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题型突破03 平行线的性质
题型目录：
题型一 平行线的性质-同位角相等
题型二 平行线的性质-内错角相等
题型三 平行线的性质-同旁内角互补
题型四 平行线的判定与性质综合应用
题型一 平行线的性质-同位角相等
1．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为（　　）
A．55° B．60° C．70° D．75°
2．如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．32° C．22° D．68°
3．（2026 龙沙区开学）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2＝151°，则∠1＝（　　）
A．63° B．67° C．61° D．69°
4．（2026 沙坪坝区校级开学）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．115° B．110° C．105° D．100°
5．如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2的度数是 　 　 °．
6．如图，△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，若∠B＝40°，则∠BDA′的度数是　 　 ．
7．如图，若AB∥CF，DE∥CF，∠BCD＝30°，∠D＝40°，求∠B的度数．
8．如图，AB∥CD，EH⊥AB，垂足为H．若∠1＝50°，求∠E的度数．
9．（2026春 青秀区校级月考）学习平行线的证明后，李老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小天和小桃的探究思路：
（1）【猜想与证明】请完成小天的证明过程；
（2）【发现与探究】根据小桃的反例，探索∠B与∠E之间的数量关系，并证明；
（3）【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的数量关系．
题型二 平行线的性质-内错角相等
1．（2026 龙凤区校级开学）如图，直线CD∥AB，点D在射线AE上．若∠A＝35°，则∠CDA的度数是（　　）
A．35° B．55° C．145° D．125°
2．如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．（2026 渠县校级开学）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE＝39°，则∠AEC的度数是（　　）
A．51° B．61° C．39° D．141°
4．（2025 宿城区校级一模）如图，AB⊥BC，AD∥BE，若∠BAD＝28°，则∠CBE的大小为（　　）
A．66° B．64° C．62° D．60°
5．（2025秋 雁塔区校级期末）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（　　）
A．45° B．40° C．25° D．20°
6．（2025 历下区校级模拟）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（　　）
A．100° B．105° C．115° D．120°
7．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．70°
9．如图，小明沿箭头所指示的路线行走，经过两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一个拐角∠A＝80°，那么第二个拐角∠B＝　 　 °．
10．将一副三角尺（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，要使AB∥EF，则∠1的度数应为　 　 ．
11．（2026 龙凤区校级开学）如图，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠B′FC＝50°，则∠DEF的度数为 　 　 °．
12．（2026 鼓楼区校级开学）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠1＝60°30'，则∠ECD等于
　 　 度．
13．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝　 　 ．
14．把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN＝　 　 ．
15．如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　 　 ．
16．如图，把一块含30°角的三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝37°，那么∠2的度数为 　 　 ．
17．（2026 沙坪坝区校级开学）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠NED∠EFM，则∠MFA＝　 　 °．
18．已知：如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF，求证∠E＝∠F．
19．如图，AB∥CD，MG，NH分别平分∠BMN，∠CNM．求证：NH∥MG．
证明：因为AB∥CD，
所以∠BMN＝　 （　 　 ）．
因为MG，NH分别平分∠BMN，∠CNM，
∴∠MNH ，
∠NMG （角平分线的定义），
所以 ＝ ，
所以NH∥MG（内错角相等，两直线平行）．
20．如图1，已知三角形ABC，过点A的直线EF∥BC．求证：∠B+∠C+∠BAC＝180°．
（1）下面是小华的证明过程，请在括号中填写解题的依据．
证明：因为EF∥BC（已知），
所以∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C（　 　 ）．
因为∠BAE+∠BAC+∠CAF＝180°（　 　 ），
所以∠B+∠C+∠BAC＝180°（　 　 ）．
（2）如图2，已知三角形ABC，E在AC的延长线上，AB∥CD．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．
（3）由（1）和（2），你能得出什么结论？　 　 ．
21．如图，C为两条互相平行的直线AB，DE之间的一点（点C在点B，D的右侧），∠ABC和∠CDE的平分线相交于点F．
（1）若∠CDF+∠ABC＝180°，判断直线AD与BC的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝α，直接写出∠DFB的度数．（用含α的代数式表示）
22．已知直线MN∥PQ，点A，C分别在MN，PQ上，点B在直线MN，PQ之间，且∠BCP＜∠BAM＜90°．
（1）如图1，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCP．将下列推理过程补充完整：
如图1，过点B作BG∥PQ．
因为MN∥PQ，
所以MN∥BG（　 　 ），
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCP（　 　 ），
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCP．
（2）如图2，点D，E在直线MN上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．求证：∠DEB＝∠DBE．
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线MN平行，试判断∠BAM与∠BCP之间的数量关系，并说明理由．
题型三 平行线的性质-同旁内角互补
1．（2026春 无锡校级月考）将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）
A．138° B．124° C．116° D．108°
2．如图，已知，，平分，，则　　．
