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第20章 勾股定理 单元培优
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 徐州期末）下列各组数为勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6
C．7，24，25 D．，，
2．（2025秋 彬州市校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（　　）
A．10 B． C． D．4.8
3．（2025秋 管城区校级期末）【数学文化】据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（　　）
A．三角形内角和定理
B．勾股定理的逆定理
C．勾股定理
D．直角三角形两锐角互余
4．（2025秋 成华区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025秋 菏泽月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（　　）
A．10 B． C． D．
6．（2025秋 西湖区校级月考）【生活应用】如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
7．（2025秋 侯马市期末）下列选项中，正确的是（　　）
A．在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：6，则△ABC是直角三角形
D．△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若AB2＝BC2+AC2，则∠A是直角
8．（2025秋 高新区期末）【数学文化】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝15，b﹣a＝3，则每个直角三角形的面积为（　　）
A．64 B．54 C．108 D．48
9．（2025秋 西湖区校级月考）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝8，CD＝6，且AC＝AD，记AB长为x，AC长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．x2 y2 D．
10．（2026 青秀区校级开学）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 沈北新区期末）如图，Rt△ABC的直角边AC＝2，BC＝1，且AC在数轴上，以A为圆心，以AB为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 　 　 ．
12．（2025秋 大庆校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　 　 三角形．
13．（2025秋 仓山区校级期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形A的面积为　 　 ．
14．（2025秋 侯马市期末）小明同学用长度是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm的木棒拼三角形，一共能拼出　 　 个直角三角形．
15．（2025秋 青山区期末）【生活应用】如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　 　 cm．
16．（2025秋 青羊区校级期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，AC相交于点D，E，连接BE．则线段CE的长为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025秋 兴化市期末）求图中的x的值：
（1）
（2）
18．（2025秋 东台市期末）已知，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝8，AC＝6，求CD的长．
19．（2025秋 五华县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求点B到AC的距离．
20．（2025秋 嵊州市期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连结BE，CE2+BC2＝AE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若CE＝ED，求∠A的度数．
21．（2025秋 都昌县期末）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
22．（2025秋 平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．
23．（2025秋 古县期末）【综合实践】综合与实践
校园车场修建了一面墙体，为了测量墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O，在只有足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，两个兴趣小组分别设计了不同解决方案，设计方案如下表．
问题 测量墙体是否与地面垂直
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组
测量方案 如图1，在射线OM，ON，OP上分别取点A，B，C，放置绳子AB，AC，使AB＝AC，用叠合法比较OC与OB的长度，若OC＝OB，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，否则不垂直. 如图2，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为a．如图放置这总长12a的绳子，使OM上的绳子OA＝4a，ON上的绳子OB＝3a，AB＝5a，则AO⊥OB，即MO⊥PN于点O，否则不垂直.
