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第八章 实数
8.1 平方根
第二课时 算数平方根
人教版(新教材)数学七年级下册
学习目标
1. 了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.
2. 能正确区分平方根与算术平方根的意义.
3. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
正数有两个平方根，它们互为相反数。
a 9 0
a的平方根
±6
±
0
±3
复习回顾
上节课同学们已经学方根，请计算下列个数的平方根；
0的平方根是0.
a 9 0
a的平方根
±6
±
0
±3
探究新知
上节课同学们已经学方根，请计算下列个数的平方根；
正数
正平方根记为：
负平方根记为：
算数平方根
探究新知
算术平方根的概念：
正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作 的算术平方根.正数 的算术平方根用 来表示 .
a 9 0
a的平方根
±6
±
0
±3
探究新知
上节课同学们已经学方根，请计算下列个数的平方根；
比如： 9的算数平方根是3，表示为：
探究新知
算术平方根的概念：
正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作 的算术平方根.正数 的算术平方根用 来表示 .
规定：0 的算术平方根是 0. 0的算数平方根也记为
新知应用
例3 求下列各数的算数平方根：
(1) 100;
(3) 0.000 1;
解：
(2) 因为 ，所以 的算数平方根是 ，即 。
(1) 因为102=100，所以100的算数平方根是10，
即 。
(3) 因为0.012=0.000 1，所以0.000 1的算数平方根是0.01，
即 。
例3 求下列各数的算数平方根：
(1) 100;
(3) 0.000 1;
思考：比较三个数的大小以及它们各自算数平方根的大小，你发现了什么？
新知应用
从大到小
从大到小
＞
100
0.0001
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
探究新知
巩固练习
1. 求下列各数的算数平方根：
(1) 0.09;
(3) 52.
解：
(2) 因为 ，所以 的算数平方根是 ，即 。
(3) 因为52=25，所以52的算数平方根是5，即 。
【教材P43 练习第1题】
因为0.32=0.09，所以0.09的算数平方根是0.3，
即 。
巩固练习
2.求下列各式的值：
解：
【教材P44 练习第2题】
巩固练习
3.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162m2。它的长与宽分别是多少？
解：设长方形的宽是 x m，则长为2x m。
2x · x = 162
由长、宽的实际意义可知
x = 9
答：长方形的宽是9m，则长为18 m。
x = 9，则2x=18
【教材P44 练习第3题】
思考：算术平方根 中，可以取任何数吗？ 是什么数？
不可以. 被开方数 是非负数，即 >0 或 =0 .
是非负数，即 或=0 .
算数平方根 具有双重非负性.
①被开方数a一定是非负数，即a ≥ 0.
②算数平方根 也是一个非负数，即
探究新知
探究新知
平方根与算术平方根的区别与联系：
平方根 算术平方根
区别 个数
表示方法
结果
联系 关系 范围 特殊值0
一个
两个，且互为相反数
正数的算术平方根一定是正数
正数的平方根一正一负
平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根.
只有非负数才有平方根和算术平方根.
0 的平方根和算术平方根都是 0.
巩固练习
1.(1) 若一个数的算术平方根是 ，则这个数是_______.
(2) ① =_____， 的算术平方根是______；
② =______， 的算术平方根是 ______，（3）算术平方根是其本身的数是 ______.
13
4
2
5
0，1
4
巩固练习
2.下列各式是否有意义，为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
解：
（1）无意义；
（4）有意义．
（3）有意义；
（2）有意义；
探究新知
【探究】
怎样用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形。
设大正方形的边长为dm，则
x2=2
由边长的实际意义可知
所以大正方形的边长为 dm。
思考：小正方形的对角线的长是多少呢
小正方形的对角线的长等于大正方形的边长 dm
探究新知
【探究】
有多大呢？
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
因为 12=1，22=4 ，12< 2 < 22，
所以
1
4
确定 在哪 2 个连续的整数之间。
探究新知
【探究】
有多大呢？
a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
a2
1.21
1.44
1.69
1.96
2.25
2.56
2.89
3.24
3.61
因为 1.42=1.96，1.52=2.25 ，1.42< 2 < 1.52
所以
1.96
2.25
确定 在哪 2 个连续的一位小数之间。
探究新知
【探究】
有多大呢？
a 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49
a2
1.9881
因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164 ，1.412< 2 < 1.422，
所以
2.0164
2.0449
2.0736
2.1025
2.1316
2.1609
2.1904
2.2201
1.9881
2.0164
确定 在哪 2 个连续的两位小数之间。
探究新知
【探究】
有多大呢？
a 1.412 1.413 1.414 1.415 1.46
a2
因为 1.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225 ，1.4142 < 2 < 1.4152
所以
1.993 744
1.996 569
1.999 396
2.002 225
2.005 056
如此进行下去，可以得到 更精确的估计范围。
此种方法叫“夹逼法”
1.999 396
2.002 225
探究新知
【探究】
有多大呢？
如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围.事实上，
=1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数.
思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
你以前见过这种数吗？
实际上，很多正有理数的算术平方根 （例如，，等）都是无限不循环小数．
探究新知
用“夹逼法”求 近似值的步骤:
(1)通过估算，确定 在哪两个连续整数之间；
(2) 通过试算，确定 在哪两个连续的一位小数之间；
(3)通过试算，确定 在哪两个连续的两位小数之间；
......
如此反复，可求得 更精确的估计范围.
巩固练习
1. 估计 的值在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
B
解析：因为32=9，42=16，所以3＜ ＜4.
巩固练习
2. 4的算术平方根是 ( )
A.± B. C. ±2 D. 2
3. 下列说法正确的是 ( )
A. －1的算术平方根是－1
B. 0没有算术平方根
C.－1的相反数没有算术平方根
D. (－1)2的算术平方根是1
D
D
拓展提升
（3）若 ，则a= ；
（2）若 （m-7)2=0 ，则m= ；
（4）若 ，则代数式 =___.
（1）若|a+3|=0 ， 则a= ；
-3
7
5
-1
1.求下列各式中字母的值.
拓展提升
求 x-3y+4z 的值.
解：由题意得：
解得
2.已知：｜x+2y|+
课堂小结
算数平方根
表示方法：正数 的算数平方根记为：
性质
0 的算数平方根是 0
被开方数越大，对应的算数平方根就越大
用夹逼法估算无限不循环小数的大小
概念：正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作 的算数平方根。
谢谢观看！

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