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2025-2026学年九年级下学期3月综合评价数学试题
一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知⊙O的半径是2，如果点P到圆心O的距离为3，那么点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．不能确定
2．抛物线y＝ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线yx2相同，则a，c的值分别为（　　）
A．，2 B．，﹣2 C．，2 D．，﹣2
3．点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．BP≈0.618AP
4．如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子最合理的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BO的延长线于点D，若OB＝1，则OD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．若，则　 　 ．
8．抛物线y＝x2+5x+4在x轴上截得的线段长度是 　 　 ．
9．若关于x的方程x2+（k﹣3）x﹣k2＝0的两根互为相反数，则k＝　 　 ．
10．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 　 　 ．
11．图①是一种道路交通隔离警戒设施——交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图②），测得底面半径r＝20cm，母线l＝70cm，则圆锥的侧面积是 　 　 cm2．（结果保留π）
12．小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+ +x20＝40460，当代数式取得最小值时，x的值为 　 　 ．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点E在上，连接EC，EB，若∠ADC＝110°，则∠BEC＝　 　 °．
14．实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y＝a（x﹣4）2+4，那么该男生本次投掷可得　 　 分．（参考数据：1.41）
越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80
分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a＜10，得9分，当9.20≤a＜9.60，得8分…依次类推，当a＜6.8时，得0分．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为BC的中点，点N在CD上，且∠AMN＝90°，则CN＝　 　 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D（3，2），点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值是 　 　 ．
三．解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣12＝0；
（2）（x﹣3）2＝7x﹣21．
18．（6分）圆的相交弦定理是这样的：圆内的两条相交弦，被交点分得的两条线段长的乘积相等．如图，⊙O的弦AB，CD交于点P，求证：AP BP＝CP DP．
19．（8分）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是 　 　 ；
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少？
（3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．
20．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣5（a≠0）的图象经过点（﹣4，﹣5）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若a＜0，点A（﹣1，y1），B（m，y2）在该函数图象上，且y1＞y2，求m的取值范围．
（3）当x≥﹣4时，顶点纵坐标为﹣1，求该二次函数的解析式．
21．（8分）随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“双11”的前一周（10月30日﹣11月5日）的销售量为500件，该电商在“双11”期间（11月6日﹣11月12日）进行降价销售，经调查，发现该款T恤在“双11”的前一周销售量的基础上，每降价1元，周销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率100%）
22．（7分）为拓展学生的视野，某校准备组织四个课题活动，课题1—5G的发展前景；课题2—航空航天宇宙探索；课题3—传统优秀文化传承；课题4——网络信息筛选．由于课题活动时间重叠，每位同学只能选择一个课题，晓含和小婷两人决定采用抽签的方式确定课题的主题，四支签上分别写有四个课题的名称，晓含从这四支签中随机抽取一支，不放回，小婷再从剩下的三支签中随机抽取一支．
（1）晓含抽到课题1的概率是 　 　 ；
（2）请用列表或画树状图的方法求晓含和小婷中有一人抽到课题3的概率．
23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，AE⊥CD交CD的延长线于点E．
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若 AE＝4cm，CD＝6cm，求AD的长．
24．（8分）已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形．
（1）求证DE∥AC；
（2）设，，用向量，表示　 　 ．
25．（8分）用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如90°角，45°角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程：
已知：如图1，∠AOB＝90°．
求作：射线OE，OG三等分∠AOB．
作法：如图2，
①在射线OB上取任一点C；
②分别以O，C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E，在OB下方交于点F，连接CE；
③作直线EF交OC于点D；
④以D为圆心，OD长为半径作圆，交线段CE于点G（点G不与点C重合）；
⑤作射线OG，OE．
所以射线OG，OE即为所求射线．
（1）利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OE＝OC＝CE，
∴△COE为等边三角形．
∴∠COE＝60°．
∴∠AOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°．
∵OC为⊙D的直径，
∴∠CGO＝　 　 °．
又∵OE＝OC，OG⊥EC，
∴OG平分∠EOC　 　 （填推理的依据）．
∴∠COG＝∠EOG∠COE＝30°．
∴∠AOE＝∠COG＝∠EOG．
即射线OE，OG三等分∠AOB．
26．（9分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值．
（3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围．
27．（10分）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3．点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足．设BQ＝x，CP＝y．
（1）求半圆O的半径．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．当△PQR为直角三角形时，求x的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A A C D A B
二．填空题
7．．
8．3．
9．3．
10．x（30+2﹣2x）＝120．
11．1400π．
12．2023．
13．20．
14．9．
15．．
16．．
三．解答题
17．解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，
