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山西大学附中
2025~2026 学年高三年级第二学期 3 月模块诊断 数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题 (本小题 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.)
1. 对一组数据3,3,3,1,1,5,5,2,4,若任意去掉其中一个数据,剩余数据的统 计量一定会发生变化的为( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
2. 已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 则 ( )
A. B. C. D.
3. 若复数 满足 (为虚数单位)，则 )
A. 1 B. C. D.
4. 已知集合 ，则 ( )
A. -2 B. C. D. 1
5. 函数 在区间 上的图象可能是( )
A.
B.
C
D
6. 已知 是等比数列,若 ,则
A 4 B. C. 16 D. 64
7. 米斗是称量粮食 量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具， 有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味. 某居民家中收藏了一个木质的米斗, 如图所示, 该米斗的容积为 1 斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的 2 倍, 若该米斗中刚好装了半斗米(米均匀分布在米斗中)，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为( )
A B. C. D.
8. 已知 是半径为 2 的圆 上的四个动点,若 ，则 的最大值为( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 32
二、多选题(本小题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 现有 4 个编号为 1, 2, 3, 4 的盒子和 4 个编号为 1, 2, 3, 4 的小球, 要求把 4 个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有 16 种
B. 有空盒子的方法共有 256 种
C. 恰有 1 个盒子不放球的方法共有 144 种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有 16 种
10. 椭圆 上 动点 与点 的距离的最小值为 ,则 的值可以是 ( )
A. B. C. D.
11. 记 内角 的对边分别是 ，，，已知 则下列选项正确的是( )
A. B. 角 的最大值为
C. D. 的取值范围是
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 在 的展开式中， 的系数是_____. (用数字作答)
13. 若直线 平分圆 的周长,则 的最小值为_____.
14. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点. 当三角形三个内角都小于 时,费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 如图,已知 和 都是正三角形， ， 且 ， 三点共线，设点 是 内的任意一点，则 的最小值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
15. 已知函数
(1)若函数 (是偶函数，求实数 的值；
(2)若 将方程 的所有正数解从小到大排列，构成数列 ，其前 项和为 ,求 的值.
16. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴平行.
(1)求实数 的值；
(2)若对于任意 恒成立,求实数 的取值范围.
17. 已知双曲线 的左顶点为 ，离心率为 ，是 止的两点.
(1)求
(2)若 不在直线
18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 76 为合格品, 小于 76 为次品, 现抽取这种元件 100 件进行检测, 检测结果统计如下表:
测试指标 [20,68) [68, 76) [76,84) [84,92) [92,100]
元件数(件) 2 18 36 40 4
(1)现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率;
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若随机变量 具有数学期望 ,方差 ,则对任意正数 均有 成立.
(i) 若 证明:
(ii) 由切比雪夫不等式可知, 随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的. 若该工厂声称本厂元件合格率为 ，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？(注:当随机事件 发生的概率小于 0.05 时，可称事件 为小概率事件)
19. 如图 1,在梯形 中， 是线段 的一点， ，将 沿 翻折到 的位置.
(1)如图 2，若 建 的中点，二面角 P-ED 为直二面角，证明:
;
(2)如图2，若二面角 为直二面角， 分别是_____， 处的中点，若直线_____ 与平面 所成角为 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角余弦值的取值范围;
(3)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点 CE的中点，G，H 分别在线段 PK，CD 上(不包含端点)，且 GH PK，的公垂线，如图 3 所示，记四面体 的内切球半径为 ，证明:
图1 图2 图3
山西大学附中 2025~2026 学年高三年级第二学期 3 月模块诊断 数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:闫芙蓉
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D B D C A C
二、多选题
9. ABD 10. BD 11. ABD
三、填空题
12.80 13.4 14.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.)
15. 已知函数
(1)若函数 是偶函数，求实数 的值.
(2)若 ，将方程 的所有正数解从小到大排列，构成数列 其前项和为_____尔息求 的值.
【答案】(1)
(2)278π
(1)因为函数 是偶函数，所以 整理可得 ，所以 ，
因为 ，所以 .
