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第八章 立体几何初步
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知四边形ABCD的直观图如图所示,其中B'C'∥A'D'∥x'轴,A'B'∥y'轴,若A'B'=2,A'D'=2B'C'=4,则原四边形的面积为(　　)
A.4 B.8
C.12 D.10
2.已知圆锥的底面半径为1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为(　　)
A. B.π
C. D.π
3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)
A.12π B.12π
C.8π D.10π
4.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列结论正确的是(　　)
A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β
B.若m∥n,m α,n β,则α∥β
C.若m∥n,m∥α,则n∥α
D.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
5.如图,在正四面体OABC中,D是OA的中点,则BD与OC所成角的余弦值是(　　)
A. B.
C. D.
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.CC1与B1E是异面直线
B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1
D.A1C1∥平面AB1E
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于(　　)
A.AC B.BD
C.A1D D.A1D1
8.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)相互啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组,经90°旋转榫卯起来(如图).已知单个正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器的表面积的最小值为(　　)
A.36π B.40π
C.41π D.44π
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线l⊥平面α,直线m 平面β.则下列结论正确的是(　　)
A.α∥β l⊥m B.α⊥β l∥m
C.l∥m α⊥β D.l⊥m α∥β
10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=4,BC=2,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,则下列说法正确的是(　　)
A.A,M,N,B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
11.如图①,点E为正方形ABCD边BC上异于点B,C的动点,将△ABE沿AE翻折,得到四棱锥B-AECD如图②所示,且平面BAE⊥平面AECD,点F为线段BD上异于点B,D的动点,则在四棱锥B-AECD中,下列说法正确的有(　　)
图①
图②
A.直线BE与直线CF必不在同一平面内
B.存在点E使得直线BE⊥平面DCE
C.存在点F使得直线CF与平面BAE平行
D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=　　　　　.
13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=　　　　　.
14.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,若PG=λGD,则λ=　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图,求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积(单位:cm).
16.(15分)在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过点A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别为棱SA,SC的中点.求证:
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
18.(17分)如图①,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中点.现沿AD将三角形PAD折起,使得PA⊥AB,如图②所示,点E,F分别为BC,AB的中点.
图①
图②
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求证:平面PAE⊥平面PDE;
(3)试在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE,并证明你的结论.
19.(17分)(2025全国新课标Ⅱ卷,17)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB =90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.
(1)证明:A'B∥平面CD'F;
(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.
第八章 立体几何初步
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C
由题意可知,在原四边形中,AD=4,AB=4,BC=2,且∠BAD=90°,BC∥AD,
故原四边形的面积S=·AB=12.
2.A
设圆锥的底面半径为r,母线长为R,高为h,则2πr=πR,
因为r=1,所以R=2,所以h=,所以圆锥的体积V=π×12×π.
3.B
过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设圆柱的底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2,即r=,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.
4.D
对于A,β与γ也可能相交,故A错误;对于B,α与β也可能相交,故B错误;对于C,n也可能在α内,故C错误;对于D,∵m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又n⊥β,∴α∥β,故D正确.
5.B
取AC的中点E,连接DE,BE,如图.
∵D,E分别是OA,AC的中点,∴DE∥OC.
∴∠BDE(或其补角)就是BD与OC所成的角.
设正四面体的棱长为2,则BD=BE=,DE=1,
在△BDE中,cos∠BDE=.故选B.
6.C
对于A,显然CC1与B1E都在平面BCC1B1内,故CC1与B1E不是异面直线,故A错误;对于B,若AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥AB,而由题意可知△ABC是正三角形,矛盾,故AC不可能垂直于平面ABB1A1,故B错误;对于C,显然AE与B1C1不同在任一平面内,故AE与B1C1是异面直线,又易知AE⊥平面BCC1B1,故AE⊥B1C1,故C正确;对于D,延长C1A1到点D,使C1A1=A1D,连接B1D,AD(图略),易证AE∥B1D,则平面AB1E即是平面ADB1E,而C1D与平面ADB1E相交于点D,故A1C1与平面AB1E不平行,故D错误.
7.B
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,且AC∩AA1=A,故BD⊥平面A1ACC1,而CE 平面A1ACC1,故BD⊥CE.
8.C
由题意知,当该球为长、宽、高分别为2,1,6的长方体的外接球时,球的半径取最小值,即该球形容器的半径的最小值为,故该球形容器的表面积的最小值为4π×=41π.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.AC
A项中,∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.
又m β,∴l⊥m,故A正确.
B项中,由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l β,再由m β得不到l∥m,故B错误.
C项中,∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,又m β,
∴α⊥β,故C正确.
D项中,若α∩β=m,也可满足l⊥α,l⊥m,
故D错误.
10.BC
对于A,显然AM,BN是异面直线,则A,M,N,B四点不共面,故A错误;
对于B,由题意知AD⊥平面CDD1C1,则平面ADM⊥平面CDD1C1,故B正确;
对于C,如图,取CD的中点O,连接BO,ON,可知三角形BON为等边三角形,而B1M∥BO,则直线BN与B1M所成的角为60°,故C正确;
对于D,取DD1的中点P,连接AP,则BN∥AP,而AP与平面ADM交于A点,故BN与平面ADM不平行,故D错误.
