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广东省广州市白云区钟落潭镇联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1．（2025八下·白云期中）下列各式计算正确的是（　　）
A． + = B．2 ﹣ =
C． D． ÷ =
2．（2025八下·白云期中）若 有意义，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·白云期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·白云期中）以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是 （　　）
A．5，12，13 B．8，15，16 C．9，16，25 D．12，15，20
5．（2025八下·白云期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，，则长为(　　)
A．3 B．5 C．6 D．10
6．（2025八下·白云期中）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025八下·白云期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
8．（2025八下·白云期中）如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·白云期中）下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
10．（2025八下·白云期中）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．4
二、填空题（本大题共6小题，共18分．）
11．（2025八下·白云期中）化简的结果是　 　．
12．（2025八下·白云期中）计算（ ）（ ）的结果等于　 　．
13．（2025八下·白云期中）如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要　 　米．
14．（2025八下·白云期中）如图，△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，D是AC的中点，则BD＝　 　cm．
15．（2025八下·白云期中）如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是　 　（写出一个即可）．
16．（2025八下·白云期中）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．）
17．（2025八下·白云期中）计算：；
18．（2025八下·白云期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积．
19．（2025八下·白云期中）一个三角形的三边长分别为 ，，．
（1）求证：三角形是直角三角形；
（2）求这个三角形的面积．
20．（2025八下·白云期中）如图，在菱形 中，， 相交于点 ，是的中点，连接 ．若 ，，求 的长．
21．（2025八下·白云期中）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为 和 ，求大正方形的面积．
22．（2025八下·白云期中）在平行四边形 中，，，．请判定四边形 是哪种特殊的平行四边形？并说明理由．
23．（2025八下·白云期中）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
24．（2025八下·白云期中）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，．
（1）求证：；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长．
25．（2025八下·白云期中）如图，在中，，点是斜边的中点，过点作，交于点，过点作ADBC，与的延长线交于点，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.因为 ，所以A中计算不符合题意；
B.因为 ，所以B中计算符合题意；
C.因为 ，所以C中计算不符合题意；
D.因为 ，所以D中计算不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的加法法则对A和B进行判断；利用二次根式的性质对C选项进行判断；利用二次根式的除法法则可以对D选项进行判断。
2．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 有意义
∴，
解得：，
故答案为：C
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列出不等式，计算即可解答．
3．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：， 能构成直角三角形， 故A符合题意；
， 能构成直角三角形， 故B不符合题意；
， 能构成直角三角形， 故C不符合题意；
能构成直角三角形， 故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】
根据勾股定理的逆定理：两短边的平方和等于最长边的平方，计算并加以判断即可解答．
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得，在中利用勾股定理求出，解答即可．
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E是Rt中斜边AB的中点，，
∴，
∴，
∴，∠ECD=30°
在中，，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出=2，再利用三角形的外角性质求出，在中，根据“30°角所对的直角边为斜边的一半”可得DE的长，解答即可．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质，矩形判定定理即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形，故A符合题意；
B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】
根据平行四边形的判定方法：一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可解答．
9．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】菱形的对角线互相垂直且平分，C符合题意
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质和判定定理，可求解。
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
解得：，
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得，根据勾股定理可得BC，再根据菱形面积即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简即可求出答案.
12．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式=3﹣1=2．
故答案为：2．
【分析】此题可以利用平方差公式简化计算。
13．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
∴，米，米，
∴由勾股定理得，米，
故答案为：．
【分析】过点作于点，先求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
14．【答案】5
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵
∴
∴△ABC为直角三角形，且AC为斜边，
∵D是AC的中点，
∴
故答案为：5
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且AC为斜边，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为（答案不唯一）．
【分析】根据矩形性质可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
16．【答案】或9
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，
∴AC==15，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE=∠B=90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，
∴EB=EF，AB=AF=9，
∴CF=15-9=6，
设BE=x，则EF=x，CE=12-x，
在Rt△CEF中，
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+62=（12-x）2，
解得x=，
∴BE=；
②当点F落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE=AB=9．
综上所述，BE的长为或9．
故答案为或9．
【分析】分情况讨论：①当点F落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得∠AFE=∠B=90°，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，则点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，根据边之间的关系可得CF，设BE=x，则EF=x，CE=12-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当点F落在AD边上时，此时ABEF为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，再计算乘法，再进行减法运算，计算即可解答．
18．【答案】解：由题意，得
故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】观察图形可得长方体盒子的纸板的面积 =大正方形的面积-四个小正方形的面积，再用面积公式计算即可得出答案.
