资源简介

广东省佛山市狮山镇初中2024~2025学年下学期期中教学质量监测试题 八年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·佛山期中）佛山是一座拥有千年文化传承和非遗艺术美丽的城市，常将几何韵律注入传统艺术，比如佛山醒狮、铜凿剪纸、祖庙建筑，顺德鱼灯等，下列哪件作品以中心对称之美诠释了“旋转生万象”的智慧，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·佛山期中）不等式的解集在数轴上可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2025八下·佛山期中）已知，下列不等式变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·佛山期中）在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A．（－5，3） B．（1，3） C．（－2，0） D．（－2，6）
5．（2025八下·佛山期中）中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．105°
7．（2025八下·佛山期中）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
8．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．不确定
9．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
10．（2025八下·佛山期中）如图，点为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·佛山期中）写出满足的不等式的一个整数解　 　．
12．（2025八下·佛山期中）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长为　 　．
13．（2025八下·佛山期中）如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则　 　．
14．（2025八下·佛山期中）某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于5%．请你帮助售货员计算一下，此种商品可以按　 　折销售．
15．（2025八下·佛山期中）已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝6，EF＝8，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·佛山期中）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
17．（2025八下·佛山期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中、、．
（1）将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，、、的对应点分别是、、；
（3）连，直接写出点、的坐标：______、：______．
18．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求BE的长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·佛山期中）图1是一个平分角的仪器，其中．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作上于点Q，若，的面积是60，求的长．
20．（2025八下·佛山期中）【问题背景】
2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元．
素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件；
问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价；
问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
21．（2025八下·佛山期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
22．（2025八下·佛山期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：
首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究．
如表y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 3 5 3 1 …
（1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图像，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ▲ ；
（2）若，为该函数图象上不同的两点，则　 　；
（3）当时，自变量x的取值范围是　 　；
（4）定义，例如，，则函数的最大值为　 　．
23．（2025八下·佛山期中）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：．
①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点．
②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故B符合题意；
C、找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（ 对称中心） 旋转， 使得旋转前后的图形互相重合，逐一判断即可解答．
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
移项得：，
合并同类项得：，
数轴表示不等式的解集如下：
故答案为：D ．
【分析】
根据解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，解得，再在数轴上表示不等式的解集，解答即可．
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项错误；
B、∵，∴，故该选项正确；
C、∵，∴，故该选项错误；
D、∵，∴不一定成立，故该选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可选出答案．
4．【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：一个点向左平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标减3，即得到坐标(-5，3)，
故答案为：A.
【分析】坐标平移的规律是：右加左减，上加下减，依此解答，即可得出结果.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵在中，、、的对边分别为、、，
∴当，，时，，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴即，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴此时不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理，结合直角三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到∠BAD＝∠B＝30°，再由等边对等角得到∠C＝∠ADC＝60°，再三角形的内角和计算解答即可．
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集，从图象来看，就是求一次函数y1＝x＋b得图象在一次函数y2＝kx＋4的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝6+4＝10．
故选B．
【分析】根据角平分线定义可得∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，根据直线平行性质可得∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，则∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，根据等角对等边可得BM＝ME，CN＝NE，再根据三角形周长即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由作法得AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝．
故选：B．
【分析】由作法得AD⊥BC，根据勾股定理可得AD，根据三角形内角和定理可得∠BAD，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：①连接，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，所以①正确；
②为等边三角形，
，，
把逆时针旋转后，与重合，与重合，
绕点顺时针旋转会和重合，所以②正确；
③由②可知；，
，
在中，
，
，
为直角三角形，
，
即，所以③正确；
④，所以④正确．
综上，①②③④都是正确的，
故选：D．
【分析】连接，根据旋转性质可得，，根据等边三角形判定定理及性质可判断①；根据等边三角形性质可得，，再根据旋转性质可判断②；根据勾股定理逆定理可判断③；根据割补法，结合三角形面积可判断④.
