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2025-2026学年安徽省合肥三十中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.二次函数y=3（x-1）2的顶点坐标是（　　）
A. （0，-1） B. （0，1） C. （-1，0） D. （1，0）
3.关于反比例函数y=，下列说法不正确的是（　　）
A. 图象位于第一、三象限
B. 当x＞0时，y随x的增大而增大
C. 图象与坐标轴无交点
D. 若点（a,b）在该函数图象上，则点（-a,-b）也在该函数图象上
4.如图，DE∥BC，且EC：BD=3：4，AD=8，则AE的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 9
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanB=（　　）
A. 1 B. C. D. 2
6.已知△ABC∽△A′B′C′，若△ABC的三边长分别为1，，，△A′B′C′的其中两边长分别为和.则△A′B′C′的第三边长为（　　）
A. B. 2 C. D.
7.如图，∠C=15°，且，则∠E的度数为（　　）
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
8.如图，已知α，β均为锐角，且tanβ=3，请计算：α+β=（　　）
A. 45°
B. 90°
C. 120°
D. 135°
9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③0＞c＞-1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为.其中正确的结论个数有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3，点C为平面内一动点，，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：AM=1：2，则OM的最大值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知，则= .
12.若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为 .
13.已知点C、点D是线段AB的两个黄金分割点，若AB=2，则CD= （结果保留根号）.
14.已知二次函数y=ax2-4ax+6（a＞0）
（1）该二次函数图象的对称轴为直线 ；
（2）若△ABC的顶点坐标为A（1，3）、B（2，5）、C（3，3），且此函数图象与△ABC只有两个交点，则a的取值范围是 .
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：2cos30°-sin45°cos45°+|tan60°-2|.
16.(本小题8分)
已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点（-3，4）和（1，-4）.
（1）求b,c的值；
（2）若点A（-1，m）在函数y=-2x2+bx+c的图象上，求m的值.
17.(本小题8分)
《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，求直径AB的长.
18.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1.其中点B坐标为（4，2）.
（1）画出△DEF；
（2）点E坐标为______；
（3）线段AC上一点（x,y）经过变换后对应的点的坐标为______.
19.(本小题10分)
如图，已知反比例函数与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，直线AB交x轴于点M.
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围.
20.(本小题10分)
【材料阅读】：
光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射.我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即n=，已知光线从空气进入水中时的折射半为.
【问题解答】：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线，测得折射角∠NOQ=37°，NQ=12cm.若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
（1）sin∠CON=______；
（2）求CQ的长.（结果精确到0.1cm）
21.(本小题12分)
如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作EC⊥AC，交AD的延长线于E，连接DB，且CD=CE.
（1）求证：DC与⊙O相切.
（2）若AB=10，tan∠BDC=，求CE的长.
22.(本小题12分)
如图1，在矩形ABCD中，点E为CD的中点.点F是BC上一点，连接BE，AF，且BE⊥AF于点G.
（1）求证：△ABF∽△BCE；
（2）若BG=1，，求GE的长.
（3）在（2）的条件下，如图2，连接DG，求证：∠BAF=∠DGE.
23.(本小题14分)
已知在平面直角坐标系中有抛物线y=mx2-x（m≠0）.
（1）若此抛物线对称轴为直线x=1，求m的值；
（2）另有直线y=-x+m与此抛物线交于A，B两点（点A在点B的左边），点C为抛物线与y轴的交点.
①在△ABC中，当∠ABC为直角时，求m的值；
②当m为何值时，△ABC的面积为2.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】2-4
14.【答案】x=2
或a=1，

15.【答案】．
16.【答案】 m=8
17.【答案】26寸．
18.【答案】作图见解析过程；
（2，1）
．
19.【答案】y=-x+2；
6；
-2＜x＜0或x＞4．
20.【答案】 9.3 cm
21.【答案】（1）证明：连接OD，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠A+∠E=90°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∴∠A+∠CDE=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC与⊙O相切；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
又∵∠BDC+∠ODB=90°，
∴∠BDC=∠A，
∵∠BCD=∠ACD，
∴△BCD∽△DCA，
∴，
∵tan∠BDC=tan∠A=，
设CB=x，则CD=2x，
∴CD2=CB CA，
∴（2x）2=x （x+10），
∴x=，
∴CD=CE=．
22.【答案】证明：在矩形ABCD中，∠ABF=∠BCE=90°，
∵BE⊥AF，
∴∠BGF=90°，
∴∠BFG=∠BEC=90°-∠FBG，
∴△ABF∽△BCE GE=4 证明：如图，过D作DH⊥AG于点H，
则∠BAF=∠ADH=90°-∠DAH，
∴sin∠BAF=sin∠ADH，
即，
由（2）可知AB=，
∵=，
∴AD=BC=，
∴=，
∴AH=，
∵AG=3，
∴GH=AG-AH=，
∴AH=GH，
∴DH垂直平分AG，
∴DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∵∠BAF+∠DAH=90°，∠DGE+∠DGA=90°，
∴∠BAF=∠DGE
23.【答案】（1） （2）①m=2；②m=±2
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