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专题5.1&5.2分式的意义和基本性质九大题型（一）（一课一讲）
（第一课时:分式的意义、分式的基本性质、约分）
【浙教版】
题型一：判断是否为分式（方法：看分母是否含有字母，分子分母为整式）
【经典例题1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在式子中，分式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的式子，且π是常数不是字母．
∴、、的分母中不含字母，属于整式．
、、的分母中含有字母，属于分式．
∴分式的个数是3个，
故选：B．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义．
根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断．
【详解】解：是整式，它不是分式；
中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
是整式，它不是分式；
分母含字母，它是分式；
分母含字母，它是分式，
∴属于分式的有、、，共3个，
故选：B．
【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式．
【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，的分母中含有字母，因此是分式，共个．
故选：B
【变式训练1-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）代数式，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中是否含有字母来判断即可．
【详解】解：代数式，，，，中，
分式有，；
故选：A．
【变式训练1-4】（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式．
根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断．
【详解】解：分式的定义为：形如 、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式．
选项 ，式子中没有分母含字母的形式，属于整式．
选项 ，分母是常数，不是字母，属于整式．
选项 ，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式．
选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式．
故选：C．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东济宁·期末）在，，，，中，分式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查分式的判断，解题的关键是掌握：如果、为整式，且中含有字母，那么式子是分式，据此逐一判断即可．
【详解】解：在，，，，中，
其中，是分式，
∴分式的个数是．
故选：B．
题型二：分式（有）无意义的条件（方法：分式的分母等于0，分式无意义；反之，有意义）
【经典例题2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义：_____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查分式无意义，分式无意义的条件是分母为0，因此需要构造一个分母在时为0的分式．
【详解】解：当分式的分母等于0时，分式无意义．因此，可设分母为，
则分式如满足条件．
当时，分母，分式无意义．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________．
x的值 1
分式的值 不存在 0
【答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算．
【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得．
当时，分式的值为0，则分子，即，解得．
所以．
故答案为：．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知分式，当时，分式无意义，则______________．
【答案】2
【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是明确分式无意义时，其分母的值为
将代入分式的分母，令分母等于，解关于的方程即可得到的值．
【详解】解：分式无意义的条件是分母为．
当时，分母，代入得
即，
解得．
故答案为：．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0．
【答案】 2
【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键．
分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：要使无意义，则，解得；
要使的值为0，则，解得；
故答案为：；．
【变式训练1-4】（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是______；若分式有意义，则实数x的取值范围是_________；当________时，分式无意义．
【答案】 1
【分析】本题考查分式有无意义，分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0；分式有意义的条件：分母不为0；分式无意义的条件：分母为0，分别求解即可．
【详解】解：若分式的值为0，则，
解得；
若分式有意义，则分母，解得；
若分式无意义，则分母，解得；
故答案为：1，，
【变式训练1-5】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____．
【答案】
【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵当时，分式，
此时分式没有意义，
∴，
解得：，
∵当时，分式，
此时分式的值为，
∴且，
解得：，，
∴，，
∴．
故答案为：．
题型三：分式的值为零的条件（方法：在分子为零的同时分母不为0）
【经典例题3】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）若分式的值为零，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分式值为零需同时满足两个条件，分子为零，分母不为零，分别计算两个条件即可得到结果．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴分子，且分母，
由得，即，
由得，
综上，．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　）
x … 0 1 2 …
y … * 无意义 * * 0 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式无意义（分母为0）和分式值为0（分子为0且分母不为0）的性质，结合表格数据筛选选项．
【详解】解：A．当时，分母，不合题意；
B．当时，分母，当时，分子，符合题意；
C．当时，分子，不合题意；
D．当时，分母，不合题意；
故选：B．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为()
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的值为的条件．根据分式值为的条件：分子为且分母不为，先求解分子为时的取值，再排除使分母为的值，即可得到符合条件的．
【详解】解：∵分式的值为0
∴且
由
∴或
当时，
当时，
∴
故选：A．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·陕西安康·月考）已知分式的值为0，那么的值是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
根据分式的值为0，则分子为0且分母不为0解答即可．
【详解】解：∵ 分式 的值为0，
∴ 分子 ，且分母 ．
∴ ，∴ 或 ；
，∴．
∴ ．
故选：C．
【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了分式值为0的条件、绝对值的性质等知识点，掌握分式值为0时分子为0且分母不为0的判定方法是解题的关键．
分式的值为0，需分子为0且分母不为0．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴分子 且分母
解分子方程：
或.