11．【答案】3
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
移项得，
合并同类项得，
∴满足不等式的整数解x的值为3（答案不唯一）．
故答案为：3（答案不唯一）．
【分析】
根据解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项得到，再写出整数解即可解答．
12．【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：12．
【分析】根据等腰三角形性质分类讨论，几何三角形三边关系即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
解得，
，
解得，
∵关于x的不等式的解集与的解集相同，
∴，
解得，
故答案为：2．
【分析】先分别解一元一次不等式得到，，再根据不等式的解集相同可得，解方程计算即可求解．
14．【答案】最多打7折销售
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设打折销售，则售价为元，利润为元，
由题意得：，
解得：，
此种商品可以按最多打7折销售，
故答案是：最多打7折销售．
【分析】设打折销售，表示出售价为元，列出关于的不等式，计算进行求解即可解答．
15．【答案】12﹣
【知识点】平移的性质；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【解答】解：在直角△BCF中，
∵∠F＝45°，BC＝6，
∴CF＝BC＝6．
又∵EF＝8，
则EC＝2．
在直角△ABC中，
∵BC＝6，∠A＝30°，
∴AC＝＝6，
则AE＝6﹣2，∠A＝30°，
∴EG＝AE·tanA＝6﹣，
阴影部分的面积为：（EG+BC） EC＝×（6﹣+6）×2＝12﹣．
故答案是：12﹣．
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得CF＝BC＝6，然后求出EC的长，再在直角△ABC中根据锐角三角函数即可求出AC的长，再利用锐角三角函数求出EG的长，最后根据梯形的面积公式计算即可解答．
16．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解不等式①得：，解不等式②得：，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集为，再在数轴上表示出不等式组的解集即可解答．
17．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3），．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】
解：（3）B2、C2的坐标分别为：（4，﹣2），（1，﹣3）．
故答案为：（4，﹣2），（1，﹣3）．
【分析】
（1）根据平移方式： 沿轴方向向左平移6个单位，由A，B，C找到对应点A1，B1，C1的坐标，再连线画出图形即可解答．
（2）根据旋转的性质作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，再连线画出图形即可解答．
（3）根据点的位置直接写出坐标即可．
18．【答案】解：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴
∵ AD平分∠ CAB，
∴
又∵AD=AD
∴ △CAD≌△EAD（AAS）
∴ AE=AC=1
在Rt△ACB中，由勾股定理得
∴

【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得△CAD≌△EAD（AAS），则AE=AC=1，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）解：是的平分线
理由如下：在和中，，
∴
∴，
∴平分．
（2）解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
20．【答案】解：（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，
，解得，
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元；
（2）A型智能机器人台，则购买型智能机器人台，
，
，
每天分拣快递的件数，
当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台．
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元 得到x+3y=260；根据买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元得到3x+2y=360，计算即可解答；
（2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，根据题意列出不等式，计算求出的取值范围，再列出每天分拣快递的件数的函数为4a+180，根据一次函数的性质得到：当取得最大值时，每天分拣快递的件数最多，解答即可．
21．【答案】证明：（1）如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，
∵旋转
∴AC=BC，∠DBC=∠CAE
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵∠DBC+∠BMC=90°
∴∠AMN+∠CAE=90°
∴∠AND=90°
∴AE⊥BD，
（2）如图，连接DE，
∵旋转
∴CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°
∴DE==3，∠CDE=45°
∵∠ADC=45°
∴∠ADE=90°
∴EA==
∴BD=.
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，根据旋转性质可得AC=BC，∠DBC=∠CAE，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接DE，根据旋转性质可得CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°，根据勾股定理可得DE，EA，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：函数的图象如图的所示，
根据图像可得：当y随x的增大而减小时，x的取值范围是；
（2）-6
（3）或
（4）1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（2）解：把，分别代入，得
，则，
解得：，
∵，为该函数图象上不同的两点，
∴；
（3）解：由图像可得：当时，自变量x的取值范围是或；
（4）解：由图像可得：
当 时，，当时，y的最大值为；
当时，，当时，y的最大值为1；
当时，，当时，y的最大值为1；
综上， y的最大值为1．
【分析】（1）根据描点法作出函数图象，再根据图象信息进行判断即可求出答案.