3．（2025秋 太谷区期末）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 　 　 ．
4．如图直线AB∥CD，∠A＝115°，∠E＝80°，则∠CDE的度数为　 　 ．
5．（2026 渠县校级开学）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝120°，∠2＝56°，则∠3＝　 　 ．
6．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB＝3：4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为　 　 ．
7．（2026春 无锡校级月考）如图，直线l1∥l2，∠CAB＝124°，∠ABD＝86°，则∠C+∠D＝　 　 ．
8．某小区车库门口的曲臂道闸升降杠如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE．若∠ABC＝120°，则∠BCD的度数为　 　 ．
9．（2026 渠县校级开学）补全下面推理过程：
生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，求∠ABC+∠BCD的度数．解：如图②，过点B作BF∥AE．
∵CD∥AE（ 　 　 ），
∴ ∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠BCD+　 ＝180°（ 　 　 ）
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝ 　 　 （ 　 　 ）
∵BF∥AE（辅助线作法），
∴　 +∠EAB＝180°，
∴∠ABF＝180°﹣∠EAB＝ ，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝ ．
题型四 平行线的判定与性质综合应用
1．如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少，那么这两个角的度数分别是　　 ．
3．（2026 龙凤区校级开学）光线在不同介质中传播会发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1+∠2＝α°，则∠4﹣∠3＝ 　 　 °（用含α的代数式表示）．
4．（2026 东兴区校级开学）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论，其中错误的是　 　 （填序号）．
①AB∥CD；
②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；
③∠EHG+∠EFM＝90°；
④5∠EHG﹣∠EFM＝180°．
5．如图，CD∥FE，∠1＝∠2，∠DGC＝100°，求∠BCA的度数．
6．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠CGD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠1+∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
7．（2026 鼓楼区校级开学）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AE∥DG；
（2）若EF平分∠AEB，∠CDG＝110°，求∠CAE的度数．
8．如图1是一盏可调节台灯，如图2是这盏可调节台灯的侧面示意图，固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可以绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变，现调节台灯，使CD∥MN，CE∥BA，若∠DCE＝67°，求∠BAO的度数．
9．（2026 沙坪坝区校级开学）阅读题目，完成下面推理过程：
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．
如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD．
求证：∠EFN＝∠G．
证明：如图，延长EF交CD于点P．
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ①）．
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝ ②（ ③）．
∴EP∥GH（ ④）．
∴∠EFN+ ⑤＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵ ⑥（已知），
∴∠FNG+∠G＝180° （ ⑦）．
∴∠EFN＝∠G（ ⑧）．
10．（2025秋 兰州期末）【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP．
（1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ；
【总结归纳】
（2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP．
①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数；
②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）．
11．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝20°，∠D＝40°，求∠AED的度数；
②猜想图1中∠AED，∠A，∠D的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与直线AB，CD分别交于点E，F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的四个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点．猜想∠PEB，∠PFD，∠EPF的关系（任写出两种，直接写答案）．
12．如图，直线PQ∥MN，C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，则∠C与∠1，∠2之间的数量关系为　∠C＝∠1+∠2　 ．
（2）若小明把一个三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°，按如图2所示的方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点．若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：①的值不变；②∠GEN﹣∠BDF的值不变．其中只有一个结论是正确的，请写出正确的结论，并求出不变的值是多少．中小学教育资源及组卷应用平台
题型突破03 平行线的性质
题型目录：
题型一 平行线的性质-同位角相等
题型二 平行线的性质-内错角相等
题型三 平行线的性质-同旁内角互补
题型四 平行线的判定与性质综合应用
题型一 平行线的性质-同位角相等
1．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为（　　）
A．55° B．60° C．70° D．75°
【答案】A
【分析】利用平行线的性质定理和判定定理，即可解答．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠5＝125°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝180°﹣125°＝55°，
故选：A．
2．如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．32° C．22° D．68°
【答案】C
【分析】由平行线的性质得到∠3＝∠1＝68°，由平角定义即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝68°，