11.AC
对于A,假设直线BE与直线CF在同一平面内,则E在平面BCF上,又在图①中E在线段BC上,所以E与C重合,与E异于C矛盾,所以直线BE与直线CF必不在同一平面内;
对于B,若存在点E使得直线BE⊥平面DCE,因为AE 平面DCE,所以BE⊥AE,又AB⊥BE,所以△ABE中有两个直角,与三角形内角和为180°矛盾,所以不存在点E使得直线BE⊥平面DCE;
对于C,取F为BD的中点,EC=AD,再取AB的中点G(图略),则EC∥FG且EC=FG,所以四边形ECFG为平行四边形,所以FC∥EG,则直线CF与平面BAE平行;
对于D,过B作BO⊥AE于O,过D作DH⊥AE于H(图略),因为平面BAE⊥平面AECD,平面BAE∩平面AECD=AE,所以BO⊥平面AECD.
因为平面BAE⊥平面AECD,平面BAE∩平面AECD=AE,DH⊥AE,所以DH⊥平面BAE,所以DH⊥BE.
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直,因为DH 平面AECD,DC 平面AECD,DH∩DC=D,所以BE⊥平面AECD,所以E与O重合,与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾,所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直.故选AC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.4
依题意,a2·a=16,解得a=4.
13.1
由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD,
∴CC1⊥EF,又BC∩CC1=C,
∴EF⊥平面CC1F,∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角,
即∠C1FC=45°,
∵AA1=CC1=1,∴CF=1,
又BC=2,∴BF=1.
14.1
因为平面AGF∥平面PEC,平面PCD∩平面AGF=GF,平面PCD∩平面PEC=PC,
所以GF∥PC.
又F为DC的中点,所以G为PD的中点,即PG=GD,所以λ=1.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
解:由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一个半球面.
可得S半球=8π cm2,S圆台侧=35π cm2,S圆台底=25π cm2.
故所求几何体的表面积为68π cm2.
由V圆台=×(π×22++π×52)×4=52π(cm3),V半球=π×23×(cm3),
故所求几何体的体积为V圆台-V半球=52π-(cm3).
16.
证明:(1)∵AS=AB,AF⊥SB,
∴F为SB的中点.
又点E,G分别为棱SA,SC的中点,
∴EF∥AB,FG∥BC.
又EF 平面ABC,FG 平面ABC,AB 平面ABC,BC 平面ABC,
∴EF∥平面ABC,FG∥平面ABC,
又EF∩FG=F,
∴平面EFG∥平面ABC.
(2)∵平面SAB⊥平面SBC,AF⊥SB,平面SAB∩平面SBC=SB,AF 平面SAB,
∴AF⊥平面SBC,
∴AF⊥BC.
又BC⊥AB,AF∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB.
又SA 平面SAB,∴BC⊥SA.
17.
(1)证明由已知得AM=AD=2.
如图,取BP的中点T,连接AT,TN.
∵N为PC的中点,
∴TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,
∴TN AM,
∴四边形AMNT为平行四边形,
∴MN∥AT.
又AT 平面PAB,MN 平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
(2)解∵PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
∴点N到平面ABCD的距离为PA=2.
如图,取BC的中点E,连接AE.
∵AB=AC=3,
∴AE⊥BC,AE=.
又AM∥BC,
∴点M到BC的距离为,
∴S△BCM=×4×=2.
∴VN-BCM=×2×2=.
18.
(1)证明在直角梯形PBCD中,
∵PB∥CD,CD⊥BC,PB=2CD,A是PB的中点,
∴四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥PA.
又在图②中,PA⊥AB,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)证明∵PA⊥平面ABCD,ED 平面ABCD,
∴PA⊥ED.在矩形ABCD中,
∵BC=2CD=2AB=2BE=2EC,
∴∠BEA=45°,∠CED=45°,
∴∠AED=90°,即AE⊥ED.
又PA∩AE=A,
∴ED⊥平面PAE.
又ED 平面PDE,
∴平面PAE⊥平面PDE.
(3)解在PA上取一点G,使PG=3GA,则FG∥平面PDE.
证明如下:取ED的中点M,在PD上取一点N,使PN=3ND,连接FG,FM,MN,GN(图略),
则FM∥AD,GN∥AD,FM=(BE+AD)=AD,GN=AD,∴FM GN,
∴四边形FMNG为平行四边形,
∴FG∥MN.
又MN 平面PDE,FG 平面PDE,
∴FG∥平面PDE.
19.
(1)证明 由题意知,EB∥FC,FC 平面CD'F,EB 平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.
又A'E∥D'F,D'F 平面CD'F,A'E 平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.
又A'E∩EB=E,A'E,EB 平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.
又A'B 平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.
(2)解因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,
所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',
又平面EFD'A'∩平面EFCD=EF,FD' 平面EFD'A',FC 平面EFCD,
所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCD所成的二面角的平面角,
所以∠D'FC=60°,所以△D'FC为等边三角形.
延长EF,BC交于点C1,连接C1D'.不妨设DF=1,则由题可得FC=1,BE=2,
又BE∥FC,所以CF为△C1EB的中位线,所以C1F=1,
所以S△D'FC·C1F=×12×1=.
又D'C1=,D'C=1,C1C=,
设△CC1D'中CD'边上的高为h1,
则h1=,则CD'·h1=.
设点F到平面D'C1C的距离为h2,
由,得h2=.
易知点F到D'C1的距离为D'C1=.
设平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角为θ,则sin θ=.

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