（2）将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）根据函数图象信息即可求出答案.
（4）分情况讨论：当 时，当时，当时，结合新定义即可求出答案.
23．【答案】解：（1）选择小辉同学的解题思路.证明：如图，过作交的延长线于
∵，
∴，，
∴.
∵交延长线于，
∴，
∴，
又∵绕点旋转至，
∴，
∴，
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴.
∴，
∴.
选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴.
∴.
∵，，
∴.即.
又∵，
∴
.∴
∵，，
∴，
∴.
∴，
∴，
∵，
∴.
，，
∴.
（2）证明：如图.过作于，过作于.
∵，，
∴，
又∵.
∴.
∴，.
∵，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴，
∴.
在和中，，
∴.
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
（3）解：如图，在边上截取，连接.
由题意得，，.
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴，
∴.
又∵，
∴.
∵，，，
过作于，则，
∵，
∴.
根据勾股定理得，.
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）①过作交的延长线于，根据角之间的关系可得，，根据旋转性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
②在上截取，连接，根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据补角可得，根据角之间的关系可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过作于，过作于，根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据垂直平分线性质可得，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（3）在边上截取，连接，由题意得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据补角可得，根据三角形内角和定理可得∠AFC，过作于，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DP，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省佛山市狮山镇初中2024~2025学年下学期期中教学质量监测试题 八年级数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·佛山期中）佛山是一座拥有千年文化传承和非遗艺术美丽的城市，常将几何韵律注入传统艺术，比如佛山醒狮、铜凿剪纸、祖庙建筑，顺德鱼灯等，下列哪件作品以中心对称之美诠释了“旋转生万象”的智慧，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故B符合题意；
C、找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据中心对称图形的定义：中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（ 对称中心） 旋转， 使得旋转前后的图形互相重合，逐一判断即可解答．
2．（2025八下·佛山期中）不等式的解集在数轴上可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：
移项得：，
合并同类项得：，
数轴表示不等式的解集如下：
故答案为：D ．
【分析】
根据解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项，解得，再在数轴上表示不等式的解集，解答即可．
3．（2025八下·佛山期中）已知，下列不等式变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项错误；
B、∵，∴，故该选项正确；
C、∵，∴，故该选项错误；
D、∵，∴不一定成立，故该选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可选出答案．
4．（2025八下·佛山期中）在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A．（－5，3） B．（1，3） C．（－2，0） D．（－2，6）
【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：一个点向左平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标减3，即得到坐标(-5，3)，
故答案为：A.
【分析】坐标平移的规律是：右加左减，上加下减，依此解答，即可得出结果.
5．（2025八下·佛山期中）中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵在中，、、的对边分别为、、，
∴当，，时，，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴即，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴此时不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理，结合直角三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，AD＝AC，∠BAC的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∵AD＝AC，
∴∠C＝∠ADC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到∠BAD＝∠B＝30°，再由等边对等角得到∠C＝∠ADC＝60°，再三角形的内角和计算解答即可．
7．（2025八下·佛山期中）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集，从图象来看，就是求一次函数y1＝x＋b得图象在一次函数y2＝kx＋4的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
8．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．不确定
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝6+4＝10．
故选B．
【分析】根据角平分线定义可得∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，根据直线平行性质可得∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，则∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，根据等角对等边可得BM＝ME，CN＝NE，再根据三角形周长即可求出答案.