∵∠2+∠4+3＝180°，∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣68°＝22°．
故选：C．
3．（2026 龙沙区开学）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得∠2＝151°，则∠1＝（　　）
A．63° B．67° C．61° D．69°
【答案】C
【分析】根据三角形外角性质和对顶角性质得∠3＝∠4＝61°，根据平行线的性质得∠3＝∠1＝61°．
【解答】解：如图所示，
∵∠2＝90°+∠4＝151°，
∴∠4＝61°，
∴∠3＝∠4＝61°（对顶角相等），
根据题意可知a∥b，
∴∠1＝∠3＝61°（两直线平行，同位角相等）．
故选：C．
4．（2026 沙坪坝区校级开学）如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．115° B．110° C．105° D．100°
【答案】A
【分析】如图，首先证明∠AMO＝∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM＝55°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
【解答】解：如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO＝∠2；
∵∠ANM＝∠1，而∠1＝55°，
∴∠ANM＝55°，
∴∠AMO＝∠A+∠ANM＝60°+55°＝115°，
∴∠2＝∠AMO＝115°．
故选：A．
5．如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2的度数是 　 　 °．
【答案】50．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．
【解答】解：
∵直线a∥b，∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
故答案为：50．
6．如图，△ABC中，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，若∠B＝40°，则∠BDA′的度数是　 　 ．
【答案】100°
【分析】根据平行线的性质，可得∠ADE与∠B的关系，根据折叠的性质，可得△ADE与△A′DE的关系，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝40°．
△ADE沿DE翻折，使得点A落在平面内的A′处，
∴∠A′DE＝∠ADE＝40°．
由角的和差，得
∠BDA′＝180°﹣∠A′DE﹣∠ADE
＝180°﹣40°﹣40°
＝100°．
故答案为：100°．
7．如图，若AB∥CF，DE∥CF，∠BCD＝30°，∠D＝40°，求∠B的度数．
【分析】根据三角形内角和，可以求得∠DEC的度数，然后根据平行线的性质可以得到∠B的度数．
【解答】解：∵∠BCD＝30°，∠D＝40°，
∴∠DEC＝110°，
∵AB∥CF，DE∥CF，
∴AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEC＝110°，
即∠B＝110°．
8．如图，AB∥CD，EH⊥AB，垂足为H．若∠1＝50°，求∠E的度数．
【分析】∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等可求出∠3，在直角三角形中，两锐角互余，即可求解．
【解答】解：∵∠1＝50°，
∴∠1＝∠2（对顶角相等），
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝50°，
又∵EGH⊥AB，
∴∠E＝90°﹣∠3＝90°﹣∠50°＝40°．
9．（2026春 青秀区校级月考）学习平行线的证明后，李老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小天和小桃的探究思路：
（1）【猜想与证明】请完成小天的证明过程；
（2）【发现与探究】根据小桃的反例，探索∠B与∠E之间的数量关系，并证明；
（3）【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的数量关系．
【分析】（1）根据AB∥DE，得出∠B＝∠DGC，根据BC∥EF，得出∠DGC＝∠E，即可得出∠B＝∠E；
（2）根据AB∥DE，得出∠1+∠E＝180°，根据BC∥EF，得出∠B＝∠1，即可得出∠B+∠E＝180°；
（3）根据解析（1）（2）即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DGC，
∵BC∥EF，
∴∠DGC＝∠E，
∴∠B＝∠E．
（2）解：∠B+∠E＝180°，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠1+∠E＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠B＝∠1，
∴∠B+∠E＝180°．
（3）解：综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
题型二 平行线的性质-内错角相等
1．（2026 龙凤区校级开学）如图，直线CD∥AB，点D在射线AE上．若∠A＝35°，则∠CDA的度数是（　　）
A．35° B．55° C．145° D．125°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵CD∥AB，∠A＝35°，
∴∠CDA＝∠A＝35°．
故选：A．
2．如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，
∴AC∥DB，
又∵∠C＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°，
故选：D．
3．（2026 渠县校级开学）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，∠AEC与∠FED互余，已知∠AFE＝39°，则∠AEC的度数是（　　）
A．51° B．61° C．39° D．141°
【答案】A
【分析】由平行线的性质得出∠FED的度数，再由余角的性质即可求出∠AEC的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠FED＝∠AFE＝39°，
∵∠AEC与∠FED互余，
∴∠AEC＝90°﹣∠FED＝51°．
故选：A．
4．（2025 宿城区校级一模）如图，AB⊥BC，AD∥BE，若∠BAD＝28°，则∠CBE的大小为（　　）
A．66° B．64° C．62° D．60°
【答案】C
【分析】先利用平行线的性质可得∠BAD＝∠ABE＝28°，再根据垂直定义可得∠ABC＝90°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AD∥BE，
∴∠BAD＝∠ABE＝28°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝62°，
故选：C．
5．（2025秋 雁塔区校级期末）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（　　）
A．45° B．40° C．25° D．20°
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠ACB＝45°，根据平行线的性质求出∠MCB＝∠α＝30°，再根据角的和差求解即可．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵CM∥BN，
∴∠MCB＝∠α＝20°，
∴∠β＝∠ACB﹣∠MCB＝25°，
故选：C．
6．（2025 历下区校级模拟）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（　　）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和三角尺的度数即可得到∠1的度数．
