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第二十一章 四边形
21.3.1矩形的判定
第二课时
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
BC＝2DE
4
120°
(1)证明：∵D , E分别是AB , AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC.
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
课前练习
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
BC＝2DE
4
120°
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°.
∴△EBC是等边三角形.
过点E作EH⊥BC,
H
A
D
C
B
O
怎样判断一个四边形是菱形？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
∵四边形ABCD是平行四边形
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
符号语言：
还有其他的方法吗
O
A
B
C
D
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
文字语言：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱 形 的 判 定 定 理 1
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
O
∟
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BA=BC.
已知：在 ABCD中，AC ⊥ BD.
求证： ABCD是菱形.
∴ ABCD是菱形.
文字语言：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
符号语言：
A
B
C
D
菱 形 的 判 定 定 理 2
A
B
C
D
O
题型1 利用对角线判定菱形
例 如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
5
4
3
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 ( 　 )
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD
C．AB=CD D．AB∥CD
B
四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
O
例 如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
5
4
3
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4，OB=3，AB=5，
即AC⊥BD.
∴ AB2=OA2+OB2.
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
证明：
矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗 即四个角都是直角的四边形是矩形吗 进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形
思考
有一个直角的四边形
有两个直角的四边形
有三个直角的四边形？
不是矩形
不是矩形
？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC、AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴ ABCD是矩形.
因此，我们就可以用三个直角来判定一个四边形是矩形.
知识点2：有三个角是直角四边形是矩形
矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.（如图）
几何语言：
例 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H .
求证:四边形EFGH是矩形.
证明：在 ABCD中，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AF、BH分别平分∠DAB、∠ABC,
∴四边形EFGH是矩形．
同理∠EFG=∠FGH=90°,
∴△ABE是直角三角形，
∵AD∥BC,
∴∠BAE= ∠DAB，∠ABE= ∠ABC，
∴ ∠BAE+∠ABE= （∠DAB+∠ABC）=90°.
∴∠AEB=∠HEF=90°，
分析:根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠HEF为直角，同理可证∠EFG，∠FGH也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.
知识点2：有三个角是直角四边形是矩形
归纳总结
1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形的判定方法：
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
请同学们想一想，还可以用其它方法判定矩形吗？
我们通过“ ”得到
猜想
验证
结论
课堂总结
课外作业：教材P71练习第2、3题.
拓展延伸
如图（a），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝15cm，动点P从点A出发，沿AD向点D以2cm/s的速度运动，同时，动点Q从点C出发 沿着CB向点B以3cm/s的速度运动．当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动.
经过多长时间，四边形ABQP是矩形？
根据题意，如图b看动点P，Q的动态图.
（a）
（b）
P
Q
解：设经过ts时，AP＝BQ，
∵AD∥BC，∴AP∥BQ
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴2t＝15－3t，解得t＝3，
即经过3s，四边形ABQP是矩形．
∵∠B=90°，∴ ABQP是矩形.

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