(2)由 得
解得 ,
从小到大排列为: ; 所以
16. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴平行.
(1)求实数 的值；
(2)若对于任意 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1) 求得 ,得到 , 根据题意列出方程 ,且0 可求解;
(2)由(1)知 转 化为 设 ,利用导数求得函数的单调性与 ,即可求解.
【小问 1 】
解:因为函数 ,可得
所以 ,即曲线 在点 处的切线的斜率为 , 因为曲线 在点 处的切线与 轴平行,所以 ,解得 故实数 的值为 .
【小问 2 】
解: 由 (1) 知
因为 ,所以由 ,即
设 ,
则 在 上恒成立,
所以函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 ,即实数 的取值范围是 .
17. 已知双曲线 的左顶点为 ，离心率为 ，是 的两点. (1)求 的标准方程；
(2)若 ( 不在直线 上)，证明:直线_____过定点.
(1) 因为
所以 ,故 的标准方程为 .
(2)证明:依题意可设直线 的方程为
由 ,得
则
,由 (2) 知
因为 ,所以
即
即
即 ,得 ,解得 或 -1 当 时，直线 ，直线 过点 ，不符合题意，舍去； 当 时，直线 满足 则直线 过定点 故直线 过定点
18. 某市高新技术开发区, 一家光学元件生产厂家生产某种元件, 其质量按测试指标划分为: 指标大于或等于 76 为合格品, 小于 76 为次品, 现抽取这种元件 100 件进行检测, 检测结果统计如下表:
测试指标 [20,68) [68, 76) [76,84) [84,92) [92,100]
元件数(件) 2 18 36 40 4
(1)现从这 100 件样品中随机抽取 2 件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率;
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若随机变量 具有数学期望 ,方差 ,则对任意正数 均有 成立.
(i) 若 证明:
(ii) 由切比雪夫不等式可知, 随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的. 若该工厂声称本厂元件合格率为 95%，那么根据所给样本数据，请结合 “切比雪夫不等式” 说明该工厂所提供的合格率是否可信？(注:当随机事件 发生的概率小于 0.05 时，可称事件 为小概率事件
【小问 1 】
记事件 为抽到一件合格品,事件 为抽到另一件为不合格品,
【小问 2 】
(i) 由题: 若
又 ,
所以
由切比雪夫不等式可知, ,
所以 ,
(ii)设随机抽取 100 件产品中合格品的件数为 假设厂家关于产品合格率为 95% 的说
法成立,则 ,所以 ,
由切比雪夫不等式知, ,
即在假设下 100 个元件中合格品为 80 个的概率不超过 0.021 , 此概率极小, 由小概率原理可知,
一般来说在一次试验中是不会发生的, 据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
19. 如图 1,在梯形 中， 是线段 的一点， ,将 沿 翻折到 的位置.
图1
图2
图3
(1)如图 2，若 是 的中点，二面角 的直二面角，证明: 平面
(2)如图 2，若二面角 为直二面角， ， 分别是 BC，PF的中点，若直线 与平面 所成角为 ， ，求平面 与平面 (所成锐二面角余弦值的取值范围.
(3)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点 为线段 的中点，G，H 分别在线段 PK，CD 上(不包含端点)，且_____(为H PK，的公垂线，如图 3 所示， 记四面体 的内切球半径为 ，证明:
(1) 由题意知
而 是 的中点，
所以 ,
又平面 平面 ,
平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
(2)在平面 内作 的垂线作为 轴，所以 轴,
如图以 为坐标原点,分别以 为 轴正半轴建立空间直角坐标系:
因为 ,设 ,
所以 ,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量 ，
得 ,
取 ,
,
解得 .
设平面 的法向量 ,
得 ,取 得 ,
设平面 与平面 所成锐二面角为 ,则
由于 在 上单调递增,故 ,
故 ,
所以平面 与平面 所成锐二面角余弦值的取值范围是 ;
(3) 是四面体的表面积， ，令_____行画面 (所成角为_____，
,
因为 是公垂线， 上的点和 上的点的最短距离是 ,
(取不到等号),
,
.

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