【解答】解：由题意得：BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°，
∴∠BCD＝∠EDF＝30°，
∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴30°+45°+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝105°，
∴∠1＝105°，
故选：B．
7．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2＝（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】过点B作BN∥FG，根据矩形的性质可得BN∥EH∥FG，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠3，∠2＝∠4，然后求出∠1+∠2＝∠ABC，从而得出答案．
【解答】解：如图，过点B作BN∥FG，
∵四边形EFGH是矩形纸片，
∴EH∥FG，
∴BN∥EH∥FG，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠ABC＝90°，
即∠1+∠2＝90°．
故选：B．
8．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．若∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，则∠EPF的度数是（　　）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【答案】C
【分析】首先求出∠ABP和∠CDP，再根据平行线的性质求出∠BPN和∠DPN即可．
【解答】解：∵∠ABE＝160°，∠CDF＝150°，
∴∠ABP＝180°﹣∠ABE＝20°，∠CDP＝180°﹣∠CDF＝30°，
∵AB∥CD∥MN，
∴∠BPN＝∠ABP＝20°，∠DPN＝∠CDP＝30°，
∴∠EPF＝∠BPN+∠DPN＝20°+30°＝50°．
故选：C．
9．如图，小明沿箭头所指示的路线行走，经过两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一个拐角∠A＝80°，那么第二个拐角∠B＝　 　 °．
【答案】80．
【分析】直接根据两直线平行内错角相等作答即可．
【解答】解：∵小明沿箭头所指示的路线行走，经过两次转弯后，和原来的方向相同，
∴小明转弯前与转弯后方向平行，
∵第一个拐角∠A＝80°，
∴∠B＝∠A＝80°．
故答案为：80．
10．将一副三角尺（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，要使AB∥EF，则∠1的度数应为　 　 ．
【答案】105°．
【分析】根据直线平行线的性质得∠E＝∠EDB＝45°，再由三角形的外角性质求解即可．
【解答】解：∵∠E＝45°，
∵AB∥EF，
∴∠E＝∠EDB＝45°，
又∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠1＝∠EDB+∠B＝105°，
故答案为：105°．
11．（2026 龙凤区校级开学）如图，把长方形ABCD沿EF折叠，若∠B′FC＝50°，则∠DEF的度数为 　 　 °．
【答案】65．
【分析】利用折叠的性质求出∠BFE，再根据平行线的性质求出结果即可．
【解答】解：由折叠可得：，
∵长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝65°（两直线平行，内错角相等），
即∠DEF的度数为65°，
故答案为：65．
12．（2026 鼓楼区校级开学）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠1＝60°30'，则∠ECD等于
　 　 度．
【答案】119.5．
【分析】由邻补角的性质求出∠ABC＝119.5°，由平行线的性质推出∠ECD＝∠ABC＝119.5°．
【解答】解：∵∠1＝60°30'＝60.5°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1＝119.5°，
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠ABC＝119.5°．
故答案为：119.5．
13．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝　 　 ．
【答案】30°．
【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度数．．
【解答】解：过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，
∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，
∴∠1＝30°．
故答案为：30°．
14．把一副直角三角尺按如图方式摆放，点C与点E重合，BC边与EF边都在直线l上，若直线MN∥AC，且MN经过点D，则∠CDN＝　 　 ．
【答案】75°．
【分析】利用平角定义可求出∠ACD＝75°，然后利用平行线的性质，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠DEF＝45°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DEF＝75°，
∵AC∥MN，
∴∠ACD＝∠CDN＝75°，
故答案为：75°．
15．如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　 　 ．
【答案】130°．
【分析】延长DC到点E，根据平行线的性质可得∠BCE＝∠ABC＝25°，再根据折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°，进而得到答案．
【解答】解：延长DC到点E，如图：
∵AB∥CD，
∴∠BCE＝∠ABC＝25°，
由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°，
∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BCE﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
故答案为：130°．
16．如图，把一块含30°角的三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝37°，那么∠2的度数为 　 　 ．
【答案】127°．
【分析】利用余角的定义可得∠3的度数，再利用平行线的性质得出∠4的度数，然后根据补角的定义计算即可．
【解答】解：如图所示：
∵∠1＝37°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝53°，
∵直尺对边平行，
∴∠4＝∠3＝53°，
∵∠2+∠4＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝127°，
故答案为：127°．
17．（2026 沙坪坝区校级开学）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点B、C分别落在点M、N的位置，且∠NED∠EFM，则∠MFA＝　 　 °．
【答案】36
【分析】先由折叠的性质得到∠NEF＝∠CEF，∠MFE＝∠BFE，再由平行线的性质得到∠DEF＝∠BFE，结合已知条件推出，则，再由平角的定义求出∠DEF＝72°，则∠MFE＝∠BFE＝72°，由此即可求出∠MFA的度数．
【解答】解：由折叠的性质可得∠NEF＝∠CEF，∠MFE＝∠BFE，
∵AB∥CD，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠DEF＝∠MFE，
∵，
∴，
∴，
∵∠CEF+∠DEF＝180°，
∴，
∴∠DEF＝72°，
∴∠MFE＝∠BFE＝∠DEF＝72°，
∴∠AFM＝180°﹣∠MFE﹣∠BFE＝36°，
故答案为：36．
