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21.1.1 四边形及其内角和
1. 求出下列图形中 的值。
预习检测
( 1 )
1400
( 3 )
75°
120°
80°
（2）
2.一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？
3.下列图形中哪些具有稳定性？
学习目标
1.了解四边形、凸四边形、四边形的对角线、内角、外角等概念，发展抽象能力．
2. 掌握四边形内角和定理与外角和定理，能运用定理解决相关问题．
3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用，发展应用意识．
22051
导 学
说一说在生活中，你在哪些地方见到过四边形？
导 研
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.
问题1：什么是三角形？
问题2：类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗？
本章内容，将类比三角形学习四边形
三角形 四边形
边 组成三角形的线段叫作三角形的边
顶点 相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点
图形及记法
组成四边形的各条线段叫作四边形的边
每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点
A
B
C
D
记作：_____________
记作：△ABC
四边形 ABCD
问题3：类比三角形的有关概念，说说什么是四边形的边、顶点？
字母必须按顺时针或逆时针的方向排列.
A
A
B
C
D
B
C
D
四边形 ABCD 都在直线CD的同一侧
四边形 ABCD 不都在直线CD的同一侧.
如左图，画出四边形 ABCD 的任何一条边（例如 CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
凸四边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形.
问题4：观察这两个四边形有什么不同？
连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线（AC，BD）.
A
B
C
D
与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角.
四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
内角
请在图中分别画出四边形 ABCD 顶点 B，D 处的内角与外角.
下面研究四边形的内角与外角的性质。
三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？
180°
？
360°
猜想：四边形的内角和都是360°.
你能证明吗？
四边形 ABCD 的内角和 = _______________ + _______________
△ABC的内角和
△ACD的内角和
A
B
C
D
1
2
3
4
四边形
三角形
转化
由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形
四边形的内角和等于 360°
在△ABC 中，由三角形内角和定理，
得∠1 + ∠B + ∠3 = 180°.
同理∠2 + ∠4 + ∠D = 180°.
∴ ∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D
= ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D
=（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D）
= 180°+ 180°
= 360°.
证明：连接对角线 AC，
A
B
C
D
1
2
3
4
已知四边形ABCD，求证：∠A + ∠B + ∠C + ∠D=360°
例 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？
内角+其邻补角=180°
解：∵∠DAB 与∠1 是邻补角，
∴∠DAB + ∠1 = 180°.
同理∠ABC + ∠2 = 180°，∠BCD + ∠3 = 180°，
∠CDA + ∠4 = 180°.
∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 180°×4=720°.
又∵∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.
四边形的外角和等于 360°
归纳
四边形的内角和等于 360°
几何语言：
在四边形 ABCD 中，
∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°.
A
B
C
D
四边形的外角和等于 360°
在四边形 ABCD 中，
∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
练习：求x的值
如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如图②，在四边形木架上再钉一根木条，再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
形状会发生改变
形状不变
现象
结论
四边形不具有稳定性
三角形具有稳定性
形成两个三角形
利用四边形的不稳定性：伸缩门、升降机.
克服四边形的不稳定性：在窗框上钉一根木条，以防窗框变形.
生活中的例子
四边形及其内角和
相关概念
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
(边；顶点；对角线；凸四边形)
内角和
四边形的内角和等于360°
外角和
四边形的外角和等于360°
四边形不具有稳定性
导 测
2. 下列图形中哪些具有稳定性？
√
√

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