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安徽安庆市太湖县牛镇中学等学校2025-2026学年度第二学期九年级过程性检测数学试题（3月）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与的和等于1的数是（ ）
A. 2 B. C. 0 D.
2.某几何体的俯视图和主视图如图所示，则该几何体可能是（）
A. B.
C. D.
3.据安徽省统计局发布的2023年前三季度核心数据显示：全省农林牧渔业总产值同比增长3.6%，夏粮早稻合计产量372.3亿斤，372.3亿斤用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
4.下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
6.若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.黄山市四月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，中位数和众数分别是…（）
A. 21，21 B. 22，22 C. 21，21.5 D. 22，21
8.规定：对于任意实数，，，有，如，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 且 D. 且
9.已知二次函数的图象如图所示，，是该函数图象上的两个点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10.如图，在中，，，点E在上，且，点F在边上运动，以为斜边向右上方作等腰直角三角形，，连接，当的长最小时，的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.因式分解：＝
12.将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写“如果……那么……”的形式 .
13.如图，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，过点B作轴，垂足为C，交于点D，若D为的中点，的面积是6，则k的值为 ．
14.如图，在中，，，D是边上的点，E为的中点．若，．则：
(1) 的长为 ；
(2) 的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
15.解不等式：．
四、解答题：本题共8小题，共87分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
某服装店购进，两种款式夏季T恤衫共件，这两种T恤衫的进价与售价如下表：
款式 进价（元/件） 售价（元/件）
款
款
(1) 如果购进这两种夏季T恤衫花费元，那么，两种夏季T恤衫分别购进多少件？
(2) 销售完这批夏季T恤衫获得的利润是多少元？
17.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点，解答下列问题：
(1) 若经过平移后得到，已知点的坐标为，请画出；
(2) 将绕点A按顺时针方向旋转90°得到，请画出，并写出点的坐标．
18.(本小题10分)
观察下列关于自然数的等式：
第一个等式：；第二个等式：；
第三个等式：；第四个等式：；…
根据上述规律解决下列问题：
(1) 写出第五个等式： ；
(2) 写出你猜想的第n个等式：______（用含n的式子表示），并验证其正确性．
19.(本小题7分)
无人机表演时，一架无人机由处飞至处，飞行路径恰好位于地面上两个观测点，的上方，且．由处观测处和处的仰角分别为和，由处观测到处的仰角为．已知两个观测点，之间的距离为米，求，两点之间的距离．（参考数据：，）
20.(本小题10分)
如图，在半圆O中，为直径，为弦，过半圆的圆心O作于点D．
(1) 以C为顶点，为一条边，用尺规作图作，与的延长线交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 取弧的中点P，连接，，若，，求线段的长．
21.(本小题15分)
【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计．
【数据收集与整理】
（一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：； B组：； C组：； D组：； E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀．
（二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下．
一分钟限时跳绳比赛成绩统计表
成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190
人数 5 8 23 a
【数据分析与应用】
(1) 任务一掷实心球的女生有 人；其中成绩合格的有 人；
(2) 任务二掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由；
(3) 任务三将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率．
22.(本小题15分)
如图，线段与交于点C，．的平分线与的平分线交于点F，交于点H，交于点G．
(1) 如图1，若，求的度数；
(2) 在（1）的条件下，连接，若，求的值；
(3) 如图2，若，证明：．
23.(本小题10分)
已知抛物线（）与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形．
（i）求的面积；
（ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，当线段的长随p的增大而减小时，求p的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】如果直线外有一点，那么过这一点有且只有一条直线与已知直线垂直
13.【答案】16
14.【答案】【小题1】
2
【小题2】

15.【答案】解：，
去分母，两边同时乘以3得：，
移项，合并同类项得：，
解得．

16.【答案】【小题1】
解：设购进款T恤衫件，则购进款T恤衫件，
根据题意，得，
解得，
则，
答：，两种夏季T恤衫分别购进件、件．
【小题2】
解：（元）．
答：销售完这批夏季T恤衫获得的利润是元．

17.【答案】【小题1】
解：根据题意可得点的对应点为，
∴将向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，
所以如图所示即为所求作；
【小题2】
解：如图所示，点．

18.【答案】【小题1】
【小题2】
解：根据题意，第n个等式为：；
证明：∵左边，
右边，
∴左边＝右边．
∴．

19.【答案】解：如图，作于点，于点，则，
由题，，，，
设米，米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴，两点之间的距离为米．

20.【答案】【小题1】
解：如图即为所求：
【小题2】
解：如（1）图，分别连接，，，与交于F，
∵为直径，
∴在中，,，，
∴，
∵点P是弧的中点，
∴，，
又∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中，，，
∴．

21.【答案】【小题1】
50
45
【小题2】
将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组；
【小题3】
由成绩统计表得跳绳个数在161～190的选手共有4人，依次记为，画树状图如下：
共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种，
∴恰好抽到选手的概率为．

22.【答案】【小题1】
解：∵，平分，
∴，
∴，
又∵平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴为正三角形，
∴，
∴，
∴在中，；
【小题2】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知和均为正三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
证明：连接，
∵，平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：将A，C两点的坐标代入（），
得：，
解得，
∴．
【小题2】
解：（i）在等腰直角中，以为底的高（也是中线）等于的长度的一半，
故设与x轴之间的距离，即以为底的高为m，（），
则．
又抛物线的对称轴为直线，
∴点Q的坐标为，点的坐标为,
将点Q的坐标代入得，，
解得（舍去负值），
∴；
（ii）如图，连接，
，，
，
为等腰直角三角形．
又为等腰直角三角形，
．
设直线的表达式为，
将，代入得，，
∴，
∴．
设直线的表达式为，
将点的坐标代入得，，
，
．
且轴，
．
，且，
∴．
∵线段的长随p的增大而减小，
∴，
综上，p的取值范围为．

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