9．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝45°，AC＝，CD＝1，则AB的长度为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由作法得AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝．
故选：B．
【分析】由作法得AD⊥BC，根据勾股定理可得AD，根据三角形内角和定理可得∠BAD，根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025八下·佛山期中）如图，点为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与点的距离为10；②绕点顺时针旋转会和重合；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：①连接，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，所以①正确；
②为等边三角形，
，，
把逆时针旋转后，与重合，与重合，
绕点顺时针旋转会和重合，所以②正确；
③由②可知；，
，
在中，
，
，
为直角三角形，
，
即，所以③正确；
④，所以④正确．
综上，①②③④都是正确的，
故选：D．
【分析】连接，根据旋转性质可得，，根据等边三角形判定定理及性质可判断①；根据等边三角形性质可得，，再根据旋转性质可判断②；根据勾股定理逆定理可判断③；根据割补法，结合三角形面积可判断④.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·佛山期中）写出满足的不等式的一个整数解　 　．
【答案】3
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
移项得，
合并同类项得，
∴满足不等式的整数解x的值为3（答案不唯一）．
故答案为：3（答案不唯一）．
【分析】
根据解一元一次不等式的步骤：移项，合并同类项得到，再写出整数解即可解答．
12．（2025八下·佛山期中）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：12．
【分析】根据等腰三角形性质分类讨论，几何三角形三边关系即可求出答案.
13．（2025八下·佛山期中）如果关于x的不等式的解集与的解集相同，则　 　．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
解得，
，
解得，
∵关于x的不等式的解集与的解集相同，
∴，
解得，
故答案为：2．
【分析】先分别解一元一次不等式得到，，再根据不等式的解集相同可得，解方程计算即可求解．
14．（2025八下·佛山期中）某种商品进价为200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于5%．请你帮助售货员计算一下，此种商品可以按　 　折销售．
【答案】最多打7折销售
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设打折销售，则售价为元，利润为元，
由题意得：，
解得：，
此种商品可以按最多打7折销售，
故答案是：最多打7折销售．
【分析】设打折销售，表示出售价为元，列出关于的不等式，计算进行求解即可解答．
15．（2025八下·佛山期中）已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝6，EF＝8，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为　 　．
【答案】12﹣
【知识点】平移的性质；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【解答】解：在直角△BCF中，
∵∠F＝45°，BC＝6，
∴CF＝BC＝6．
又∵EF＝8，
则EC＝2．
在直角△ABC中，
∵BC＝6，∠A＝30°，
∴AC＝＝6，
则AE＝6﹣2，∠A＝30°，
∴EG＝AE·tanA＝6﹣，
阴影部分的面积为：（EG+BC） EC＝×（6﹣+6）×2＝12﹣．
故答案是：12﹣．
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得CF＝BC＝6，然后求出EC的长，再在直角△ABC中根据锐角三角函数即可求出AC的长，再利用锐角三角函数求出EG的长，最后根据梯形的面积公式计算即可解答．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·佛山期中）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先解不等式①得：，解不等式②得：，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集为，再在数轴上表示出不等式组的解集即可解答．
17．（2025八下·佛山期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．其中、、．
（1）将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，、、的对应点分别是、、；
（3）连，直接写出点、的坐标：______、：______．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3），．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】
解：（3）B2、C2的坐标分别为：（4，﹣2），（1，﹣3）．
故答案为：（4，﹣2），（1，﹣3）．
【分析】
（1）根据平移方式： 沿轴方向向左平移6个单位，由A，B，C找到对应点A1，B1，C1的坐标，再连线画出图形即可解答．
（2）根据旋转的性质作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，再连线画出图形即可解答．
（3）根据点的位置直接写出坐标即可．
18．（2025八下·佛山期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求BE的长．
【答案】解：∵∠C=90°，DE⊥AB
∴
∵ AD平分∠ CAB，
∴
又∵AD=AD
∴ △CAD≌△EAD（AAS）
∴ AE=AC=1
在Rt△ACB中，由勾股定理得
∴

【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得△CAD≌△EAD（AAS），则AE=AC=1，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·佛山期中）图1是一个平分角的仪器，其中．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作上于点Q，若，的面积是60，求的长．
【答案】（1）解：是的平分线
理由如下：在和中，，
∴
∴，
∴平分．
（2）解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
20．（2025八下·佛山期中）【问题背景】
2025年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
素材1 若买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元； 若买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元．
