，连接,交于点，则垂直平分，则点E即为所求．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求．
由勾股定理得，，
∴四边形的周长为；
（2）解：如图，取格点,连接交于点，则点为的中点；作格点,使，连接,交于点，则垂直平分，连接，
则点E即为所求．
1. 利用格点的横竖垂直、等距特性，借助网格线作平行线、垂线、等长线段；2. 结合格点计算线段长度、角度大小，利用勾股定理找等长线段、直角，利用网格对角线作特殊角；3. 作对称图形、平移 / 旋转图形时，依托格点确定关键点的对应位置，再连接关键点；4. 作图后利用格点验证图形性质，标注关键点与网格中的对应标识。
1．（2025·吉林·三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)在图①中，作的中线，高线，则______（填“>”、“=”或“<”）
(2)在图②中，作以为直径的圆O的切线（点E为格点）．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）根据三角形的高，中线的定义画出图形，再根据垂线段最短判定大小；
（2）取格点E，作直线，可得，直线即为所求．
【详解】（1）解：如图，的中线，高线即为所求，．
故答案为：；
；
（2）解：如图，直线即为所求．
．
2．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，过点作的垂线；
(2)在图②中，在上找一点，连结，使；
(3)在图③中，在上找一点，连结，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，格点作图题，利用斜边的中线等于斜边的一半，，解题关键是斜边的中线等于斜边的一半．
（1）取格点E，连结即可；
（2）取格点E，连接交于点M，连接，点M即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）；
（3）取格点F，H，连接交于点N，连接，点N即为所求（斜边的中线等于斜边的一半）．
【详解】（1）解：如图所示：
直线即为所求；
（2）如图所示：
，为中点，
∴，
点M即为所求；
（3）如图所示：
，为中点，
∴，
∴点N即为所求．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画的中线；
(2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使；
(3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使；
(4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点；
（2）连接，可证为边中线，则与的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点；
（3）连接，可证明四边形为平行四边形，所以，则与交点即为点；
（4）因为，所以，若使，即使，即使，利用平行线分线段成比例定理作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接即为所求；
∵四边形为矩形，
∴为的中点，
连接即为△ABC的中线；
（2）解：如图，连接与交于点，点即为所求；
为中点，
∴为边中线，
则与的交点为三角形的重心，
根据重心性质可知，
∴点即为所求；
（3）解：如图，连接交于，即为所求；
，
∴四边形为平行四边形，
∴，
则与交点即为点，
故即为所求；
（4）解：如图，连接，与交于点，点即为所求；
∵，
∴四边形为平行四边形，
，
，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点即为所求．
【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
题型七： 无刻度直尺作图
1．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段．
（1）可证，则，因，，，即．
（2）可证，则，又，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段．
如图，则，因，
∴，
∴，即．
（2）如图，即为所求作的平行线．
如图，，则，又，
∴，
∴．
2．（2025·江西吉安·二模）如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在①中作出一条矩形的对称轴；
(2)在图②中以为腰作一个等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形和等腰直角三角形的性质及无刻度直尺作图，解题的关键是利用矩形的对称性和等腰直角三角形的性质找到作图的关键点．
（1）利用矩形的中心对称性，结合等腰直角三角形的顶点，作出过矩形中心的直线即为对称轴；
（2）根据矩形对边相等和等腰直角三角形的性质，找到与CD相关的等腰直角三角形的顶点，连接得到图形．
【详解】（1）解：如图①，直线即为所求；
（2）如图②，即为所求．
1. 借助图形本身的性质（如三角形的中线、高线、角平分线，圆的直径、弦、圆心角等），利用直线相交找关键点；2. 利用平行线、相交线的性质作等角、等长线段，依托图形的对称性、相似性确定作图路径；3. 无刻度直尺仅能作直线、连接两点，需结合图形固有特征，不借助圆规等工具的度量功能；4. 作图时标注关键交点，简述作图依据，验证所作图形符合题目要求。
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
(1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且；
(2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹．
【答案】(1)见详解
(2)见解析
【分析】此题考查了勾股定理与网格、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据网格的特点和勾股定理即可作图；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形三线合一进行作图即可；
【详解】（1）解：如图，即为所求，
证明：∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，即为所求，
∵点H是矩形的对角线的交点，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
即边上的高为；
2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图．
(1)将向左平移 2 个单位，再向上平移 6 个单位得到；
(2)画出关于轴对称后得到的；
(3)请用无刻度的直尺在上取一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图﹣平移变换及轴对称变换：作图时要先找到图形的关键点；还考查了格点作图．
（1）先作出点平移后的点，再依次连接即可；
（2）先作出点关于y轴对称的点，再依次连接即可；
（3）取格点D，连接，交于点M．
【详解】（1）解：即为所求；
（2）解：即为所求；
（3）解：点M即为所求．
3．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点，
①求__________；
②求的半径；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②
(3)见解析
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证；
（2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可；
（3）利用尺规作图作，即可．
【详解】（1）解：，
四边形为平行四边形，
又，且为中点
，
平行四边形为菱形．
（2）①四边形为菱形．
，
，
又，
，
，
切于，
，
；
；
②设半径为，
，
，
，，
；
解得：；
（3）由题意，作图如下：
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
1．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且，
∴，，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
B、由作图知，是的平分线，且，
∴，，不能说明与相等，
∴与不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知，，
∴四边形是菱形，
∴，故本选项不符合题意；
D、由作图知，，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键．
由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误．
【详解】解：由作图可得，，
∴垂直平分，故②正确．
∵，，
∴平分，故③正确．
由作图可得，
∴，
∴，故⑤正确．
∵，但无法判断，
∴无法得到是等边三角形，故①错误．
∵，，但无法得到，
∴无法证明四边形是菱形，故④错误．
综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个．
故选：B
3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____．
【答案】/
【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解．
【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长，
由作图可知，平分，
∵，
∴，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________．
【答案】
【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标．