18．已知：如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF，求证∠E＝∠F．
【分析】根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCD，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
又∵∠ABE＝∠DCF，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DCB﹣∠DCF，
即∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF，
∴∠E＝∠F．
19．如图，AB∥CD，MG，NH分别平分∠BMN，∠CNM．求证：NH∥MG．
证明：因为AB∥CD，
所以∠BMN＝　 （　 　 ）．
因为MG，NH分别平分∠BMN，∠CNM，
∴∠MNH ，
∠NMG （角平分线的定义），
所以 ＝ ，
所以NH∥MG（内错角相等，两直线平行）．
【答案】∠CNM，两直线平行，内错角相等，∠CNM，∠BMN，∠MNH，∠NMG．
【分析】根据平行线的判定与性质即可解决问题．
【解答】证明：因为AB∥CD，
所以∠BMN＝∠CNM（两直线平行，内错角相等），
因为MG，NH分别平分∠BMN，∠CNM，
所以∠∠CNM，
∠NMG∠BMN（角平分线的定义），
所以∠MNH＝∠NMG，
所以NH∥MG（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠CNM，两直线平行，内错角相等，∠CNM，∠BMN，∠MNH，∠NMG．
20．如图1，已知三角形ABC，过点A的直线EF∥BC．求证：∠B+∠C+∠BAC＝180°．
（1）下面是小华的证明过程，请在括号中填写解题的依据．
证明：因为EF∥BC（已知），
所以∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C（　 　 ）．
因为∠BAE+∠BAC+∠CAF＝180°（　 　 ），
所以∠B+∠C+∠BAC＝180°（　 　 ）．
（2）如图2，已知三角形ABC，E在AC的延长线上，AB∥CD．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．
（3）由（1）和（2），你能得出什么结论？　 　 ．
【分析】（1）根据平行线的性质、平角的定义求证即可；
（2）根据平行线的性质、平角的定义求证即可；
（3）结合（1）和（2），总结即可．
【解答】（1）证明：因为EF∥BC（已知），
所以∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
因为∠BAE+∠BAC+∠CAF＝180°（平角的定义），
所以∠B+∠C+∠BAC＝180°（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DCE，∠B＝∠BCD，
∵∠ACB+∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．
（3）解：结合（1）和（2），能得出三角形内角和是180°，
故答案为：三角形内角和是180°．
21．如图，C为两条互相平行的直线AB，DE之间的一点（点C在点B，D的右侧），∠ABC和∠CDE的平分线相交于点F．
（1）若∠CDF+∠ABC＝180°，判断直线AD与BC的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝α，直接写出∠DFB的度数．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）直线AD与BC的关系是：AD∥BC，理由如下：
如图1所示：
∵AD平分∠CDE，
∴∠1＝∠CDF，
∵AB∥DE，
∴∠2＝∠1，
∴∠2＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ABC＝180°，
∴∠2+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）过点C作CP∥DE交AD于点P，过点F作FQ∥DE交BC于点Q，如图2所示：
∵∠ABC和∠CDE的平分线相交于点F，
设∠ABF＝∠CBF＝θ，∠EDF＝∠CDF＝β，
∴∠ABC＝2θ，∠EDC＝2β，
∴∠NBC＝180°﹣2θ，∠MDC＝180°﹣2β，
∵AB∥DE，CP∥DE，
∴AB∥CP∥DE，
∴∠DCP＝∠MDC＝180°﹣2β，∠BCP＝∠NBC＝180°﹣2θ，
∴∠DCP+∠BCP＝360°﹣2（β+θ），
∵∠BCD＝α，
∴∠DCP+∠BCP＝∠BCD＝α，
∴α＝360°﹣2（β+θ），
∴β+θ，
∵AB∥DE，FQ∥DE，
∴AB∥FQ∥DE，
∵∠DFQ＝∠EDF＝β，∠BFQ＝∠ABF＝θ，
∴∠DFQ+∠BFQ＝β+θ，
∴∠DFB＝∠DFQ+∠BFQ，
∴∠DFB的度数为：．
22．已知直线MN∥PQ，点A，C分别在MN，PQ上，点B在直线MN，PQ之间，且∠BCP＜∠BAM＜90°．
（1）如图1，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCP．将下列推理过程补充完整：
如图1，过点B作BG∥PQ．
因为MN∥PQ，
所以MN∥BG（　 　 ），
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCP（　 　 ），
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCP．
（2）如图2，点D，E在直线MN上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．求证：∠DEB＝∠DBE．
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线MN平行，试判断∠BAM与∠BCP之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得MN∥PQ，再根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点B作BG∥NC，根据MN∥PQ，可得MN∥BG，所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCP，结合（1）即可进行证明；
（3）根据∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥MN，可得∠EBF＝∠DEB，根据BF平分∠CBE，可得∠CBF＝∠EBF，结合（2）可得∠DBC＝3∠FBC，根据平行线的性质即可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，过点B作BG∥PQ，
因为MN∥PQ，
所以MN∥BG（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCP（两直线平行，内错角相等），
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCP．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥PQ，
因为MN∥PQ，
所以MN∥BG，
所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCP，
由（1）知：∠ABC＝∠BAM+∠BCP．
又∠DBC＝∠BAM，
所以∠ABC＝∠DBC+∠BCP．
因为∠ABC＝∠ABD+∠DBC．
所以∠ABD＝∠BCP，
所以∠ABD＝∠CBG，
因为BE平分∠ABC．
所以∠ABE＝∠EBC，
所以∠DBE＝∠EBG，
所以∠DEB＝∠DBE；
（3）解：∠BAM＝3∠BCP，理由如下：如图，
因为∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥MN，
所以∠EBF＝∠DEB，
因为BF平分∠CBE，
所以∠CBF＝∠EBF，
由（2）知：∠DEB＝∠DBE，
所以∠DBC＝3∠FBC，
因为PQ∥MN，
所以PQ∥BF，
所以∠FBC＝∠BCP，
所以∠DBC＝3∠BCP，