当 时，分母 ，分式无意义，舍去
当 时，分母 ，符合条件．
∴ ．
故选：A．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·河北承德·期末）若式子的值等于0，则x的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分式的值为0需分子为0且分母不为0，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵式子的值等于0，
∴，
∴
∴或，
把代入，得，符合题意；
把代入，得，不符合题意；
∴．
故选：D．
题型四：已知分式正（负）数时求参数取值范围
【经典例题4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值是正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值是正数，且，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴分子分母同正或同负，
∴或
解得或，
故选：C
【变式训练1-2】（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】本题考查了求分式的值．
分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，
∴分子和分母异号，
∵，
∴且，
解得：且，
∵分母不能为零，
∴，
综上所述，的取值范围是且．
故答案为：且．
【变式训练1-3】（24-25九年级下·河南信阳·月考）若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】要使分式的值为正数，根据分式的性质，分子是（正数），那么分母也得是正数，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可．本题主要考查了分式值的符号确定以及一元一次不等式的求解，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：∵ 分式的值为正数，分子
∴ 分母，即，
解得
取（满足 ）
故答案为：（答案不唯一，只要 即可 ） ．
【变式训练1-4】（24-25七年级上·上海虹口·月考）分式的值为负数，求的取值范围______．
【答案】且
【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．
根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可．
【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0，
∴，
∴
∴
∵分式的值为负数，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围________．
【答案】
【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键．
【详解】解：∵，
要使分式的值为负数，则，
解得，
故答案为：．
题型五：判断分式变形是否正确
【经典例题5】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，
∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意；
、，又，故该选项变形正确，符合题意；
、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意；
、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意；
故选：．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的基本性质与平方差公式的应用．依据分式基本性质（分子分母同乘或除以不为0的整式，分式的值不变）及平方差公式对各选项逐一判断．
【详解】解：∵分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，
A选项：的分子、分母是加1，并非同乘除不为0的整式，无法约分为，例如取，时，，，故A错误，该选项不符合题意；
B选项：∵，
∴，变形符合分式基本性质，故B正确，该选项符合题意；
C选项：仅当或，时等于，一般情况不成立，例如取，时，，故C错误，该选项不符合题意；
D选项：∵（平方差公式），且分式有意义时
∴，故D错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变，逐项判断变形是否正确即可．
【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意；
B、，原式变形正确，符合题意；
C、只有当时，成立，原式变形错误，不符合题意；
D、，原式变形错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的约分，需根据分式的基本性质，对各选项分子分母因式分解后约分，判断等式是否恒成立．
【详解】解：∵，∴A选项错误，不符合题意；
∵，∴，∴B选项错误，不符合题意；
∵，∴，∴C选项错误，不符合题意；
∵，∴（），∴D选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键．根据分式的基本性质及分式的符号法则，逐一判断各选项的变形是否正确即可．
【详解】解：A．的分子分母同乘10，得，故A变形错误；
B．，故B变形正确；
C．，故C变形错误；
D．当时，无意义，不满足分式基本性质中“同乘的数不为0”的条件，故D变形错误．
故选：B．
【变式训练1-5】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变是解题关键．
逐个选项运用分式的基本性质和符号法则，判断变形是否正确．
【详解】解：A、∵ ，∴A正确，符合题意；
B、∵ ，∴B错误，不符合题意；
C、∵ 的分子分母同乘以得，∴C错误，不符合题意；
D、∵ ，∴D错误，不符合题意．
故选：A．
题型六：将分式的分子分母各项系数化为整数
【经典例题6】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数．
【详解】解：．
【变式训练1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
（1）括号内填：______；
（2）括号内填：______．
【答案】
【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数；
（2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数：
（1）______；
（2）______．
【答案】
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键：
（1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可；
（2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）；
故答案为：．
【变式训练1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可；
（2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键．
（1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可；
（2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练1-5】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据分式的基本性质解答即可；
（）根据分式的基本性质解答即可；
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型七：约分
【经典例题7】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________．
【答案】
【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）约分：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的约分，掌握找分子分母的公因式，以及处理互为相反的因式的变形技巧是解题的关键．
（1）找出分子分母的公因式，直接约去公因式完成约分；
（2）先将分子中的变形为，使分子分母出现相同因式，再约去公因式完成约分．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键．
（1）分式的分子分母约去公因式即可；
（2）分子分母先因式分解，再约去公因式；
（3）分子分母先因式分解，再约去公因式．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)正确
(2)不正确，应改为
(3)不正确，应改为
(4)正确
【分析】本题考查分式的性质，对分式进行化简．
（1）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确；
（2）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确；
（3）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确；
（4）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确；
【详解】（1）解：分式分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简正确．
（2）解：分式分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简不正确，应改为．
（3）解：分式分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简不正确，应改为．
（4）解：分式，分子、分母同时除以公因式，得，
故原式化简正确．
【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键．