方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错．
首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标．
【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G，
根据题意得平分，，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的坐标为．
故答案为：．
解法二：解：∵，，设直线的解析式为：,
∴，
解得：，
直线的解析式为：,
是的角平分线，，
所在直线的解析式为．
联立方程组：
将代入中，得到：
，
解得．
，
．
所以，直线与的交点F的坐标为．
故答案为：．
5．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
(1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形是菱形．
【答案】(1)；射线平分
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定．
（1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质．
（2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，
∴，
∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，
∴射线平分．
故答案为：；射线平分．
（2）证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，
∴，
∵射线平分，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
6．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，

∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数）
【答案】(1)画图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
8．（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
(1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积．
(2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）旋转变换的性质作出点的对应点即可，连接交网格线于点，作直线交于点即可；
（2）取格点，连接交于点，取格点，网格线的中点，连接交于点，作直线交于点，直线即为所求．
【详解】（1）解：如图，点，直线即为所求．
（2）解：如图，点，直线即为所求．
9．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上．
小明的作法如下：
如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，，
又因为，
所以 ．
所以，
所以平分，
即点为所求点；
【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】[任务阅读]；[实践操作]图形见解析；证明见解析．
【分析】本题考查了圆规作图——作角平分线，作一个角等于已知角，掌握知识点的应用是解题的关键．
[任务阅读]根据作图可知，作图可知，，又，所以，然后通过全等三角形性质即可求证；
[实践操作] 以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；然后根据平行四边形的判定和性质即可求证．
【详解】[任务阅读]解：理由：如图，连接，由作图可知，，
又因为，
所以，
所以，
所以平分，
即点为所求点，
故答案为：；
[实践操作]解：如图，以点P为圆心，的长为半径画弧，再以点B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点Q，即可；
理由：连接,
由作图可知，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点为所求．
10．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可.
（1）由题意得，根据是的角平分线即可求解；
（2）求出，得到；求出．．推出．即可求解；
【详解】（1）解：，
．
由作图可知，是的角平分线，
．
（2）解：在中，由三角形内角和定理得，
，
，
在中，，
．
．
．
．
，
．
11．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)，等角的补角相等；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设的交点为O，如图；
∵四边形是矩形，
∴；
∵对角线与互为双关联线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；

故答案为：；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
（2）解：是的外角，
．
是的外角，
．
，
．
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是．
，
线段与线段是双关联线段．
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5；
(2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）作，边上的高为，，，则；
（2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：点如图所示：
作，则，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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专题02 几何作图问题（7大题型）
几何作图是中考数学基础必考题型，多以填空、作图题呈现，分值 5-8 分，整体难度偏基础，是中考必拿分模块。该专题聚焦 7 大核心题型，其中角的平分线、线段垂直平分线、格点作图、无刻度直尺作图为全国中考高频考点，作圆及切线问题常与圆的性质结合考查，部分考题会融入简单的几何计算或证明，载体多为三角形、圆、平行四边形、网格等基础图形。从命题趋势来看，网格中的无刻度直尺作图是考查热点，作圆及切线问题逐渐向 “作图 + 性质应用” 小综合过渡，格点作图也从正方形网格延伸至正三角形网格。备考核心在于熟记各类作图规范步骤，理解作图背后的几何定理，严格遵循工具使用要求，保留完整作图痕迹，同时针对格点作图、无刻度直尺作图等高频题型，掌握 “借网格定位置”“找交点用性质” 的解题思路，通过实操和真题精练规避痕迹缺失、半径选择不当、关键点定位错误等常见失分问题。
题型一： 作一条线段等于已知线段
1．（2025·贵州贵阳·三模）如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
借助圆规截取已知线段的长度，以指定端点为圆心，已知线段长为半径画弧，与指定射线相交得到等长线段； 2. 作图时保持圆规半径不变，确保线段长度精准，标注对应端点与相等线段标识。②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
1．（2024·贵州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交于点D，连接．若，则的长为______．
2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．四边形是平行四边形
3．（2025·吉林松原·模拟预测）小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心，任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：作一个角等于已知角
1．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
以已知角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于两点；2. 以新作角的顶点为圆心，相同长度为半径画弧，交新作角的一边于一点；3. 以该交点为圆心，已知角上两弧交点间的距离为半径画弧，与前弧相交，连接新作角顶点与交点即得等角； 4. 全程保持圆规半径匹配，弧的交点定位准确，标注角的相等标识。
1．（2025·吉林长春·一模）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则．
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，中，，，是的角平分线．
①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F．
②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G．
③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
④画射线．
⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M．
⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题：
(1)求的度数；
(2)求的值．
题型三：作一个角的平分线
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A．5 B． C．8 D．
