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2025-2026学年山东省青岛市崂山区育才学校九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个凹形零件如图，则其俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.某品牌衣服经过两次降价，每件售价由800元降为512元，若两次降价的百分率都为x，那么符合题意的方程（　　）
A. 800（1-x）2=512 B. 800（1+x）2=512
C. 800（1-2x）=512 D. 800x2=512
3.鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　）
A. B. C. D.
4.若A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）为二次函数=x2+2x+2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系
是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y1＜y2
5.如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到OA处时，两次位置的高度差PA=1.则秋千绳索OA的长为（　　）
A.
B. 1-cosα
C.
D.
1-sinα
6.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在网格中的格点上，则tanA的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接BO．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（　　）
A. -3 B. 1 C. 2 D. 3
8.函数y=与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=kx-b的大致图象为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.在二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表所示：
x … -1 0 1 3 …
y … -3 1 3 1 …
则下列结论：
①图象的顶点坐标是（1，3）；
②在x＜1的范围内，y随x的增大而增大；
③b-a＞0；
④4是方程ax2+（b-2）x+c+11=0的一个根.
其中所有正确结论的序号是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.已知，则= .
11.一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的9枚白球和若干黑球，进行有放回的随机摸取，每次摸取一球并记录结果.如图是某小组做“用频率估计概率”的摸球试验时，绘制的白球出现的频率分布折线图，由此可估计袋子中有 枚黑球.
12.如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是 ．
13.在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且，则∠C= 度.
14.为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒84消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于0.5%，才能有效杀灭新冠病毒.如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量y（%）与时间t（min）成正比例，消毒液挥发时，y与t成反比例，则此次消杀的有效作用时间是 min.
15.如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE=3，DF=2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ．
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
已知线段a，b，求作矩形ABCD，使对角线AC=a，边BC=b．
17.(本小题6分)
（1）解方程：4x2-6x-3=0；
（2）用配方法求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
18.(本小题6分)
小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同.小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.
19.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A（1，3），且过点B（3，n）.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点Q是x轴上的一点，且△ABQ的面积是2，求点Q的横坐标；
（3）若P在x轴上一点，PA+PB取最小值时，P点的坐标为______.
20.(本小题8分)
“这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼CD的高度，测量方案如图：在坡底A处测得楼顶C的仰角为45°，沿坡比为5：12的斜坡AB前行13米到达平台B处，在B处测得楼顶C的仰角为58°.（参考数据：tan58°≈1.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53）
（1）求坡顶B到地面的距离；
（2）计算南城门城楼CD的高度（结果保留一位小数）.
21.(本小题8分)
“一人一盔安全守规，一人一带平安常在”，某摩托车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下表所示：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
（1）由表格可知y与x满足一次函数关系，则这个函数解析式为______；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？
22.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接AG.
（1）求证：△AEF≌△BEG；
（2）若，请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论.
23.(本小题10分)
鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线.攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知OB=28m,AB=8m.
通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s.水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表.守门员的最大防守高度为m.守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.
s/m … 9 12 15 18 21 …
h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
（1）求h关于s的函数表达式.
（2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由.
（3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度.
24.(本小题6分)
【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A．若BF=5，BE=3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF，∠BAD=2∠EDF，AE=1，DF=4，求菱形ABCD的边长（直接写出答案）．
25.(本小题12分)
已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，直线PM交BC于P，交AC于点M；过点P作PQ⊥AB，交AB于Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM∥BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使y的值最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】21
12.【答案】22
13.【答案】75
14.【答案】35.75
15.【答案】
16.【答案】解：如图，矩形ABCD为所作．

17.【答案】 对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，-1）
18.【答案】这个游戏对双方是公平的．
19.【答案】一次函数的表达式为y=-x+4 Q（2，0）或Q（6，0）
20.【答案】（1）坡顶B到地面的距离为5米 （2）南城门城楼CD的高度约为18.7米
21.【答案】y=-2x+400 （2）当售价定为72元时，月销售利润达到最大
22.【答案】∵BG∥AF，
∴∠AFE=∠BGE，∠FAE=∠GBE．
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
∴在△AEF和△BEG中，
∠FAE=∠GBE，
∴△AEF≌△BEG（AAS） 四边形AGBF为矩形．证明如下：
∵△AEF≌△BEG，
∴EF=EG．
∵EA=EB，
∴四边形AGBF为平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵，
∴．
∵EF=EG，
∴，
∴AB=FG，
∴四边形AGBF为矩形
23.【答案】h=-（s-15）2+5； 守门员选择原地接球，不能防守成功； 此过程守门员的最小速度为3 m/s．
24.【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD AB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FRE=∠CRE．
∴△BEF∽△BCF，
∴，
∴BF2=BE BC，
∴，
∴，
（3）解：延长EF、DC交于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BAD=2∠ACD，
∵EF∥AC，
∴四边形AEGC是平行四边形，∠ACD=∠G，
∵∠BAD=2∠EDF，
∴∠EDF=∠G，
∵∠DEF=∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴DE2=EF×EG，
又∵EG=AC=2EF，
∴DE2=2EF2，
∴DE=EF，
又∵，
∴DG=DF=4，
∴DC=DG-CG=4-1，
∴菱形ABCD的边长为4．
25.【答案】解：（1）因为QM∥BC，
∴△BQP∽△QPM，
∴QP2=BP QM，∠B=∠QPM，
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于D，
∴CD=BD=6cm，AD=8cm，，
又∵CP=t，
∴BP=12-t，
∴QP=，QM=，
∴，
解得：t=．

（2）∵△PND∽△BQP∽△ABD，
∴，
即：，
∴DN=，
同理，PM=，
所以y==

（3）由，
所以当t=时存在最大值．

（4）若点M在线段PQ的垂直平分线上，
则有MQ=MP，
由（1）（2）知道，QM=，PM=，
所以，
解得：t=．
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