19．【答案】（1）证明：，
∴三角形是直角三角形．
（2）解：这个三角形的面积为：．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
（1）根据勾股定理逆定理：两短边的平方和等于最长边的平方，计算即可解答．
（2）根据（1）得出三角形的两条直角边长为，再用三角形面积公式计算求解即可解答．
（1）证明：，
∴三角形是直角三角形．
（2）解：这个三角形的面积为：．
20．【答案】解：是菱形，
是的中点，，
，
在，
，
即的长为16．
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，在根据勾股定理计算得出，再由线段的计算得出的值，计算即可解答．
21．【答案】解：，
∴正方形Ⅰ的边长为：，正方形Ⅱ的边长为：，
∴大正方形的边长为：
∴大正方形的面积为：
则大正方形的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】根据算术平方根的定义得出正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为，即可得出大正方形的边长为，再根据正方形的面积公式计算求解即可解答．
22．【答案】解：四边形时菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，，
，
是直角三角形，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形时菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，再根据勾股定理逆定理两短边的平方和等于最长边的平方计算得出，从而判定是直角三角形，即可得出四边形时菱形，解答即可．
23．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）如图，连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：在正方形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AB=AD，根据等边对等角可得∠ABD=∠ADB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接AC，根据正方形性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，根据边之间的关系可得OE=OF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边，，
四边形是菱形，
；
（2）解：点E，F分别为AD，AO的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，，
，
菱形形的周长为．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得，则，根据菱形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
25．【答案】（1）证明：点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得，根据直线平行性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1广东省广州市白云区钟落潭镇联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）
1．（2025八下·白云期中）下列各式计算正确的是（　　）
A． + = B．2 ﹣ =
C． D． ÷ =
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.因为 ，所以A中计算不符合题意；
B.因为 ，所以B中计算符合题意；
C.因为 ，所以C中计算不符合题意；
D.因为 ，所以D中计算不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的加法法则对A和B进行判断；利用二次根式的性质对C选项进行判断；利用二次根式的除法法则可以对D选项进行判断。
2．（2025八下·白云期中）若 有意义，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵ 有意义
∴，
解得：，
故答案为：C
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列出不等式，计算即可解答．
3．（2025八下·白云期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案.
4．（2025八下·白云期中）以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是 （　　）
A．5，12，13 B．8，15，16 C．9，16，25 D．12，15，20
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：， 能构成直角三角形， 故A符合题意；
， 能构成直角三角形， 故B不符合题意；
， 能构成直角三角形， 故C不符合题意；
能构成直角三角形， 故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】
根据勾股定理的逆定理：两短边的平方和等于最长边的平方，计算并加以判断即可解答．
5．（2025八下·白云期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，，则长为(　　)
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得，在中利用勾股定理求出，解答即可．
6．（2025八下·白云期中）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E是Rt中斜边AB的中点，，
∴，
∴，
∴，∠ECD=30°
在中，，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出=2，再利用三角形的外角性质求出，在中，根据“30°角所对的直角边为斜边的一半”可得DE的长，解答即可．
7．（2025八下·白云期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质，矩形判定定理即可求出答案.
8．（2025八下·白云期中）如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形，故A符合题意；
B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，故B不符合题意；
C、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】
根据平行四边形的判定方法：一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可解答．
9．（2025八下·白云期中）下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】菱形的对角线互相垂直且平分，C符合题意
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质和判定定理，可求解。
10．（2025八下·白云期中）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，于点H．若，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
解得：，
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得，根据勾股定理可得BC，再根据菱形面积即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，共18分．）
11．（2025八下·白云期中）化简的结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质化简即可求出答案.