测量示意图
根据上述方案解决问题：
第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
24．（2025秋 资阳期末）【数学文化】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【问题拓展】
（3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第20章 勾股定理 单元培优
一．选择题（共10小题）
1．（2025秋 徐州期末）下列各组数为勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．4，5，6
C．7，24，25 D．，，
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义判断即可．
【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、∵42+52≠62，
∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、∵72+242＝252，
∴7，24，25是勾股数，符合题意；
D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
2．（2025秋 彬州市校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（　　）
A．10 B． C． D．4.8
【答案】A
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值，
故选：A．
3．（2025秋 管城区校级期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（　　）
A．三角形内角和定理
B．勾股定理的逆定理
C．勾股定理
D．直角三角形两锐角互余
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：设相邻两个结点之间的距离为a，则此三角形三边的长分别为3a、4a、5a，
∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2，
∴以3a、4a、5a为边长的三角形是直角三角形，
故选：B．
4．（2025秋 成华区期末）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据半径相等，得出AE＝AB＝3，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CE的长．
【解答】解：由题可知AE＝AB＝3，
在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝3，
∴，
∴，
故选：C．
5．（2025秋 菏泽月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝2，，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是（　　）
A．10 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠B＝90°，AB＝2，，
∴根据勾股定理得，，
∵CD＝5，AD＝4，
∴AC2+AD2＝32+42＝25，CD2＝52＝25，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
．
即四边形ABCD的面积为6，
故选：B．
6．（2025秋 西湖区校级月考）如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（　　）
A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺
【答案】C
【分析】先求出AB⊥B′C，B′C＝5尺，再设AB'＝AB＝x尺，则AC＝（x﹣1）尺，在Rt△AB′C中，利用勾股定理求解即可得．
【解答】解：由题意得：AB⊥B′C，AB′＝AB，（尺），BC＝1尺，
设AB'＝AB＝x尺，则AC＝AB﹣BC＝（x﹣1）尺，
在Rt△AB′C中，AC2+B′C2＝B′A2，即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
即这根芦苇的长度是13尺，
故选：C．
7．（2025秋 侯马市期末）下列选项中，正确的是（　　）
A．在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：6，则△ABC是直角三角形
D．△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若AB2＝BC2+AC2，则∠A是直角
【答案】B
【分析】对于A，要分两种情况：边长为8的边为直角边和边长为8的边为斜边，利用勾股定理可求出第三边的长；对于B、D，利用勾股定理的逆定理可进行判断；对于C，利用三角形内角和定理可进行判断．
【解答】解：A、当8为直角边时，则第三边的长为，当为8为斜边时，则第三边的长为，原说法错误，不符合题意；
B、∵三角形的三边之比为3：4：5，
∴设这个三角形的三边长分别为3k，4k，5k（k＞0），
∵（3k）2+（4k）2＝9k2+16k2＝25k2＝（5k）2，
∴该三角形是直角三角形，正确，符合题意；
C、∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：6，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，，
，
∴△ABC不是直角三角形，原说法错误，不符合题意；
D、若AB2＝BC2+AC2，则AB为直角三角形的斜边，故∠C是直角，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
8．（2025秋 高新区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝15，b﹣a＝3，则每个直角三角形的面积为（　　）
A．64 B．54 C．108 D．48
【答案】B
【分析】由题意可得a2+b2＝152，再与已知条件b﹣a＝3联立，即可求出ab的值，从而求出每个直角三角形的面积．
【解答】解：由勾股定理，得a2+b2＝152＝225，
∵b﹣a＝3，
∴b2﹣2ab+a2＝9，
∴225﹣2ab＝9，
∴ab＝108，
∴每个直角三角形的面积为，
故选：B．
9．（2025秋 西湖区校级月考）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝8，CD＝6，且AC＝AD，记AB长为x，AC长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．x2 y2 D．
【答案】B
【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据垂直定义可得：∠AEB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得DE＝CE＝3，从而可得BE＝11，分别在Rt△ABE和Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∴∠AEB＝90°，
∵AC＝AD，AE⊥BC，
∴，
∵BD＝8，