因为∠BAM＝∠DBC，
所以∠BAM＝3∠BCP．
题型三 平行线的性质-同旁内角互补
1．（2026春 无锡校级月考）将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）
A．138° B．124° C．116° D．108°
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质可以得到∠AGI的度数，然后根据对顶角的性质和平行线的性质，即可求得∠2的度数．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠1＝48°，
∴∠AGI＝180°﹣∠A﹣∠1＝42°，
∴∠DGH＝∠AGI＝42°，
∵DF∥EC，
∴∠DGH+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠DGH＝180°﹣42°＝138°，
故选：A．
2．如图，已知，，平分，，则　　．
【分析】根据平行线性质求出，根据角平分线求出，根据平行线性质求出即可．
【解答】解：，
，，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
3．（2025秋 太谷区期末）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 　 　 ．
【答案】58°
【分析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故答案为：58°．
4．如图直线AB∥CD，∠A＝115°，∠E＝80°，则∠CDE的度数为　 　 ．
【答案】15°
【分析】先延长AE交CD于F，根据AB∥CD，∠A＝115°，即可得到∠AFD＝65°，再根据∠AED是△DEF的外角，∠E＝80°，即可得到∠CDE＝80°﹣65°＝15°．
【解答】解：延长AE交CD于F，
∵AB∥CD，∠A＝115°，
∴∠AFD＝65°，
又∵∠AED是△DEF的外角，∠E＝80°，
∴∠CDE＝80°﹣65°＝15°．
故答案为：15°．
5．（2026 渠县校级开学）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝120°，∠2＝56°，则∠3＝　 　 ．
【答案】64°．
【分析】由∠1＝120°可知∠4＝60°，再由a∥b可知∠2+∠4+∠3＝180°，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴∠4＝180°﹣120°＝60°，
∵a∥b，∠2＝56°，
∴∠2+∠4+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4＝180°﹣56°﹣60°＝64°．
故答案为：64°．
6．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB＝3：4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为　 　 ．
【答案】60°
【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB＝3：4以及平行线的性质，即可得出∠BEF的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF＝40°，
∴∠CFB＝180°﹣∠B＝140°，
又∵∠CFE：∠EFB＝3：4，
∴∠CFE∠CFB＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CFE＝60°，
故答案为：60°．
7．（2026春 无锡校级月考）如图，直线l1∥l2，∠CAB＝124°，∠ABD＝86°，则∠C+∠D＝　 　 ．
【答案】30°．
【分析】先利用三角形外角性质得∠1+∠3＝125°，∠2+∠4＝85°，把两式相加得到∠1+∠3+∠2+∠4＝210°，再根据平行线的性质，由l1∥l2得到∠3+∠4＝180°，然后通过角度的计算得到∠1+∠2的度数．
【解答】解：如图
∵∠1+∠3＝124°，∠2+∠4＝86°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝210°，
∵l1∥l2，
∴∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．
故答案为：30°．
8．某小区车库门口的曲臂道闸升降杠如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE．若∠ABC＝120°，则∠BCD的度数为　 　 ．
【答案】150°．
【分析】过点B作BF∥AE，则BF∥CD，由BA垂直地面AE于点A，可得出∠BAE＝90°，由BF∥AE，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠ABF的度数，结合∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF，可求出∠CBF的度数，再由BF∥CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可求出∠BCD的度数．
【解答】解：过点B作BF∥AE，则BF∥CD，如图所示．
∵BA垂直地面AE于点A，
∴∠BAE＝90°，
∵BF∥AE，
∴∠ABF＝180°﹣∠BAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°﹣90°＝30°，
∵BF∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBF＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
9．（2026 渠县校级开学）补全下面推理过程：
生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，BA垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，求∠ABC+∠BCD的度数．解：如图②，过点B作BF∥AE．
∵CD∥AE（ 　 　 ），
∴ ∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠BCD+　 ＝180°（ 　 　 ）
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝ 　 　 （ 　 　 ）
∵BF∥AE（辅助线作法），
∴　 +∠EAB＝180°，
∴∠ABF＝180°﹣∠EAB＝ ，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝ ．
【答案】已知；BF；∠CBF；两直线平行，同旁内角互补；90°；垂直的定义；∠FBA；90°；270°．
【分析】根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果．
【解答】解：如图②，过点B作BF∥AE，
∵CD∥AE（已知），
∴BF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠BCD+∠CBF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠EAB＝90°（垂直的定义），
∵BF∥AE（辅助线作法），
∴∠FBA+∠EAB＝180°，
∴∠ABF＝180°﹣∠EAB＝ 90°，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝270°．
故答案为：已知；BF；∠CBF；两直线平行，同旁内角互补；90°；垂直的定义；∠FBA；90°；270°．
题型四 平行线的判定与性质综合应用
1．如图，已知，、、分别平分、、，则图中与互余的角共有　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：，是的平分线，是的平分线，
，，
，，即，与互余；
，
，
与互余；
，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，与互余，
