资源简介

(共33张PPT)
7.1 相交线
第七章 相交线与平行线
人教版2024·七年级下册
第1课时　两条直线相交
知识回顾
1、如果两个角的和等于______，就说这两个角互为余角；
2、如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角.
3、角α的余角是 ，它的补角是 .
180°
90°
180°- α
90°- α
5、等角的余角 、等角的补角 ；
4、同角的余角 、同角的补角 ；
相等
相等
相等
相等
还记得这些知识吗？
对于相交，要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系;
对于平行，要借助一条直线与另外两条直线相交所成的角，研究平行线的判定和性质.
在此基础上，还要学习图形的平移等.
在上一章中，我们认识了几何图形，并学习了一些基本的平面图形--直线、射线、线段和角.本章我们将学习平面内不重合的两条直线的位置关系:相交与平行
在本章中获得的知识，是后面学习三角形、四边形等平面图形的基础.在本章中，我们还将学习通过简单的推理得出数学结论的方法，逐步养成言之有据的思考习惯.
章前引言
章前引言
你对两条直线相交、平行一定不陌生吧!
大桥的吊索、钢梁上的钢条
你对两条直线相交、平行一定不陌生吧!
十字路口的道路
你对两条直线相交、平行一定不陌生吧!
窗户的边框
你对两条直线相交、平行一定不陌生吧!
剪刀开合的过程
你能再举出一些相交线和平行线的实例吗
这些图形中两条直线的位置关系有什么共同点？
直线与直线相交于一点并形成了四个角.
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系
导入新课
探究点1
探究相交线
做一做
a
b
用两根木条钉在一起，转动木条模拟相交线，观察转动过程中角的变化
相交线的定义：
平面内有一个公共点的两条直线叫做相交线，
注意：公共点为交点
——相交线所成角的关系
（1）观察木条转动时，所成的角之间有哪些不变的关系？
新知探究
探究点2
探究对顶角定义
议一议
（1）“木条转动时，所成的角之间有哪些不变的关系？”能否画图说明
B
A
C
D
O
1
2
3
4
学生活动：
画两条相交直线AB和CD，交于点O，标注交角形成的四个角∠1、∠2、∠3、∠4。
（2）画图观察，将这些角两两相配能得到几对角？
∠1和∠2
∠2和∠3
∠3和∠4
∠4和∠1
∠2和∠4
∠1和∠3
探究点2
探究对顶角定义
议一议
∠1和∠2有什么位置关系？它们的边有什么特点？∠1和∠3呢？
1
2
3
4
A
B
C
D
形如∠1 与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
O
邻补角定义：
有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角
邻补角两个条件
两角有一条边为公共边
两个角的另外一条边互为反向延长线
探究点2
探究对顶角定义
议一议
∠1和∠2有什么位置关系？它们的边有什么特点？∠1和∠3呢？
1
2
3
4
A
B
C
D
O
形如∠1 与∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
对顶角定义：
有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角
1、有公共顶点
2、没有公共边
3、两边互为反向延长线
对顶角特点：
角的名称 位置关系 图例
邻补角
对顶角
2、有一条公共边
3、另一边互为反向延长线
1、有公共顶点
1、有公共顶点
2、没有公共边
3、两边互为反向延长线
B
A
C
D
O
1
2
3
4
探究点2
探究对顶角定义
∠1和∠2
∠2和∠3
∠3和∠4
∠4和∠1
∠2和∠4
∠1和∠3
议一议
图中邻补角与对顶角有什么区别，找一找邻补角和对顶角
探究点2
探究对顶角定义
议一议
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
做一做
探究点3
探究对顶角的性质，规范推理
用量角器测量所画图形中四个角的度数，记录∠1与∠2、∠1与∠3的度数关系，猜想四个角的关系。
B
A
C
D
O
1
2
3
4
∠1+∠2=180°
∠1=∠3
（1）邻补角的度数和是多少
（2）对顶角的度数有什么关系？
猜想
验证推广：用几何画板动态演示两条直线相交的过程，改变夹角大小，观察角的度数变化，验证猜想是否始终成立。
如图，直线AB与CD相较于O点，
∠3是∠2的 .
∴∠3+ ∠2= .
议一议
探究点3
探究对顶角的性质，规范推理
B
A
C
D
O
1
2
3
4
如图，直线AB与CD相较于O点，
∠2是∠1的 .
∴∠1+ ∠2= .
（3）你能得到什么结论？为什么？
180°
180°
对顶角相等
（1）∠1和∠2位置是什么关系？大小有什么关系？
邻补角
（2）∠3和∠2位置是什么关系？大小什么关系？
邻补角
∠1=∠3，理由：根据同角的补角相等
归一归
探究点3
探究对顶角的性质，规范推理
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3、 ∠2=∠4.
解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3.
同理可得：∠2=∠4.
∵直线AB与CD相交于O点
∴∠1=∠3
对顶角性质定理:
对顶角相等
应用格式：
B
A
C
D
O
1
2
3
4
例1　直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数
解:∵∠1 和∠2互为邻补角，
∴ ∠1 +∠2 =180°
∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