（1）将分子分母约去公因式即可；
（2）分子先因式分解，再约去公因式即可；
（3）分子分母先因式分解，再约去公因式即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）计算（约分）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
（1）分子分母都约去公因式即可；
（2）先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可；
（3）先写成分式的形式，然后分子分母都约去公因式即可；
（4）先写成分式的形式，再把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型八：最简分式的判断
【经典例题8】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：选项A ，分子，分母无法分解因式，分子分母没有除1以外的公因式，是最简分式；
选项B ，分母，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式；
选项C ，分母=，分子为，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式；
选项D， 分子=，分子、分母有公因式，可约分，不是最简分式．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式
C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式
【答案】A
【分析】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键．
根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意；
B、∵，
∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意；
C、∵分式值为0，
∴
解得：，故本选项错误，不符合题意；
D∵是常数，分母不含字母
∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【变式训练1-2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项的分子分母是否有公因式即可．
【详解】解：∵的分子分母有公因式，约分后为，
∴不是最简分式；
∵，的分子分母有公因式，约分后为，
∴不是最简分式；
∵在初中范围内无法分解因式，且与分母无公因式，
∴是最简分式；
∵，的分子分母有公因式，约分后为，
∴不是最简分式．
综上，选项C符合题意．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），逐一判断各选项即可
【详解】∵选项A中， ，分子分母有公因式，不是最简分式；
∵选项B中， ，分子分母有公因式，不是最简分式；
∵选项C中，在初中范围内无法分解因式，分子与分母无公因式，是最简分式；
∵选项D中， ，分子分母有公因式，不是最简分式，
故选：C
【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________．
【答案】
【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：分式约分后得到最简分式，
∴，
∵，
∴．
【变式训练1-5】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个．
【答案】1
【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键．
根据最简分式的意义对每项进行检验判断．
【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式；
由，得到此分式不是最简分式；
由=，得到此分式不是最简分式；
由，得到此分式不是最简分式；
而分子分母没有公因式，是最简分式．
故答案为：1 ．
【变式训练1-6】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是，
【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
（1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可；
（2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可；
（3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可．
【详解】（1）是最简分式
（2）不是最简分式，
（3）不是最简分式，
题型九：分式的意义和性质综合解答
【经典例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．
(1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值．
(2)若分式的“巧整式”为．
①整式 ；
②判断是否是“巧分式”．
【答案】(1)
(2)①；②是“巧分式”
【分析】（1）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可；
（2）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：分式（为常数）是一个“巧分式”，
它的“巧整式”为，
，
，
．
（2）解：①．
【提示】∵分式的“巧整式”为，
．
②
．
是整式，
是“巧分式”．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，正确计算是解题的关键．
【变式训练1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？
(1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______；
(2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：]
【答案】(1)（或）
(2)见解析
【分析】本题考查了约分，读懂题目信息，理解立方和公式并分解因式是解题的关键．
（1）通过观察给定算式的规律猜想一般性公式；
（2）再利用立方和公式对分子分母进行因式分解，通过化简证明猜想的正确性．
【详解】（1）解∶依题意得 （或）
故答案为：（或）
（2）证明：
（或），
∴（1）中猜想是正确的．
【变式训练1-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料
我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
例如：，．
(1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）；
(2)把分式化成带分式：______；
(3)将分式化为带分式．
【答案】(1)①③
(2)
(3)
【分析】（1）根据假分式的定义求解即可；
（2）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可；
（3）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可．
【详解】（1）解：①分式是假分式；
②分式是真分式；
③分式是假分式；
（2）解：；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式化简，熟练掌握分式相关定义和题干提供的方法，是解题的关键．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
例如：①；
②
(1)判断为________（填真分式或假分式）；
(2)仿照例子，将分式化为带分式．
(3)若分式的值为整数，求的整数值．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)的可能整数值为．
【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键．
（1）根据题干中的定义进行判断即可；
（2）将原式变形后进行化简即可；
（3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可．
【详解】（1）解：由题意可得为真分式，
故答案为：真分式；
（2）；
（3），
当为整数时，也为整数，
可取得的整数值为，，
的可能整数值为．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数．
例如：．
类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：．
材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格：
x … 0 1 2 3 …
… 无意义 6 3 2 …
请根据上述材料完成下列问题：
(1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________；
(2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由；
(3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________．
【答案】(1)，
(2)不同意，理由见解析
(3)2
【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题中给出的例子即可写出答案；
（2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论；
（3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：不同意，理由如下：
根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小，
当时，随着x的增大，的值逐渐减小，
但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，
∴不同意小茗同学的观点；
（3）解：∵，
∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小，
∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小，
∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题：
(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③
(2)是，见解析
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解：，是整式，
①是“巧分式”；
，不是整式，
②不是“巧分式”；
，是整式，
③是“巧分式”；
（2）解：分式的“巧整式”为．
，
；
，
又是整式，
是“巧分式”．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1&5.2分式的意义和基本性质九大题型（一）（一课一讲）
（第一课时:分式的意义、分式的基本性质、约分）
【浙教版】
题型一：判断是否为分式（方法：看分母是否含有字母，分子分母为整式）
【经典例题1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）在式子中，分式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）代数式，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-4】（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东济宁·期末）在，，，，中，分式的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
题型二：分式（有）无意义的条件（方法：分式的分母等于0，分式无意义；反之，有意义）
【经典例题2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）请你写一个分式，使它满足，当时，分式无意义：_____．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________．
x的值 1
分式的值 不存在 0
【变式训练1-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知分式，当时，分式无意义，则______________．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0．
【变式训练1-4】（2025八年级上·全国·专题练习）若分式的值为0，则x的值是______；若分式有意义，则实数x的取值范围是_________；当________时，分式无意义．
【变式训练1-5】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____．
题型三：分式的值为零的条件（方法：在分子为零的同时分母不为0）
【经典例题3】（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）若分式的值为零，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·月考）根据下列表格信息，y可能是（　　）
x … 0 1 2 …
y … * 无意义 * * 0 …
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若分式的值为，则的取值为()
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·陕西安康·月考）已知分式的值为0，那么的值是（ ）
A． B．0 C．3 D．
【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．无法确定
【变式训练1-5】（25-26八年级上·河北承德·期末）若式子的值等于0，则x的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
题型四：已知分式正（负）数时求参数取值范围
【经典例题4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值是正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·北京海淀·月考）若分式值为负数，则的取值范围是__________．
【变式训练1-3】（24-25九年级下·河南信阳·月考）若分式的值为正数，请写出一个满足条件的x的值为______．
【变式训练1-4】（24-25七年级上·上海虹口·月考）分式的值为负数，求的取值范围______．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围________．
题型五：判断分式变形是否正确
【经典例题5】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南商丘·期末）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-5】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：将分式的分子分母各项系数化为整数
【经典例题6】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
（1）括号内填：______；
（2）括号内填：______．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数：
（1）______；
（2）______．
【变式训练1-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数．
(1)；
(2)．
【变式训练1-5】（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数．
(1)；
(2)．
题型七：约分
【经典例题7】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________．
【变式训练1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）约分：
(1)．
(2)．
【变式训练1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练1-5】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）计算（约分）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型八：最简分式的判断
【经典例题8】（2026八年级下·吉林长春·专题练习）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式
C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式
【变式训练1-2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）下列分式中，最简分式是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________．
【变式训练1-5】（2026八年级下·江苏·专题练习）在分式，，，，中，最简分式有__个．
【变式训练1-6】（25-26八年级上·全国·单元测试）判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式．
(1)
(2)
(3)
题型九：分式的意义和性质综合解答
【经典例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．
(1)若分式（为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求的值．
(2)若分式的“巧整式”为．
①整式 ；
②判断是否是“巧分式”．
【变式训练1-1】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？
(1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______；
(2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：]
【变式训练1-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料
我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
例如：，．
(1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）；
(2)把分式化成带分式：______；
(3)将分式化为带分式．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）．
例如：①；
②
(1)判断为________（填真分式或假分式）；
(2)仿照例子，将分式化为带分式．
(3)若分式的值为整数，求的整数值．
【变式训练1-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数．
例如：．
类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：．
材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格：
x … 0 1 2 3 …
… 无意义 6 3 2 …
请根据上述材料完成下列问题：
(1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________；
(2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由；
(3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题：
(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．

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