与互余的角有5个．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，余角和补角，熟知两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
2．已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少，那么这两个角的度数分别是　　 ．
【分析】根据条件可知这两个角相等或互补，利用方程思想可求得其大小．
【解答】解：两个角的两边互相平行，
这两个角相等或互补，
设一个角为，则另一个角为，
当这两个角相等时，则有，解得，此时这两个角分别为、；
当这两个角互补时，则有，解得，此时这两个角为、；
故答案为：、或、．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握两个角的两边互相平行则这两个角相等或互补是解题的关键．
3．（2026 龙凤区校级开学）光线在不同介质中传播会发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1+∠2＝α°，则∠4﹣∠3＝ 　 　 °（用含α的代数式表示）．
【答案】180﹣α．
【分析】根据平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵空气中的光线平行，
∴∠1＝∠3．
∵水面与玻璃杯的底面平行，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠4．
∵∠1+∠2＝α°，
∴∠3+180°﹣∠4＝α°，
∴∠4﹣∠3＝180°﹣α°．
故答案为：180﹣α．
4．（2026 东兴区校级开学）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论，其中错误的是　 　 （填序号）．
①AB∥CD；
②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；
③∠EHG+∠EFM＝90°；
④5∠EHG﹣∠EFM＝180°．
【答案】③④．
【分析】过H作HP∥AB，先根据同位角相等两直线平行得出AB∥CD，再根据平行线的性质以及对顶角相等、三角形内角和以及倍角关系求解即可．
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC，
∴AB∥CD，故①正确，
过H作HP∥AB，如图：
∴HP∥CD，
∴∠AEH＝∠EHP，∠CGH＝∠PHG，
∴∠EHG＝∠AEH+∠CGH，
∵∠AEH＝∠BEN，
∴∠AEG＝∠BEN+∠CGH，
∵∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，
∴2∠AEH＝2∠BEN+2∠CGH＝∠FEN+∠FGH，故②正确，
∵∠AEF＝180°﹣∠FEN﹣∠BEN＝180°﹣3∠BEN，∠AMF＝∠FGC＝∠FGH+∠CGH＝3∠CGH，
∴∠FME＝180°﹣∠FMA＝180°﹣3∠CGH，
∵∠EFM+∠FEM+∠EMF＝180°，
∴∠EFM+180°﹣3∠CGH+180°﹣3∠BEN＝180°，
∴∠EFM＝3∠AEG﹣180°，
∴∠EFM+∠AEG＝4∠AEG﹣180°，不一定为90°，故③错误，
5∠AEG﹣∠EFM＝180°+2∠AEG≠180°，故④错误，
综上所述，错误的结论为③④．
故答案为：③④．
5．如图，CD∥FE，∠1＝∠2，∠DGC＝100°，求∠BCA的度数．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BCD＝∠2，结合∠1＝∠2，即可得出∠BCD＝∠1，进而得到DG∥BC，依据平行线的性质，即可得到∠BCA的度数．
【解答】解：∵CD∥FE，
∴∠BCD＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠BCD＝∠1，
∴DG∥BC，
∴∠BCA+∠DGC＝180°，
∵∠DGC＝100°，
∴∠BCA＝80°．
6．如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠CGD．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠1+∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定进行证明即可；
（2）根据平行线的判定及性质进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠CGD，且∠AGE＝∠CGD，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠AHB，
∴∠AHB+∠2＝180°，
∴CE∥BF，
∴∠BEC+∠B＝180°．
又∵∠BEC＝2∠B+30°，
∴2∠B+30°+∠B＝180°，
∴∠B＝50°．
∵AB∥CD，
∴∠HFD＝∠B＝50°．
∵CE∥BF，
∴∠C＝∠HFD＝50°．
7．（2026 鼓楼区校级开学）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AE∥DG；
（2）若EF平分∠AEB，∠CDG＝110°，求∠CAE的度数．
【分析】（1）根据题意，得到∠1＝∠CAE，结合已知条件，得到∠CAE+∠2＝180°，证得结论；
（2）根据已知条件，得到∠AEC的度数，求得其邻补角的度数，利用角平分线，求得∠1的度数，从而得到结果．
【解答】（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠1＝∠CAE，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠CAE+∠2＝180°，
∴AE∥DG；
（2）解：∵AE∥DG，∠CDG＝110°，
∴∠AEC＝∠CDG＝110°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝70°，
∵EF平分∠AEB，
∴∠1∠AEB＝35°，
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠1＝35°．
8．如图1是一盏可调节台灯，如图2是这盏可调节台灯的侧面示意图，固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可以绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD，CE组成的∠DCE始终保持不变，现调节台灯，使CD∥MN，CE∥BA，若∠DCE＝67°，求∠BAO的度数．
【分析】延长CE交MN于点L，延长BA交MN于点K．由CD∥MN，CE∥BA易得∠AKO＝67°；再由垂直关系与互补关系即可求解．
【解答】解：如图，延长CE交MN于点L，延长BA交MN于点K．
∵CD∥MN，∠DCE＝67°，
∴∠KLC＝∠DCE＝67°．
又∵CE∥BA，
∴∠AKO＝∠KLC＝67°．
∵AO⊥MN，
∴∠AOK＝90°，
∴∠OAK＝90°﹣67°＝23°，
∴∠BAO＝180°﹣23°＝157°．
9．（2026 沙坪坝区校级开学）阅读题目，完成下面推理过程：
问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图①是一个“互”字．
如图②是由图①抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD．
求证：∠EFN＝∠G．
证明：如图，延长EF交CD于点P．
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ①）．
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝ ②（ ③）．
∴EP∥GH（ ④）．
∴∠EFN+ ⑤＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵ ⑥（已知），
∴∠FNG+∠G＝180° （ ⑦）．
∴∠EFN＝∠G（ ⑧）．