∴（x+2）（x﹣6）＝0，
∴x+2＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6；
（2）∵（x﹣3）2＝7x﹣21，
∴（x﹣3）2＝7（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣7（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3﹣7）（x﹣3）＝0，
∴x﹣3﹣7＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝10，x2＝3．
18．证明：如图：连接BC，AD，
∵，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠CPB＝∠APD，
∴△CPB∽△APD，
∴，
∴AP BP＝CP DP．
19．解：（1）由条形图可知，总共调查了4+8+15+10+3＝40人，
所以本次调查数据的中位数是3，
故答案为：3；
（2）（1×4+2×8+3×15+4×10+5×3）＝3（小时），
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）20001400（人），
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人．
20．解：（1）由题意可得：﹣5＝16﹣4b﹣5，
解得b＝4．
∴y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9．
∴顶点坐标为（﹣2，﹣9）．
（2）∵y＝ax2+bx﹣5（a≠0），
∴当x＝0时，y＝﹣5，
∴图象经过点（0，﹣5），
∵图象经过点（﹣4，﹣5），
∴图象的对称轴为直线x＝﹣2．
∵a＜0，点A（﹣1，y1），B（m，y2）在该函数图象上，且y1＞y2，
∴|m+2|＞|﹣1+2|，
解得m＜﹣3或m＞﹣1．
（3）由题意可得：当x≥﹣4时，y≤﹣1，
∴该函数图象开口向下，最大值为﹣1．
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
∴y＝a（x+2）2﹣1．
把点（﹣4，﹣5）代入y＝a（x+2）2﹣1可得：
﹣5＝4a﹣1，
a＝﹣1．
∴y＝﹣（x+2）2﹣1＝﹣x2﹣4x﹣5．
21．解：设售价为每件x元，利润为y元，根据题意，得：
y＝（x﹣40）[500+50（60﹣x）]＝﹣50x2+5500x﹣140000＝﹣50（x﹣55）2+11250，
∵销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，
∴，
解得40≤x≤52，
∵a＝﹣50＜0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线x＝55，
∴当40≤x≤52时，y随x的增大而增大，
∴当x＝52时，y有最大值，最大值为y＝﹣50（52﹣55）2+11250＝10800（元），
答：当定价为每件52元，才能使利润最大，最大利润是10800元．
22．解：（1）四个课题活动，晓含抽到课题1的概率是，
故答案为：．
（2）列表如下，
晓含小婷 课题1 课题2 课题3 课题4
课题1 课题1，课题2 课题1，课题3 课题1，课题4
课题2 课题2，课题1 课题2，课题3 课题2，课题4
课题3 课题3，课题1 课题3，课题2 课题3，课题4
课题4 课题4，课题1 课题4，课题2 课题4，课题3
共有12种等可能结果，符合题意的有6种，
∴晓含和小婷中有一人抽到课题3的概率为．
23．（1）证明：∵AE是⊙O的切线，
∴AO⊥AE，
∵AE⊥CD，
∴OA∥CE，
∴∠OAD＝∠ADE，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠ADE，
即DA平分∠BDE；
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝4cm．EF＝OA，
又∵OF⊥CD，
∴DFCD＝3cm．
在Rt△ODF中，OD5cm，
即⊙O的半径为5cm，
∴EF＝OA＝5cm，
∴ED＝EF﹣DF＝5﹣3＝2cm，
在Rt△AED中，AD2cm．
24．1）证明：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GM，
∵四边形BEGD是平行四边形，
∴GE∥AB，DG∥BM，
∴BE：EM＝AG：GM，
∴BE＝2ME，
∴BEMB，
∵AM是△ABC的中线，
∴MBBC，
∴BEBC，
∵DG∥BM，
∴BD：AD＝MG：AG，
∵G是△ABC的重心，
∴MGAG，
∴BDAD，
∴BDBA，
∴BD：BA＝BE：BC，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴DE∥AC；
（2）解：∵，，
∴，
∵△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BD：BA＝1：3，
∴DEAC，
∵DE∥AC，
∴（）．
故答案为：（）．
25．（1）解：如图2中，射线OE，OG即为所求．
（2）证明：∵OE＝OC＝CE，
∴△COE为等边三角形．
∴∠COE＝60°．
∴∠AOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°．
∵OC为⊙D的直径，
∴∠CGO＝90°．
又∵OE＝OC，OG⊥EC，
∴OG平分∠EOC（等腰三角形三线合一）．
∴∠COG＝∠EOG∠COE＝30°．
∴∠AOE＝∠COG＝∠EOG．
即射线OE，OG三等分∠AOB．
故答案为：90，等腰三角形三线合一．
26．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7），
∴，
∴．
∴抛物线为y＝x2+4x﹣5．
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，
∴B1（2，16），
∴B2（﹣6，16），
∵再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，
∴将B2向左平移m（m＞0）个单位长度得到（﹣6﹣m，16），
把点（﹣6﹣m，16）代入y＝x2+4x﹣5得，16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5，
解得m＝1或m＝﹣9（舍去），
∴m的值为1．
（3）由题意，当n＞﹣2时，
∴最大值与最小值的和为（n+2）2﹣9+7＝﹣2．
∴n＝﹣2不符合题意，舍去．
当﹣6≤n≤﹣2 时，
∴最大值与最小值的和为7﹣9＝﹣2，符合题意．
当n＜﹣6时，最大值与最小值的和为 （n+2）2﹣9﹣9＝﹣2，
解得 n1＝2 或 n2＝﹣6，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为﹣6≤n≤﹣2．
27．解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，
∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD∥BE，
∴△COD∽△CBE，
∴，
∴，
解得r，
∴半圆O的半径为；
（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2，
∵，BQ＝x，
∴AP，
∴CP＝AP+AC，
∴y；
（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，
当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，
∴PR＝QE，
∵PR＝PC×sinC，
∴，
∴x，
当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，
则四边形PHER是矩形，
∴PH＝RE，EH＝PR，
∵CR＝CP cosC，
∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，
∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，
∴∠PQH＝45°＝∠QPH，
∴HQ＝HP＝3﹣x，
由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x），
∴x，
综上，x的值为或；

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