2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
1. 以角的顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交角的两边于两点；2. 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角内部相交于一点；3. 连接角的顶点与该交点，所得射线即为角的平分线；4. 注意两弧相交需在角内部，半径长度需保证两弧能相交，标注角平分线与相等角标识。
1．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则_______．
2．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为________．
3．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
题型四：作线段的垂直平分线（作垂线问题）
1．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．
根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　）
A． B． C．5 D．
3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为；
②在射线上截取；
③连接，作线段的垂直平分线交于点O；
④以点O为圆心，的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）
1. 分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度的相同半径画弧，两弧分别在线段两侧相交于两点；2. 连接这两个交点，所得直线即为线段的垂直平分线；3. 若仅作线段的垂线（过中点 / 指定点），可依托垂直平分线作图法，过指定点作垂直即可；4. 半径需保证两侧均有交点，作图后标注垂直符号与中点标识，验证平分且垂直的性质。
1．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
3．（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
求证：四边形是正方形．
题型五： 作圆及切线问题
1．（2026·陕西西安·一模）如图，点A在外，求作的一条直径，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
1. 确定圆心位置，以指定长度为半径，用圆规绕圆心画弧即可得到圆；2. 若作三角形的外接圆 / 内切圆，先作边的垂直平分线（外心）/ 角的平分线（内心），再以圆心到顶点 / 边的距离为半径作圆。### 作切线1. 过圆上一点作切线：连接该点与圆心，过此点作圆心连线的垂线，垂线即为切线；2. 过圆外一点作切线：以圆外点与圆心的连线为直径作圆，与已知圆交于两点，连接圆外点与这两个交点，所得直线即为切线；3. 作图时标注圆心、半径、切点与垂直符号，确保切线与半径垂直。
1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于．
2．（2025·河南驻马店·三模）如图，与相切于点，且经过的中点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规过点作出的另外一条切线，切点为．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求的长．
3．（2026·山东滨州·一模）如图，直线，被所截， ．
(1)请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式．
题型六： 格点作图问题
1．（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．）
(1)画出关于对称的；
(2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上．
(1)将线段向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，画出四边形，并直接写出四边形的周长；
(2)在（1）的条件下，在线段上画点，连接，使．（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．）
1. 利用格点的横竖垂直、等距特性，借助网格线作平行线、垂线、等长线段；2. 结合格点计算线段长度、角度大小，利用勾股定理找等长线段、直角，利用网格对角线作特殊角；3. 作对称图形、平移 / 旋转图形时，依托格点确定关键点的对应位置，再连接关键点；4. 作图后利用格点验证图形性质，标注关键点与网格中的对应标识。
1．（2025·吉林·三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)在图①中，作的中线，高线，则______（填“>”、“=”或“<”）
(2)在图②中，作以为直径的圆O的切线（点E为格点）．
2．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，、是线段与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，过点作的垂线；
(2)在图②中，在上找一点，连结，使；
(3)在图③中，在上找一点，连结，使．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画的中线；
(2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使；
(3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使；
(4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使．
题型七： 无刻度直尺作图
1．（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
2．（2025·江西吉安·二模）如图，以矩形的边为斜边作等腰，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在①中作出一条矩形的对称轴；
(2)在图②中以为腰作一个等腰直角三角形．
1. 借助图形本身的性质（如三角形的中线、高线、角平分线，圆的直径、弦、圆心角等），利用直线相交找关键点；2. 利用平行线、相交线的性质作等角、等长线段，依托图形的对称性、相似性确定作图路径；3. 无刻度直尺仅能作直线、连接两点，需结合图形固有特征，不借助圆规等工具的度量功能；4. 作图时标注关键交点，简述作图依据，验证所作图形符合题目要求。
1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）实践操作：如图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
(1)请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且；
(2)在（1）的条件下，仅用无刻度直尺作出边上的高，并保留作图痕迹．
2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，，按要求作图．
(1)将向左平移 2 个单位，再向上平移 6 个单位得到；
(2)画出关于轴对称后得到的；
(3)请用无刻度的直尺在上取一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
3．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点，
①求__________；
②求的半径；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
1．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____．
4．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________．
5．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
(1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形是菱形．
6．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数）
8．（2025·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3个4格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条．
(1)如图1，是格点，先将点绕点逆时针旋转，画对应点，再画直线交于点，使直线平分矩形的面积．
(2)如图2，先画点关于直线的对称点，再画射线交于点，使．
9．（2025·江苏宿迁·中考真题）实验活动：仅用一把圆规作图．
【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上．
小明的作法如下：
如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，，
又因为，
所以 ．
所以，
所以平分，
即点为所求点；
【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法）
10．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
11．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5；
(2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值．
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