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(共25张PPT)
20.1勾股定理
1.长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，
已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
B
C
D
F
E
8
10
8
10
10
6
x
x
8-x
4

课前训练:
由勾股定理得x2=42+(8-x)2
x2+16=64-16x+x2
x=5
2.求边长为a的正三角形的面积.
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°，AD⊥AB，
垂足为A，CD＝2cm，求AB的长及△ABC的面积.
解：过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠BAC＝120°，∠B＝30°，AD⊥AB
∴∠C＝30°，∠CAD＝30°
∴∠C＝∠CAD,∴AD＝CD＝2cm
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠B＝30°
∴BD＝2AD＝4cm，∴BC＝BD＋CD＝6(cm)
新知探究
相传在2500年前，毕达哥拉斯在朋友家作客时，发现朋友家的地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种关系。
毕达哥拉斯：古希腊著名哲学家，数学家，天文学家。
我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系。
思考：图中这三个正方形的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。
等腰直角三角形三边之间有一种特殊关系：
斜边的平方等于两直角边的平方和。
发现
等腰直角三角形具有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1.请分别计算出图中正方形A,B,C,A1，B1，C1的面积，得出结论。
（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积）
A
B
C
A1
C1
B1
A
B
C
A1
C1
B1
SA=4
SB=9
SC=13
SA1=9
SB1=25
SC1=34
SC=SB+SA
SC1=SB1+SA1
由前面的几个例子，我们可以提出怎样的猜想呢？
计算一下
猜想
命题1 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b,斜边长为c，那么
提出猜想我们就要验证这个猜想是否是正确的。证明命题1的方法有很多种，下面我们来学习我国古人赵爽的证法。
a
b
c
c
a
b
将图形进行切割，拼接，面积有没有变化呢？拼接前后的面积应该如何表示呢？请列出式子。
归纳
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b,斜边长为c，那么
勾股定理：
例1 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
利用三角形面积解题
跟踪练习
1、求下列图中未知数x、y的值：
2、已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值.
　　今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？
A
B
C
　　分析：
可设AB=x,则AC=x+1，
有　AB2+BC2=AC2，
可列方程，得　x2+52= ，
通过解方程可得．
　　利用勾股定理解决实际问题
的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的
正确理解；
（2）建立对应的数学模型，运用相应的数学知识；
　 （3）方程思想在本题中的运用
解：设AB=x,则AC=x+1，
由勾股定理有　AB2+BC2=AC2
可列方程，得　x2+52=（x+1）2 ，
所以，x=12，x+1=13
答：水深为12尺，葭长为13尺
拓展练习
例2、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
A
C
D
B
E
Ｄ
x
6
x
8-x
4
6
三角形中的折叠问题
x2+42=(8-x)2
x2+16=64-16x+x2
16x=48
x=3
折叠
找相等关系
10
根据勾股定理列方程
练习：如图，有一个直角三角形纸片，两直角
边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的
角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且
与AE重合，你能求出CD的长吗？
A
C
D
B
E
x
x
6
8
10
6
4
8-x
x2+42=(8-x)2
x=3
x2+16=64-16x+x2
折叠
找相等关系
根据勾股定理列方程
例3：折叠长方形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求EC的长
A
B
C
D
E
F
8
10
10
6
X
8-X
4
8-X
长方形中的折叠问题
x2+42=(8-x)2
x2+16=64-16x+x2
16x=48
x=3
10
折叠 直角三角形
如图．在ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么为S△ACF=( )
A. 12 B. 15
C. 6 D. 10
1
2
3
解：由折叠知：∠1=∠2
AB∥CD得 ∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴AF=CF
设AF=x,则CF=x,BF=8-x
x
x
8-x
4
由勾股定理得
（8-x)2+42=x2
64-16x+x2+16=x2
x=5
折叠 等腰三角形
D
例4 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．
解：如图，延长AD、BC交于E．
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=90°－60°=30°，
在Rt△ABE和Rt△CDE中，
∵AB=2，CD=1，
∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，
由勾股定理得
勾股定理图形的面积问题
1、补形法（构造直角三角形）
2、切割法（构造直角三角形）
小练一下
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知正方形A,B,C,D的边长分别是12.16.9.12，求最大正方形E的面积.
A
B
C
D
E
"赵爽弦图"通过对图形的切割，拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
课堂小结
通过本节课的学习，你都有哪些收获呢？学到了哪些数学思想和数学精神呢？

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