12．（2025八下·白云期中）计算（ ）（ ）的结果等于　 　．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式=3﹣1=2．
故答案为：2．
【分析】此题可以利用平方差公式简化计算。
13．（2025八下·白云期中）如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要　 　米．
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
∴，米，米，
∴由勾股定理得，米，
故答案为：．
【分析】过点作于点，先求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
14．（2025八下·白云期中）如图，△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，D是AC的中点，则BD＝　 　cm．
【答案】5
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵
∴
∴△ABC为直角三角形，且AC为斜边，
∵D是AC的中点，
∴
故答案为：5
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且AC为斜边，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
15．（2025八下·白云期中）如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为（答案不唯一）．
【分析】根据矩形性质可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
16．（2025八下·白云期中）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．
【答案】或9
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，
∴AC==15，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE=∠B=90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，
∴EB=EF，AB=AF=9，
∴CF=15-9=6，
设BE=x，则EF=x，CE=12-x，
在Rt△CEF中，
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+62=（12-x）2，
解得x=，
∴BE=；
②当点F落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE=AB=9．
综上所述，BE的长为或9．
故答案为或9．
【分析】分情况讨论：①当点F落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得∠AFE=∠B=90°，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，则点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，根据边之间的关系可得CF，设BE=x，则EF=x，CE=12-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当点F落在AD边上时，此时ABEF为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
三、解答题（本大题共9小题，共72分．）
17．（2025八下·白云期中）计算：；
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的乘法
【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，再计算乘法，再进行减法运算，计算即可解答．
18．（2025八下·白云期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积．
【答案】解：由题意，得
故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】观察图形可得长方体盒子的纸板的面积 =大正方形的面积-四个小正方形的面积，再用面积公式计算即可得出答案.
19．（2025八下·白云期中）一个三角形的三边长分别为 ，，．
（1）求证：三角形是直角三角形；
（2）求这个三角形的面积．
【答案】（1）证明：，
∴三角形是直角三角形．
（2）解：这个三角形的面积为：．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
（1）根据勾股定理逆定理：两短边的平方和等于最长边的平方，计算即可解答．
（2）根据（1）得出三角形的两条直角边长为，再用三角形面积公式计算求解即可解答．
（1）证明：，
∴三角形是直角三角形．
（2）解：这个三角形的面积为：．
20．（2025八下·白云期中）如图，在菱形 中，， 相交于点 ，是的中点，连接 ．若 ，，求 的长．
【答案】解：是菱形，
是的中点，，
，
在，
，
即的长为16．
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，在根据勾股定理计算得出，再由线段的计算得出的值，计算即可解答．
21．（2025八下·白云期中）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为 和 ，求大正方形的面积．
【答案】解：，
∴正方形Ⅰ的边长为：，正方形Ⅱ的边长为：，
∴大正方形的边长为：
∴大正方形的面积为：
则大正方形的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】根据算术平方根的定义得出正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为，即可得出大正方形的边长为，再根据正方形的面积公式计算求解即可解答．
22．（2025八下·白云期中）在平行四边形 中，，，．请判定四边形 是哪种特殊的平行四边形？并说明理由．
【答案】解：四边形时菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，，
，
是直角三角形，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形时菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，再根据勾股定理逆定理两短边的平方和等于最长边的平方计算得出，从而判定是直角三角形，即可得出四边形时菱形，解答即可．
23．（2025八下·白云期中）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）如图，连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：在正方形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AB=AD，根据等边对等角可得∠ABD=∠ADB，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接AC，根据正方形性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，根据边之间的关系可得OE=OF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
24．（2025八下·白云期中）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，．
（1）求证：；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边，，
四边形是菱形，
；
（2）解：点E，F分别为AD，AO的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，，
，
菱形形的周长为．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据菱形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得，则，根据菱形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
25．（2025八下·白云期中）如图，在中，，点是斜边的中点，过点作，交于点，过点作ADBC，与的延长线交于点，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得，根据直线平行性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
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