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第二十一章 四边形
21.1 四边形及其多边形
21.1.1四边形及其内角和
预习
1.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？
2.下列图形中哪些具有稳定性？
学 习 目 标
2、了解四边形的概念及四边形的边、顶点与对角线
3、掌握四边形的内角和、外角和定理
1、了解四边形的不稳定性
导入新课
与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形。本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形。
四边形及其有关概念
与三角形类似，如图，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，
组成四边形的各条线段叫作四边形的边，
每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点。
四边形用表示它的各个顶点的字母表示，
例如，图中的四边形，可以按照顶点的顺序，
记作 “四边形ABCD”。
A
D
C
B
新知探究
问：“四边形ABCD”可以记作“四边形ADCB” “四边形BCDA”或“四边形 ACBD”吗？
A
D
C
B
必须按照顺序逐一写出顶点字母，
故可以记作“四边形ADCB” “四边形BCDA”，
但不可以记作“四边形ACBD”。
如图 ( 1 )，画出四边形ABCD的任何一条边 ( 例如CD ) 所在直线，
整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形。
A
D
C
B
( 1 )
而图2中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD ( 或BC ) 所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。
今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形。
( 2 )
A
D
C
B
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线。
在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，
它们分别将四边形ABCD分为两个三角形。
A
D
C
B
请在图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角。
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，
简称四边形的角；
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角。
A
D
C
B
2
1
我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°。
那么， 任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，
所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决。
下面按照上述思路解决这个问题。
探究
四边形的内角和问题
思考：
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形。
在△ABC中，由三角形内角和定理，得 ∠1 + ∠B + ∠3 = 180°。
同理 ∠2 + ∠4 + ∠D = 180°。
由此可得 ∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D
= ∠1 +∠2 + ∠B + ∠3 +∠4 + ∠D
= ( ∠1 + ∠B + ∠3 ) + ( ∠2 +∠4 + ∠D )
= 180° + 180° = 360°。
即
2
A
D
C
B
1
3
4
四边形的内角和等于360°
例1 在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和。四边形的外角和等于多少？
A
D
C
B
3
1
4
2
【分析】∵四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，
∴四边形的外角和与内角和的总和为4 × 180°。
根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和。
解：如图，∵∠DAB与∠1是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°。
同理 ∠ABC + ∠2 = 180°，
∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°。
A
D
C
B
3
1
4
2
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°。
而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°。
这样，我们就证明了：
四边形的外角和等于360°
在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？
四边形是否具有稳定性？
如图 ( 1 )，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图 ( 2 )，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它， 这时木架的形状还会改变吗？为什么？
探究
可以发现，四边形木架的形状会改变。
因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性
而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变。
有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等。
在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；
1. 求出下列图形中 的值。
课堂练习：课本P49
( 1 )
1400
( 3 )
75°
120°
80°
（2）
课堂小结
1、四边形的内角和等于360°
2、四边形的外角和等于360°
3、四边形不具有稳定性
布置作业
课本P52习题21.1 第1、5题
同步学习:P43--P45

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