【答案】①两直线平行，内错角相等；②∠GHD；③等量代换；④同位角相等，两直线平行；⑤∠FNG；⑥MG∥FN；⑦两直线平行，同旁内角互补；⑧同角的补角相等．
【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．
【解答】证明：如图，延长EF交CD于点P．
∵AB∥CD（已知），
∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等①）．
又∵∠AEF＝∠GHD（已知），
∴∠EPD＝∠GHD②（等量代换③）．
∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行④）．
∴∠EFN+∠FNG⑤＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MG∥FN⑥（已知），
∴∠FNG+∠G＝180° （两直线平行，同旁内角互补⑦）．
∴∠EFN＝∠G（同角的补角相等⑧）．
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②∠GHD；③等量代换；④同位角相等，两直线平行；⑤∠FNG；⑥MG∥FN；⑦两直线平行，同旁内角互补；⑧同角的补角相等．
10．（2025秋 兰州期末）【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP．
（1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ；
【总结归纳】
（2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP．
①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数；
②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝29°，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠A＝40°，∠CPE＝∠C＝29°，
∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C＝69°，
∴∠APC＝69°，
故答案为：69°；
（2）∠A，∠APC与∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C；
过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图1所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠A，∠CPE＝∠C，
∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C，
即∠APC＝∠A+∠C，
（3）①由（2）的结论得：∠MPN＝∠BMP+∠DNP，∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1，
∵MP1平分∠BMP，NP1平分∠DNP，
∴∠BMP＝2∠BMP1，∠DNP＝2∠DNP1，
∴∠MPN＝2∠BMP1+2∠DNP1，
∵∠MPN＝100°，
∴∠BMP1+∠DNP1∠MPN＝50°，
∴∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1＝50°；
②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由如下：
过点P作PF∥AB（点F在点P的左侧），如图3所示：
∵MP1平分∠BMP，∠BMP1＝α，
∴∠BMP＝2∠BMP1＝2α，
∴ND平分∠P1NP，
∴设∠P1ND＝∠PND＝β，
∵AB∥CD，PF∥AB，
∴AB∥PF∥CD，
∴∠MPF＝∠BMP＝2α，∠NPF＝∠PND＝β，
∴∠MPN＝∠MPF﹣∠NPF＝2α﹣β，
由（2）的结论得：∠MP1N＝∠BMP1+∠P1ND＝α+β，
∴∠MP1N+∠MPN＝α+β+2α﹣β＝3α．
11．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝20°，∠D＝40°，求∠AED的度数；
②猜想图1中∠AED，∠A，∠D的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与直线AB，CD分别交于点E，F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的四个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点．猜想∠PEB，∠PFD，∠EPF的关系（任写出两种，直接写答案）．
【分析】（1）①过E作EK∥AB，可得∠AEK＝∠A＝20°，∠DEK＝∠D＝40°，故∠AED＝∠AEK+∠DEK＝∠A+∠D＝60°；
②过E作EK∥AB，可得∠AEK＝∠A，∠DEK＝∠D，即得∠AED＝∠AEK+∠DEK＝∠A+∠D；
（2）过P作PT∥AB，分四种情况，根据平行线性质可得答案．
【解答】解：（1）①过E作EK∥AB，如图：
∴∠AEK＝∠A＝20°，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠DEK＝∠D＝40°，
∴∠AED＝∠AEK+∠DEK＝∠A+∠D＝60°；
②∠AED＝∠A+∠D，理由如下：
过E作EK∥AB，
∴∠AEK＝∠A，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠DEK＝∠D，
∴∠AED＝∠AEK+∠DEK＝∠A+∠D；
（2）过P作PT∥AB，
当P在区域a时，如图：
∵PT∥AB∥CD，
∴∠TPE＝180°﹣∠PEB，∠TPF＝180°﹣∠PFD，
∵∠EPF＝∠TPF﹣∠TPE，
∴∠EPF＝（180°﹣∠PFD）﹣（180°﹣∠PEB）＝∠PEB﹣∠PFD；
当P在区域b时，如图：
∵PT∥AB∥CD，
∴∠TPE＝180°﹣∠PEB，∠TPF＝180°﹣∠PFD，
∵∠EPF＝∠TPE﹣∠TPF，
∴∠EPF＝（180°﹣∠PEB）﹣（180°﹣∠PFD）＝∠PFD﹣∠PEB；
同理可得：当P在区域c时，∠PEB+∠PFD+∠EPF＝360°；当P在区域d时，∠PEB+∠PFD＝∠EPF．
12．如图，直线PQ∥MN，C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，则∠C与∠1，∠2之间的数量关系为　∠C＝∠1+∠2　 ．
（2）若小明把一个三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°，按如图2所示的方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点．若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数．
（3）如图3，将图2中的三角尺进行适当转动，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论：①的值不变；②∠GEN﹣∠BDF的值不变．其中只有一个结论是正确的，请写出正确的结论，并求出不变的值是多少．
【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1+∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°﹣2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°﹣x，据此得到的值不变．
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2，
故答案为：∠C＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）结论①的值不变是正确的，
设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴2（定值），
即的值不变，值为2．

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