∴BE＝BD+DE＝8+3＝11，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2＝x2﹣121，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2﹣DE2＝y2﹣9，
∴x2﹣121＝y2﹣9，
∴x2﹣y2＝112，
∴当x，y变化时，x2﹣y2值不变，
故选：B．
10．（2026 青秀区校级开学）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】设两直角边分别为a，b，斜边为c，用a，b，c分别表示正方形，半圆，等边三角形的面积，进而可得答案．
【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2，
第1个图中，
S1＝a，S2＝b2，S3＝c2，
∵a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，符合题意；
第2个图中，
，，，
∵，
∴S1+S2＝S3，符合题意；
第3个图中，作DG⊥EF于点G，则∠EDG60°＝30°，EGEFc，
∴，
∴，
同理：，，
∵，
∴S1+S2＝S3，符合题意；
综上，三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是3个．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（2025秋 沈北新区期末）如图，Rt△ABC的直角边AC＝2，BC＝1，且AC在数轴上，以A为圆心，以AB为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 　1　 ．
【答案】1．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，即得到AD的长，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可．
【解答】解：∵Rt△ABC的直角边AC＝2，BC＝1，
∴由勾股定理得，
由题意得，AD＝AB，
∵点A表示的数是1，
∴点D表示的数为1，
故答案为：1
12．（2025秋 大庆校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　等腰直角　 三角形．
【答案】等腰直角．
【分析】根据非负数的性质求出a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，进而判断出△ABC的形状．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，
∴a＝b，且a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
13．（2025秋 仓山区校级期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形A的面积为　4　 ．
【答案】4．
【分析】根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形A的面积．
【解答】解：∵两个空白三角形均为直角三角形，且B、C、D三个正方形的面积分别为6、2、12，
结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：12﹣2＝10，
则正方形A的面积为10﹣6＝4；
故答案为：4．
14．（2025秋 侯马市期末）小明同学用长度是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm的木棒拼三角形，一共能拼出　2　 个直角三角形．
【答案】2．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系进行判断即可．
【解答】解：∵7+15＝22＞20，7+15＝22＜24，7+15＝22＜25，7+20＝27＞24，7+20＝27＞25，7+24＝31＞25，15+20＝35＞24，15+20＝35＞25，15+24＝39＞25，20+24＝44＞25，
∴能构成三角形的组合为7cm，15cm，20cm；7cm，20cm，24cm；7cm，20cm，25cm；
7cm，24cm，25cm；15cm，20cm，24cm；15cm，20cm，25cm；15cm，24cm，25cm；
20cm，24cm，25cm，
∵72+152＝49+225＝274≠202＝400，7，15，20不能构成直角三角形；
72+202＝49+400＝449≠242＝576，7，20，24不能构成直角三角形；
72+202＝49+400＝449≠252＝625，7，20，25不能构成直角三角形；
72+242＝49+576＝625＝252，7，24，25能构成直角三角形，符合题意；
152+202＝225+400＝625≠242＝576，15，20，24不能构成直角三角形；
152+202＝225+400＝625＝252，15，20，25能构成直角三角形，符合题意；
152+242＝225+576＝801≠252＝625，15，24，25不能构成直角三角形；
202+242＝400+576＝976≠252＝625，20，24，25不能构成直角三角形，
∴一共能拼出2个直角三角形．
故答案为：2．
15．（2025秋 青山区期末）如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　130　 cm．
【答案】130．
【分析】取AB的中点O，由题意可知：OA＝OB＝AD＝BC，，设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝（x﹣5）cm，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【解答】解：如图，取AB的中点O，
∵双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，
∴OA＝OB＝AD＝BC，，
设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝OA﹣OE＝（x﹣5）cm，AB＝2xcm，
在Rt△DEA中，
∵AD2＝AE2+DE2，
∴x2＝（x﹣5）2+252，
解得x＝65，
∴AB＝2×65＝130（cm）．
故答案为：130．
16．（2025秋 青羊区校级期末）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，AC相交于点D，E，连接BE．则线段CE的长为　　 ．
【答案】．
【分析】设CE＝x，由勾股定理求出AC8，由线段垂直平分线的性质推出AE＝BE＝8﹣x，由勾股定理得到（8﹣x）2＝x2+62，求出x，得到CE．
【解答】解：设CE＝x，
∵∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴AC8，
∴AE＝AC﹣CE＝8﹣x，
由题意得到：MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠C＝90°，
∴BE2＝CE2+BC2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x，
∴CE，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2025秋 兴化市期末）求图中的x的值：
（1）
（2）
【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理进行求解即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，；
