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2025-2026学年广东省广州二中九年级（下）第一阶段数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%.以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程x2+2x-2=0，配方正确的是（　　）
A. （x+1）2=1 B. （x+1）2=3 C. （x-1）2=2 D. （x-1）2=3
3.在一个不透明的布袋里装有若干颗玻璃珠，这些玻璃珠除颜色外都相同，其中红色玻璃珠有8颗.现将布袋里的玻璃珠充分搅匀，每次随机摸出一颗记录颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红色玻璃珠的频率稳定在0.16左右，试估计布袋里玻璃珠的总颗数为（　　）
A. 50 B. 40 C. 30 D. 20
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，S△AOD：S△COB=1：4，则AD：BC=（　　）
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9
5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好在边BC上.若∠AB′C′=62°，则旋转角的度数为（　　）
A. 38°
B. 48°
C. 52°
D. 56°
6.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠ABC=130°，则∠AOC的度数是（　　）
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
7.已知点（-4，y1），（-2，y2）和（-1，y3）都在二次函数y=a（x+2）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y1＜y2
8.某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图所示，小雅同学测得水面AB宽为8m,拱顶C到水面AB的距离也为8m,则这座桥的桥拱半径为（　　）
A. 4m
B. 5m
C. 6m
D. 8m
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C.下面推断中正确的是（　　）
A. 抛物线开口向上
B. 当x=-2时，y取最大值
C. 当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根
D. 直线y=kx+c经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是4＜x＜0
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 .
12.近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，设每个月平均增长率为x,则根据题意可列方程为 .
13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），已知△ABC的顶点A（2，4），若点D的坐标为（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为 .
14.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm,扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的侧面积为 cm2.
15.如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF，连接EF，AH⊥EF于点H，交BC于点G，若BG=2，CG=1，则CE的长为 .
16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连接AD，使得△ACD面积为12，连接BD，则BD的最大值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
如图，已知点O和△ABC.请在网格中画图：
（1）画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称.
（2）把△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2.
19.(本小题6分)
在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”、“秋”、“冬”图案的不透明卡片（分别记为卡片A、卡片B、卡片C、卡片D）.规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首.
（1）从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”季节的概率是______；
（2）从中随机抽取两张不同的卡片，请你用树状图或列表法求抽出的两张卡片中包含“春”季节的概率.
20.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+2m-1=0.
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根.
（2）若△ABC的一条边AC的长为，另两边AB，CB的长是一元二次方程的两个实数根.当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？
21.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，m），B（n,-2），与x轴交于点C.
（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式及点C的坐标；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）求△AOB的面积.
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°.
（1）尺规作图：作出∠ABC的角平分线，与边AC交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与AC交点为D.
（2）在（1）所作图形中：
①试判断⊙O与直线BC的位置关系，并说明理由；
②若AB=6，BC=10，求CD的长.
23.(本小题10分)
根据以下素材，完成探究任务.
项目主题 合理设置智慧洒水车喷头
问题背景 洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化.
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带.围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习.
素材1 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口H离地面竖直高度h为1.6米.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米.
素材2 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的.
素材3 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=2.2米，竖直高度EF=2米，洒水车到绿化带的距离OD为d米.
问题解决
任务1 测量建模：（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务2 推理分析：（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
任务3 实践探究：（3）若洒水车到绿化带距离调整为d=2.8米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点.已知某函数的图象G由抛物线（y轴左侧的部分）与抛物线（y轴右侧部分）组合而成，此函数的函数表达式也可以表示为，点A、B均在此函数图象上，横坐标分别为m,-m.
（1）当m=1时，求点A与点B纵坐标的差；
（2）当m≠0时，连接AB，过线段AB的中点P作垂直于y轴的直线l,当直线l与该函数的图象G有三个交点时，请画出图象，并结合图象，求m的取值范围；
（3）当m＞0时，函数图象G在-m≤x≤m时，有最高点和最低点，把最高点和最低点纵坐标的差记作f（m），若f（m）≤5，求m的取值范围.
25.(本小题12分)
【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性.A4纸是我们常见的矩形打印纸，将A4纸ABCD沿垂直AD的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形EABF∽矩形ABCD；将A5纸类似的对折，得到与之相似的A6纸…，A4纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感.
（1）【初探结论】如图1，设AD=2a,则A4纸的宽AB=______；（用a表示）
（2）【作图再探】如图1，连接BE，过点E作EG⊥BE交CD于点G.证明：点G为边CD的中点；
（3）【拓展应用】在（1）的条件下，
①如图2，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN，连接AC.请写出并证明线段MN与AC的关系；
②如图3，若点E为边AD上的一动点，沿BE折叠纸片，使点A落在P处，连接PD，CP，求的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】60°
12.【答案】10（1+x）2=14.4
13.【答案】8
14.【答案】12π
15.【答案】2.4
16.【答案】9
17.【答案】解：x2-4x+3=0，
（x-1）（x-3）=0，
x-1=0，x-3=0，
x1=1，x2=3．
18.【答案】△A1B1C1即为所求 △A2B2C2即为所求
19.【答案】
20.【答案】对于一元二次方程x2-（m+3）x+2m-1=0，
Δ=b2-4ac=[-（m+3）]2-4×1×（2m-1）
=（m+3）2-4（2m-1）
=m2+6m+9-8m+4
=m2-2m+13
=（m-1）2+12，
∵无论m为何值，（m-1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根 m=4
21.【答案】一次函数的解析式为y=x+2，点C的坐标为（-2，0） x＜-4或0＜x＜2 6
22.【答案】 ①⊙O与直线BC相切，过点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC=90°，
∴OA⊥AB，
∵OB平分∠ABC，
∴OE=OA（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵OA为半径，
∴⊙O与直线BC相切；②2
23.【答案】y=-0.1（x-3）2+2.5；
（2，0）；
洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∵矩形DEFG，DE=2.2米，竖直高度EF=2米，OD=d=2.8米，
则2.2+2.8=5（米），
∴点F的坐标为（5，2），
当x=5时，y=-0.1（5-3）2+2.5=2.1＞2，
当x＞3时，y随x的增大而减小，
∴能浇灌到整个绿化带
24.【答案】4 -4＜m＜0或0＜m＜4 当时，f（m）≤5
25.【答案】a ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵EG⊥BE，
∴∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEG=90°，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEG，
∴△ABE∽△DEG，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G为边CD的中点 ①4MN=3AC；②的最小值为
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