素材2 A型机器人每台每天可分拣22万件； B型机器人每台每天可分拣18万件；
问题解决（1） 求A、两种型号智能机器人的单价；
问题解决（2） 现该企业准备用不超过700万元购买A、两种型号智能机器人共10台． 则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】解：（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，
，解得，
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元；
（2）A型智能机器人台，则购买型智能机器人台，
，
，
每天分拣快递的件数，
当时，每天分拣快递的件数最多为万件，
选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台．
【知识点】解二元一次方程组；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据买1台A型机器人、3台型机器人，共需260万元 得到x+3y=260；根据买3台A型机器人、2台型机器人，共需360万元得到3x+2y=360，计算即可解答；
（2）设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，根据题意列出不等式，计算求出的取值范围，再列出每天分拣快递的件数的函数为4a+180，根据一次函数的性质得到：当取得最大值时，每天分拣快递的件数最多，解答即可．
21．（2025八下·佛山期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长．
【答案】证明：（1）如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，
∵旋转
∴AC=BC，∠DBC=∠CAE
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵∠DBC+∠BMC=90°
∴∠AMN+∠CAE=90°
∴∠AND=90°
∴AE⊥BD，
（2）如图，连接DE，
∵旋转
∴CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°
∴DE==3，∠CDE=45°
∵∠ADC=45°
∴∠ADE=90°
∴EA==
∴BD=.
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，根据旋转性质可得AC=BC，∠DBC=∠CAE，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）连接DE，根据旋转性质可得CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°，根据勾股定理可得DE，EA，再根据边之间的关系即可求出答案.
五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．
22．（2025八下·佛山期中）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：
首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究．
如表y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 3 5 3 1 …
（1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图像，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ▲ ；
（2）若，为该函数图象上不同的两点，则　 　；
（3）当时，自变量x的取值范围是　 　；
（4）定义，例如，，则函数的最大值为　 　．
【答案】（1）解：函数的图象如图的所示，
根据图像可得：当y随x的增大而减小时，x的取值范围是；
（2）-6
（3）或
（4）1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（2）解：把，分别代入，得
，则，
解得：，
∵，为该函数图象上不同的两点，
∴；
（3）解：由图像可得：当时，自变量x的取值范围是或；
（4）解：由图像可得：
当 时，，当时，y的最大值为；
当时，，当时，y的最大值为1；
当时，，当时，y的最大值为1；
综上， y的最大值为1．
【分析】（1）根据描点法作出函数图象，再根据图象信息进行判断即可求出答案.
（2）将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）根据函数图象信息即可求出答案.
（4）分情况讨论：当 时，当时，当时，结合新定义即可求出答案.
23．（2025八下·佛山期中）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：．
①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点．
②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积．
【答案】解：（1）选择小辉同学的解题思路.证明：如图，过作交的延长线于
∵，
∴，，
∴.
∵交延长线于，
∴，
∴，
又∵绕点旋转至，
∴，
∴，
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴.
∴，
∴.
选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴.
∴.
∵，，
∴.即.
又∵，
∴
.∴
∵，，
∴，
∴.
∴，
∴，
∵，
∴.
，，
∴.
（2）证明：如图.过作于，过作于.
∵，，
∴，
又∵.
∴.
∴，.
∵，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴，
∴.
在和中，，
∴.
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
（3）解：如图，在边上截取，连接.
由题意得，，.
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴，
∴.
又∵，
∴.
∵，，，
过作于，则，
∵，
∴.
根据勾股定理得，.
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）①过作交的延长线于，根据角之间的关系可得，，根据旋转性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求出答案.
②在上截取，连接，根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，根据补角可得，根据角之间的关系可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过作于，过作于，根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据垂直平分线性质可得，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（3）在边上截取，连接，由题意得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据补角可得，根据三角形内角和定理可得∠AFC，过作于，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DP，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