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8.6.3.2　平面与平面垂直的性质定理
一．选择题
1.(多选题)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是(　　)
A.若m⊥α,m∥n,n β,则α⊥β
B.若m,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α∥β,m α,n β,则m∥n
D.若α⊥β,m α,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β
2.下列说法错误的是(　　)
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作一条直线与两平面的交线垂直,那么此直线必垂直于β
3.(多选题)如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA⊥AD,下列结论正确的是(　　)
A.PD⊥BD
B.PD⊥CD
C.PB⊥BC
D.PA⊥BD
4.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC =30°,则PC=(　　)
A. B.2
C. D.2
5.如图,平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和β内,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=3,BD=12,则CD=(　　)
A.8 B.10
C.13 D.16
6.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则(　　)
A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α
B.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
C.若α⊥β,m⊥β,n⊥α,则m⊥n
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
7.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2,E,F分别是侧面ACC1A1和侧面ABB1A1上的动点,且满足二面角A-EF-A1为直二面角.若点P在线段EF上,且AP⊥EF,则点P的轨迹的面积是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
二．填空题
8.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是边AB上的一动点,则PM的最小值为　　　　　.
9.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,AB的长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,则θ=　　　　　.
10.在三棱柱ABC-A'B'C'中,侧面A'ACC'是垂直于底面的菱形,BC⊥A'C',则A'B与AC'所成的角的大小为　　　　　.
三．解答题
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,AB∥CD,∠DAB =90°,PA=AD,DC=2AB.
求证:(1)PA⊥BC;
(2)平面PBC⊥平面PDC.
12.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD,则PA与BD是否相互垂直 请证明你的结论.
13.如图①,在四边形ABCD中,AD=2,CD=2,△ABC是边长为4的正三角形,把△ABC沿AC折起到△PAC的位置,使得平面PAC⊥平面ACD,如图②所示,O,M,N分别为AC,PA,AD的中点.
①
②
(1)求证:平面PAD⊥平面PON;
(2)求三棱锥M-ANO的体积.
8.6.3　平面与平面垂直
第2课时　平面与平面垂直的性质定理
一．选择题
1.AD
A选项,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n β,则α⊥β,正确;B选项,若m,n α,m∥β,n∥β,只有m与n相交,才能得出α∥β,错误;C选项,若α∥β,m α,n β,则m,n可能平行也可能异面,错误;D选项,由面面垂直的性质定理可知正确.故选AD.
2.D
3.BCD
因为PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA 平面PAD,所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.故D正确.
同理CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD.故B正确.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以PB⊥BC.故C正确.
若PD⊥BD,又PA⊥BD,PA∩PD=P,则BD⊥平面PAD,则BD⊥AD,显然不成立,故A不正确.
故选BCD.
4.C
因为PA=PB=,PA⊥PB,所以AB=2.
因为AB⊥BC,∠BAC=30°,
所以BC=ABtan 30°=2.
因为平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC 平面ABC,
所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,
所以PC=.
5.C
如图,连接BC.
∵BD⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,BD β,∴BD⊥α.
∵BC α,∴BD⊥BC,
在Rt△BAC中,BC==5.
在Rt△CBD中,CD==13.
6.C
7.B
∵二面角A-EF-A1为直二面角,
∴平面AEF⊥平面EFA1.
又点P在线段EF上,且AP⊥EF,AP 平面AEF,平面AEF∩平面EFA1=EF,
∴AP⊥平面EFA1.
连接A1P,如图,
∴AP⊥A1P,
∴点P在以AA1为直径的球上,且P在三棱柱ABC-A1B1C1内部,
∴点P的轨迹为以AA1为直径的球在三棱柱ABC-A1B1C1内部的曲面.
又由已知条件得三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,
∴点P的轨迹的面积S=×4π×12=.故选B.
二．填空题
8.2
如图,连接CM,由题意可知PC⊥平面ABC,则PC⊥CM,所以PM=.要求PM的最小值,只需求出CM的最小值即可.
在△ABC中,当CM⊥AB时,CM取得最小值,此时CM=4×=2,所以PM的最小值为2.
9.45°
如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.
因为△PAD是等边三角形,所以PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG 平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ.
在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,
所以∠PBG=45°,
即θ=45°.
10.90°
如图,连接A'C.因为BC⊥A'C',A'C'∥AC,
所以BC⊥AC.
因为平面A'ACC'⊥平面ABC,平面A'ACC'∩平面ABC=AC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面A'ACC',
所以BC⊥AC'.
因为四边形A'ACC'为菱形,
所以AC'⊥A'C.
因为BC∩A'C=C,所以AC'⊥平面A'CB,
所以AC'⊥A'B.
所以A'B与AC'所成的角等于90°.
三．解答题
11.
证明:(1)因为平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB,
PA 平面PAB,
所以PA⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD,所以PA⊥BC.
(2)取PC的中点E,PD的中点F,
连接BE,AF,EF(图略),
则EF∥CD,EF=CD.
又AB∥CD,AB=CD,所以EFAB.
所以四边形ABEF为平行四边形,
所以BE∥AF.
因为PA=AD,F为PD的中点,
所以AF⊥PD.
由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
又∠DAB=90°,AB∥CD,所以CD⊥AD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥AF.
又PD∩CD=D,
所以AF⊥平面PDC,所以BE⊥平面PDC.
又BE 平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PDC.
12.
解:PA与BD互相垂直.证明如下:如图,取BC的中点O,连接PO,AO.
∵PB=PC,∴PO⊥BC.
又侧面PBC⊥底面ABCD,侧面PBC∩底面ABCD=BC,
∴PO⊥底面ABCD,
∴PO⊥BD.
∵AB=BC=2CD,∴BO=CD.
又∠ABO=∠BCD=90°,
∴△ABO≌△BCD,
∴∠BAO=∠CBD.
又∠CBD+∠ABD=90°,
∴∠BAO+∠ABD=90°,∴AO⊥BD.
又PO∩AO=O,∴BD⊥平面PAO,
∴BD⊥PA,∴PA与BD相互垂直.
13.
(1)证明:因为△PAC为正三角形,O为AC的中点,所以PO⊥AC.
又平面PAC⊥平面ACD,平面PAC∩平面ACD=AC,所以PO⊥平面ACD.
又AD 平面ACD,所以PO⊥AD.
因为AD=2,CD=2,AC=4,
所以AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD.
又O,N分别为AC,AD的中点,
所以ON∥CD,
所以AD⊥ON.
又ON∩PO=O,
所以AD⊥平面PON.
又AD 平面PAD,
所以平面PAD⊥平面PON.
(2)解:因为△PAC是边长为4的等边三角形,
所以PO=2.
又PO⊥平面ACD,M为PA的中点,所以M到平面ACD的距离d=PO=.
因为ON为△ACD的中位线,所以S△AON=S△ACD=×2×2=.
所以VM -ANO=S△AON·d=.

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