（2）由勾股定理得，；
18．（2025秋 东台市期末）已知，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝8，AC＝6，求CD的长．
【分析】首先利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求法得出AD的长，则可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
由勾股定理得：BC10．
由三角形的面积得：S△ABCAB ACBC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD，
∴CD．
19．（2025秋 五华县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求点B到AC的距离．
【分析】（1）利用勾股定理可求出AB＝BC，则△ABC是等腰三角形；
（2）设点B到AC的距离为h，利用勾股定理求出，再利用割补法求出△ABC的面积，再利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
由网格的特点和勾股定理可知，，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）设点B到AC的距离为h，
由网格的特点和勾股定理可知，
∵，
∴，即，
∴，
∴点B到AC的距离为．
20．（2025秋 嵊州市期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连结BE，CE2+BC2＝AE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若CE＝ED，求∠A的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据勾股定理的逆定理得到∠C＝90°；
（2）根据角平分线的性质得到∠ABC＝2∠ABE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠A，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∵CE2+BC2＝AE2，
∴CE2+BC2＝BE2．
∴∠C＝90°；
（2）解：∵DE⊥AB，∠C＝90°，CE＝ED，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°．
21．（2025秋 都昌县期末）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC的面积AB CHAC BC，
∴CH（m），
∵AC+BC＝280（m），CH+AH+BH＝CH+AB＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
22．（2025秋 平谷区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AE＝4，BD＝3，求EF的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠CAD，求得∠DAB＝∠ADE，得到AE＝DE；
（2）根据平行线的性质得到∠EDB＝∠C＝90°，根据勾股定理得到BE5，根据三角形的面积得到DF，根据勾股定理得到EF．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
∵AE＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵BD＝3，
∴BE5，
∵DF⊥AB，
∴S△BDEDE BD，
∴DF，
∴EF．
23．（2025秋 古县期末）综合与实践
校园车场修建了一面墙体，为了测量墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O，在只有足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，两个兴趣小组分别设计了不同解决方案，设计方案如下表．
问题 测量墙体是否与地面垂直
工具 若干条无弹性的绳子
小组 第一小组 第二小组
测量方案 如图1，在射线OM，ON，OP上分别取点A，B，C，放置绳子AB，AC，使AB＝AC，用叠合法比较OC与OB的长度，若OC＝OB，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，否则不垂直. 如图2，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为a．如图放置这总长12a的绳子，使OM上的绳子OA＝4a，ON上的绳子OB＝3a，AB＝5a，则AO⊥OB，即MO⊥PN于点O，否则不垂直.
测量示意图
根据上述方案解决问题：
第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．
【分析】根据等腰三角形三线合一定理即可求解；利用勾股定理逆定理进行求解即可．
【解答】解：第一小组可行；
证明：在三角形ABC中，AB＝AC，OC＝OB，
∴AO⊥BC，
∴MO⊥PN；
第二小组可行；
证明：在三角形AOB中，OA＝4a，OB＝3a，AB＝5a，且（4a）2+（3a）2＝25a2，（5a）2＝25a2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，
∴MO⊥PN．
24．（2025秋 资阳期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【问题拓展】
（3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值．
【分析】（1）用两种方法表示出梯形ABCD的面积，再根据它们相等整理即可证明结论；
（2）设AB＝AC＝x千米，用x表示出AHA，再在Rt△ACH中，利用勾股定理列方程，解出x，计算CA﹣CH即可得到答案；
（3）设AH＝y，分别在Rt△ACH中和Rt△BCH中，表示出CH2，列出方程，求出y，再利用勾股定理即可求出CH的值．
【解答】（1）证明：∵梯形ABCD的面积可表示为，
也可以表示为，
∴，
整理，得a2+b2＝c2；
（2）设AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
在Rt△ACH中，
由勾股定理，得CA2＝CH2+AH2，
即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，
解得，
即千米，
∴（千米），
答：新路CH比原路CA少千米；
（3）CH＝8．
理由：如图，设AH＝y，
∵AB＝21，
∴BH＝21﹣y，
∵CH⊥AB，垂足为H，
∴△ACH，△BCH都是Rt△，
在Rt△ACH中，
∵AC＝10，
∴由勾股定理，得CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣y2，
在Rt△BCH中，
∵BC＝17，
∴由勾股定理，得CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣y）2，
∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，
解得y＝6，
在Rt△ACH中，
由勾股定理，得CH8.

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