∴∠3=∠1=40°（对顶角相等），
∠4=∠2=140° （对顶角相等），.
B
A
C
D
O
1
2
3
4
例2.直线AB、CD相交于点O，∠AOC:∠BOC=2:7，求∠BOD和∠AOD的度数.
解:设，
∠AOC:∠BOC=2:7，
∴，
∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
得方程：，
解方程，得
∴∠AOC=40°，∠BOC=140°.
∴∠BOD=∠AOC=40°（对顶角相等），
∠AOD＝∠BOC=140°（对顶角相等）.
A
B
C
D
O
1.在下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角
解：(1) (2)(3)中的∠1和∠2不是对顶角;
(4)中的∠1 和∠2 是对顶角.
（1）
（2）
（3）
（4）
教材P3“练习”
2.如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α=35°，其他三个角分别等于多少度 如果∠α等于90°，115°，m°呢
解：如果∠α=35°，
其他三个角分别是145°，35°，145°;
如果∠α=90°，其他三个角都是 90°;
如果∠α=115°，
其他三个角分别是65°，115°，65°;
如果∠α=m°，
其他三个角分别是(180-m)°，m°(180-m)°.
教材P3“练习”
180-∠α
∠α
180-∠α
新知巩固
3.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC:∠BOC=2:7.，
则∠BOC=_____°、∠AOD=_____°.
A
B
C
D
O
解：∵∠AOC:∠BOC=2:7
∴ ∠AOC=∠BOC
∵∠AOC+∠BOC=180°
∴∠BOC+∠BOC=180°
∴∠BOC=140°
∴ ∠AOD=∠BOC=140°（对顶角相等）
140
140
拓展提升
1.若两条相交直线中有一个角为m°，求其他三个角的度数.
解：与这个角相邻的两个角分别是（180－m）°、（180－m）°，
与这个角是对顶角的角是m°.
180-m°
m°
180-m°
A
B
C
D
O
m°
2．如图，与是对项角，，则 ．
解： ∵与是对项角，
∴ ，（对顶角相等）
，
解得：；
1．（2025肥西摸底测试）如图，直线，相交于点，
则图中的对顶角有 ．
解：根据对顶角的定义可知，图中的对顶角有：
与，与．
与，与
2．（2025聊城期终测试）【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角的度数，王明设计了如下方案：作，的延长线，，量出的度数，就得到了的度数，王明这样做的依据是 ．
解：根据对顶角的定义和性质可知，
与为对顶角，
∴．
对顶角相等
3．（2025镇江期中测试）如图是一把剪刀，若，则 ．
解：∵，
，
∴，
∴
课堂小结
1. 知识总结：
本节课学到了哪些概念和性质？如何区分邻补角和对顶角
邻补角互补
对顶角相等
2. 方法总结：
邻补角
2、有一条公共边
3、另一边互为反向延长线
1、有公共顶点
对顶角
1、有公共顶点
2、没有公共边
3、两边互为反向延长线
我们是通过什么步骤研究相交线的？
观察—画图—猜想—证明—应用
3. 易错提醒：
邻补角和对顶角这两中类型的角例都有边互为反向延长线，避免概念辨析错误。
教材P8
1. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
（1）写出∠AOC，∠BOE 的邻补角；
（2）写出∠DOA，∠EOC 的对顶角；
（3）如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB的度数.
解：（1）∠AOC 的邻补角是 ∠AOD、∠COB；
∠BOE 的邻补角是 ∠AOE、∠BOF；
（2）∠DOA 的对顶角是 ∠BOC；
∠EOC 的对顶角是 ∠DOF；
（3）因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角，
所以∠BOD =∠AOC = 50°.
因为∠COB 与∠AOC 互为邻补角，
所以∠COB +∠AOC = 180°.
则∠COB = 180°-∠AOC = 180°-50°= 130°.
习题7.1
教材习题7.1第5题.
5. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC.
（1）若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度数；
（2）若∠EOC∶∠EOD = 2∶3，求∠BOD 的度数.
教材P8
习题7.1
（2）∵∠EOC∶∠EOD = 2∶3，
又∵∠EOC +∠EOD = 180°，
∴∠EOC = 180°× = 72°，
∵OA 平分∠EOC，
∴∠AOC = ∠EOC =36°，
∴∠BOD =∠AOC = 36°.
教材习题7.1第5题.
5. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC.
（1）若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度数；
（2）若∠EOC∶∠EOD = 2∶3，求∠BOD 的度数.
解：（1）∵ OA 平分∠EOC 且∠EOC = 70°，
∴∠AOC = ∠EOC = ×70°= 35°.
∵直线 AB、CD 相交于点 O，
∴∠BOD 与∠AOC 是对顶角.
∴∠BOD = ∠AOC = 35°.
教材P8
习题7.1
感谢聆听!

展开更多......

收起↑