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第八章 实数
8.1 平方根
第一课时
人教版(新教材)数学七年级下册
学习目标
1.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；
2.了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根.
情景导入
运算 加 减 乘 除 乘方
符号表示 + － × ÷
运算结果 和 差 积 商 幂
运算关系
？
互为逆运算
互为逆运算
平方
？
探究新知
【思考】
如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
因为 32 = 9，所以这个数可以是3；
又因为(-3)2 = 9，所以这个数也可以是 -3。
除了3以外，还有没有别的数的平方等于9呢？
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是可以是 3或-3。
探究新知
根据以上发现，尝试填写表格。
x2 1 16 36 49
x
±1
±4
±6
±7
如果我们把上述填表的 的值分别叫做 的平方根，你能据此总结平方根的概念吗？
探究新知
x2 1 16 36 49
x
±1
±4
±6
±7
一般地，如果一个数的平方等于，即 = ，那么这个数叫作的平方根或二次方根。
平方根的概念
求一个数的平方根的运算，叫作开平方。
例如：(±3)2 = 9，
3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根.　
探究新知
– 1
+ 1
+ 2
– 2
– 3
+ 3
1
4
9
– 1
+ 1
+ 2
– 2
+ 3
– 3
请完成下图填空，并思考两图中的运算有什么关系？
平方
开平方
互为逆运算
1
4
9
根据互逆关系，可以求一个数的平方根。
探究新知
平方根的概念：
一般地，如果一个数的平方等于，即= ，那么这个数叫做的平方根或二次方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
平方
开平方
互为逆运算
根据互逆关系，可以求一个数的平方根。
【总结】
新知应用
例1 求下列各数的平方根：
(1) 64;
(3) 0.01;
解：
(1) 因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8。
(3) 因为(±0.1)2=0.01，所以0.01的平方根是±0.1。
(2) 因为 ，所以 的平方根是 。
依据平方与开平方互逆的关系来解决问题
问题1：正数的平方根有什么特点？
正数有两个平方根，它们互为相反数。
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
···
探究新知
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
···
问题2：0的平方根是多少？
因为02=0，并且任何一个不为 0 的数的平方都不等于 0，所以 0 的平方根是 0.
探究新知
a 0 0.01 0.25 1 4 9 ···
a的平方根
0
±0.1
±0.5
±1
±2
±3
···
问题3：负数有平方根吗？
探究新知
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0 的平方是 0。即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数。所以负数没有平方根.
探究新知
平方根的性质：
正数有两个平方根，它们互为相反数.
0的平方根是0.
负数没有平方根.
【总结】
巩固练习
1.判断题。
(1) 1的平方根是1；
(2) -1的平方根是-1；
(3) 0.5是0.25的一个平方根；
(4) 0的平方根是0；
解：
(1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。
(2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。
(3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。
(4) 对。
【教材P41 练习第1题】
探究新知
思考： 的平方根是什么？
探究新知
自主学习41页例2上方的自然段；
1.正数 的正平方根如何表示？读作什么？ 叫做什么？
2.正数的负的平方根如何表示？
3.正数平方根如何表示？读作什么？
4.满足什么条件， 有意义; 为什么？
5. 2 的平方根是什么？
问题4 如何表示一个正数的平方根呢？
探究新知
1. 平方根的表示方法：
正数 的正的平方根记为，读作“根号”，叫作被开方数；
正数的负的平方根，可以用表示;
正数 的平方根用 表示．读作“正、负根号 ”
特别地，0的平方根记为.
探究新知
追问1. 表示什么？
9的正的平方根为 =
表示9的平方根.
9的负的平方根为 =
9的平方根为=
探究新知
正数有两个平方根，它们互为相反数.
正数 的平方根用 表示．
0的平方根是0.
负数没有平方根.
【总结】
追问2. 什么时候有意义？为什么？
表示一个数的正的平方根，而负数没有平方根，
且0的平方根是0，所以当 ≥ 0 时，有意义.
探究新知
1. 平方根的表示方法：
正数 的正的平方根记为，读作“根号”，叫作被开方数；
正数的负的平方根，可以用表示;
正数 的平方根用 表示．读作“正、负根号 ”
特别地，0的平方根记为.
2.只有当 ≥ 0 时， 有意义;而当< 0 时， 没有意义.
新知应用
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明
理由.
(1) 0.36;
(2) -5;
(3) (-4)2.
解：
(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根。
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根。
(3) 因为(-4)2 =16是正数，所以(-4)2有两个平方根。
巩固练习
2.求下列各数的平方根：
(2) 62
(3) 0.49
解：
(2) 因为62=36 ，(±6)2=36，所以62的平方根是±6。
(1) 因为 ，所以 的平方根是 。
(3) 因为(±0.7)2=0.49，所以0.49的平方根是±0.7。
【教材P42 练习第2题】
巩固练习
3.求下列各式中 x 的值：
(1) x2 = 25；
(2) 9x2 = 4；
(3) (x-1) 2 = 1；
解：
(1) 因为(±5) 2 = 25 ，所以 x =±5。
(2) 9x2 = 4 可化简为 ，又因为 ，所以 。
(3) 因为(x-1) 2 = 1，则 x-1=±1，所以x = 0 或 x = 2。
【教材P42 练习第3题】
拓展提升
1.的一个平方根是3，则另一个平方根是　 ，= .
2. 81的平方根是____， 的平方根是____ .
-3
9
3
拓展提升
3. 已知和7是正数的两个平方根，则 的值是( )
A.3 B.49 C.4 D.
D
拓展提升
4. 一个正数的两个平方根分别是2＋1和－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2＋1和－4，
则有2＋1＋－4＝0，即3－3＝0，
解得＝1.
所以这个数为(2＋1)2＝(2＋1)2＝9.
拓展提升
5. 3-2和2-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是___和___，这个数是___.
1
-1
1
拓展提升
6. 已知的平方根为，的平方根为 ，求 的平方根.
解：的平方根为，的平方根为， ,
，解得，， ，
的平方根为 .
课堂小结
平方根
概念：如果一个数x的平方等于，即 ，那么这个数 叫做的平方根或二次方根。
表示方法：正数的平方根记为：
性质
正数有两个平方根，它们互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
开平方：求一个数的平方根的运算。
平方与开平方互为逆运算
谢谢观看！

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