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2026年河南省周口市项城市部分乡镇一模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，是无理数的是（）
A. B. C. D.
2.2026年元旦期间，洛邑古城推出一系列活动，带领游客共赴一场神都之约．重点监测景区数据显示，元旦期间洛邑古城游客数达万人次，同比增长．数据万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.2月7日上午，为期4天的“非遗平顶山·寻味中国年”暨2026年鹰城年贡节在大香山文博园启动．其中，宋代五大名窑之一的汝窑，因窑址位于平顶山市汝州境内而得名，出品的汝瓷造型古朴大方，色泽独特．如图为一汝瓷作品，其俯视图为（）
A. B.
C. D.
4.如图，一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
5.若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则（　　）
A. B. C. D.
7.如果，那么的值为（　　）
A. 1 B. 0 C. D.
8.中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是（）
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　）
A. 5 B. C. D.
10.如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车在行驶途中停留了； ②汽车共行驶了；
③汽车回来时的平均速度是去时的2倍； ④汽车自出发后至之间的行驶速度为．
其中正确的说法有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.单项式的次数是 .
12.学校举行演讲比赛，小明同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为85分，若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小明同学的总成绩为 分．
13.关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是 ．
14.如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是 ．
15.如图， 的面积为 ，分别倍长（延长一倍） 得到 ，再分别倍长 ， ， 得到 ， ，按此规律，倍长 次后得到的 的面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
9月7日，2025年河南省中小学“开学第一课”安全教育活动在全省上下全面展开，为了提高同学们的安全意识，某校组织七、八年级学生开展了以“人人讲安全,个个会应急”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试．调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（记为 ，单位：分，分数为整数），并对这些数据分别进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．八年级学生测试成绩扇形图如图；
b．如图中， 部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89．
c．相关统计量如下：
平均数/分 中位数/分 众数/分
七年级 79 78 79
八年级 80
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 此次调查中八年级的样本容量为 ，表中 ；
(2) 结合相关统计量，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好？请说明理由；
(3) 为了提高学生学习安全知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励．已知该校八年级的学生人数为400，请估计八年级学生中可以获得奖励的人数．
18.(本小题11分)
如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点．
(1) 求点和点的坐标；
(2) 求反比例函数的解析式；
(3) 连接，直接写出的面积．
19.(本小题8分)
寒假期间，小明与小亮相约到某景区登山，需要登顶高的山峰，如图，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
(1) 求登山缆车上升的高度；
(2) 若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟？（结果精确到，参考数据：）
20.(本小题8分)
如图，为的外接圆，为直径，是上一动点，连接，若，．
(1) 求的半径；
(2) 若，求的长（结果保留）．
21.(本小题8分)
随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买 两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 195
2 1 165
(1) 求 两种型号智能机器人的单价；
(2) 若某公司恰好用450万元购进 两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案．
22.(本小题11分)
数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为．
(1) 的长为 ；（用含的代数式表示）
(2) 花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3) 求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少．
23.(本小题11分)
如图，在 中， ，将 绕点 旋转得到 ，点 的对应点 在边 上，连接 ．
(1) 求证： ∽ ；
(2) 若 ，求 的长；
(3) 过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，直接写出 的值．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】3
12.【答案】87
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．

17.【答案】【小题1】
20
82
【小题2】
解：由（1）得，
八年级的学生此次测试的成绩更好．
理由如下：
∵
即从平均数、中位数和众数上看，八年级学生的测试成绩都高于七年级，
∴八年级的学生此次测试的成绩更好．
【小题3】
解：依题意，（人）．
答：估计八年级学生中可以获得奖励的人数为100人．

18.【答案】【小题1】
解：∵点和点在一次函数的图象上，
∴把点代入，得；
把点代入，得，解得；
∴，．
【小题2】
解：把代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为．
【小题3】
解：∵点为一次函数的图象与轴的交点，
∴当时，，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为8．

19.【答案】【小题1】
解：如图，过点作于点，
则，
∴四边形是矩形．
∴
在中，，
∴．
∴．
答：登山缆车上升的高度为．
【小题2】
解：由（1）得，
∵在中，
∴．
∵步行速度为，登山缆车的速度为，
∴从山底A处到达山顶处大约需要．
答：从山底处到达山顶处大约需要．

20.【答案】【小题1】
解：∵为的外接圆，为直径，
∴．
∵，，
∴，
∴的半径为．
答：的半径为10．
【小题2】
解：如图，连接．
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴的长为．
答：的长为．

21.【答案】【小题1】
解：设 型号机器人单价为 万元， 型号机器人单价为 万元．
根据题意，得 ，
解得 ，
答： 型号机器人的单价为60万元， 型号机器人的单价为45万元．
【小题2】
解：设购进 型号机器人 个， 型号机器人 个．
根据题意，得 ．
整理，得：
，
∵ 为正整数，
∴ 或 ，
∴该公司有2种购进方案．

22.【答案】【小题1】
【小题2】
解：根据题意，得．
整理，得．解得．
∵墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，
∴．
∴．
∴的值为12．
【小题3】
解：由题意得：．
∵．
∴当时，花园面积最大，最大值为．

23.【答案】【小题1】
证明： 将 绕点 旋转得到 ，点 的对应点 在边 上，
∴ ， ， ，
， ，
【小题2】
解：由（1）可知， ，
，
，
，
，
∴在 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
【小题3】
解：由旋转的性质可知， ， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，

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