资源简介

(共26张PPT)
21.3.2菱形
初中数学·人教版·八年级下
第二课时
菱形的判定
预习检测
1.如图①，要使 ABCD是矩形，
需要添加的条件是（ ）
2.如图②，在 ABCD中，对角线
AC、BD相交于O，OA=OB=5，BC=6，
则AB的长是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
A.AB=AC B.AD=AB
C.∠AOB=45° D.∠ABC=90°
A
O
D
C
B
①
D
O
A
B
C
D
②
C
3.如图③,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是（ ）
A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
C
4.如图④一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，依据_________________________得到矩形踏板．
④
③
有三个角是直角的四边形是矩形
5.如图⑤，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE，BE交于点E，连接DE交AB于点O.
求证：四边形ADBE是矩形.
⑤
A
B
C
D
E
O
证明：∵AE∥BC，BE∥AD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴ ADBE是矩形.
思考：
情景导入
教室窗户
操场一角
黑板桌面
大家看屏幕上的这些图片，这些几何图形，都是我们熟悉的矩形。
农家木门
什么样的图形才能被称为矩形呢？我们先来回顾一下矩形的定义和性质。
复习回顾
1.有一个角是____的平行四边形叫作_____.
直角
矩形
2.矩形的性质：矩形的两组对边_____________；
矩形的四个角都是_____；
矩形的两条对角线_______________.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_______.
一半
平行且相等
直角
互相平分且相等
4.如图，在矩形ABCD中，BC=4，∠BAC=30°.
（1）对角线BD的长是______;
（2）∠AOB=_____°;
（3）矩形ABCD的面积是_______.
A
B
C
D
O
8
120
交流讨论
小明的爸爸在做相框时，为确保像款是矩形呢？他带了两种工具（卷尺和直尺），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗
思考
知识点1：对角线相等的平行四边形是矩形
我们能否通过研究矩形性质的逆命题,得到判定矩形的方法呢
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
如图,在 ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证： ABCD是矩形.
分析：要证明 ABCD是矩形，可根据矩形的定义证明其中一个角是直角，利用平行四边形的邻角互补关系，只需证明这对邻角相等即可；而证明△ABC≌△BAD可得∠ABC=∠BAD.
∴ ABCD是矩形.
证明：在 ABCD中，BC=AD，
∵AC=BD，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠ABC=∠BAD，
又∵在 ABCD中，BC∥AD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠ABC=90°，
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
在 ABCD中，AC=BD，
∴ ABCD是矩形.（如图）
几何语言：
猜想：四条边都相等的四边形是菱形 .
知识点2 菱形的判定定理2
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD,
∴AB=CD，BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
符号语言：
菱 形 的 判 定 定 理 3
文字语言：四条边都相等的四边形是菱形.
文字语言 图形语言 符号语言
判定 方法1
判定 方法2
判定 方法3
菱形的判定
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的
平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
1.下列命题中正确的是( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
平行四边形
四条边相等
矩形
2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.AC⊥BD，AC与BD互相平分
B.AB=BC=CD=DA
C.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
D.AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
C
平行四边形
对角线垂直
A
B
C
D
3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为_______，其面积为_________.
24cm
菱形
A
B
C
D
5cm
3cm
4cm
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
H
G
F
E
D
C
B
A
例 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
题型2 利用边相等判断四边形是菱形
中位线
H
G
F
E
D
C
B
A
例 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
中位线
证明：连接AC, BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E , F , G , H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
拓展：之前我们学过四边形四边中点的连线是平行四边形。
那菱形四边中点的连线是什么图形呢？
总结：四边形四边中点的连线是平行四边形
矩形四边中点的连线是菱形
菱形四边中点的连线是矩形
5
5
5
5
4
4
3
3
如图，AC＝8，分别以A , C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A,B,C,D，连接BD交AC于点O．
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(2)求BD的长．
菱形
6
解：(1)四边形ABCD为菱形；
由作法,得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
所以四边形ABCD为菱形；
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
∴BD＝2OB＝6．
如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
C
A
D
O
E
M
N
B
如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
C
A
D
O
E
M
N
B
证明：∵ MN是AC的垂直平分线,
∴AD=CD，OA=OC，AE=CE.
∵ CE∥AB，∠DAO=∠ECO.
∴ △ADO ≌ △CEO
∴ AD=CE .
∴AD=CD=CE=AE.
∴四边形ADCE是菱形.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
知识点3 菱形性质和判定的综合应用
BC＝2DE
4
120°
再见

展开更多......

收起↑