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广东省惠州一中教育集团2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷 -
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·惠州期中）下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意；
B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意；
C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意；
D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的定义：当时，就是二次根式，逐项进行判断即可得出答案。
2．（2025八下·惠州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的乘法法则可得出A正确；根据二次根式的性质进行化简可得出B不正确；根据二次根式的乘方可得出C不正确；根据二次根式的减法运算可得出D不正确，即可得出答案。
3．（2025八下·惠州期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．1，2，3 D．5，7，11
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形；
B、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形；
C、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形；
D、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项后进行判断即可得出答案。
4．（2025八下·惠州期中）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．全等三角形的对应边相等
D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意；
故答案为：．
【分析】分别写出各命题的逆命题并判断它们的真假即可得出答案。
5．（2025八下·惠州期中）如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A. 由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C. 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D. 由，可知，，即，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
6．（2025八下·惠州期中）在四边形中，．顺次连接四边形四边中点E、F、G、H，则四边形的形状一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，四边形，与交于点O，E、F、G、H分别为各边的中点，依次连接点E、F、G、H，如图所示：
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵，
∴，
∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：A．
【分析】首先根据三角形中位线定理可得出，可得出四边形是平行四边形，进而再根据，可得出，即可得出四边形是矩形。
7．（2025八下·惠州期中）如图，点E表示的数为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A表示的数为-1，点D表示的数为0，
∴AD=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=1，∠ADC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴点E表示的数为：．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出，从而可得点E表示的数为：．
8．（2025八下·惠州期中）如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得
故答案为：B．
【分析】首先根据四条边相等可得出四边形是菱形，进而根据菱形的面积计算公式即可得出AB的长。
9．（2025八下·惠州期中）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
，
平分，
，
，
∴是的中位线，
．
故答案为：B．
【分析】首先求得，进而根据三角形中位线定理可得出。
10．（2025八下·惠州期中）如图，和是两块相互平行的平面镜，与之间的距离为，光线从点出发，照射到点后，再反射到点．根据“知识桥”的内容可知，光线的长为（　　）
知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：作于，则，
，
∵和是两块相互平行的平面镜，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先根据平行线的性质可得出，进而得出等腰三角形ABC，作于，即可得出，进而根据勾股定理即可得出。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·惠州期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即求出答案.
12．（2025八下·惠州期中）比较大小：　 　．（填“”“”或“”）
【答案】>
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：>．
【分析】根据二次根式的性质，把根号外的非负因数平方后移到根号下，可将化为，进而通过比较被开方数的大小即可得出答案。
13．（2025八下·惠州期中）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为　 　cm．
【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得，，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去
故答案为：
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
14．（2025八下·惠州期中）如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若，，则点D的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作于点G，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，四边形 ABCO是正方形，
∴，
∴，=，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点D作于点G，根据菱形的性质可得出，进而得出是等边三角形，四边形 ABCO是正方形，得出，再通过解直角三角形可得出，=，进而得出。
15．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取的中点，连接，则：，
∵，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴，
∴当最小时，最小，
∵为上一个动点，
∴当时，最小，
∵矩形，
∴，
∴当时，四边形为矩形，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，则：，根据线段中点判定定理可得为的中点，根据三角形中位线定理可得，当最小时，最小，当时，最小，根据矩形性质可得，则当时，四边形为矩形，根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·惠州期中）计算：．
【答案】解：

【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式运算法则，结合完全平方公式即可求出答案.
17．（2025八下·惠州期中）如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离．
【答案】解：由题可知，，，，
．
四边形是矩形，
．
∵，，
∴在中，由勾股定理得：，
．
答：点到水平地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】首先判定四边形是矩形，进而得出．再根据勾股定理求得，进而即可得出．
18．（2025八下·惠州期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形．
【答案】解：∵菱形的对角线和交于点O，∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】首先根据菱形的性质可知：对角线互相垂直：，对角线互相平分：且，由此可得，进一步证明四边形为平行四边形。结合题目条件：对角线垂直：，角度关系：，根据这些性质即可完成解答。
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·惠州期中）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）首先计算得到，，，然后运用平方差公式对表达式进行变形和简化，最终求出结果。
（2）通过完全平方公式对表达式进行变形和简化计算，最终得出结果。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
当时，
原式．
20．（2025八下·惠州期中）【题目】求的整数部分．
【解题方法】方法一：由，得，
，
的整数部分是1．
方法二：如图①，正方形的边长为1，由勾股定理可求得对角线的长为，再由三边关系可求得，进而求得的整数部分是1．
【应用】
（1）利用方法一求的小数部分；
（2）如图②，在的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明与的大小关系．
【答案】（1） 解：由，得，
，
的小数部分是．

（2）解：如图，由勾股定理可求得，，，
在中，，
．
【知识点】无理数的估值；三角形三边关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据题目条件可知，√11的值介于3和4之间，即满足不等式，由此可直接得出答案。
（2）利用勾股定理计算可得：，，。根据三角形两边之和大于第三边的性质，即，从而得出结论。
（1）解：由，得，
，
的小数部分是．
（2）解：如图，由勾股定理可求得，，，
在中，，
．
21．（2025八下·惠州期中）在中，，D是的中点，
小星说：由题目的已知条件，若过点A作，且，连接，则可证明四边形是菱形；
小红说：由题目的已知条件，若过点A作，过点C作，则可证明四边形是菱形；
（1）请你选择一位同学的说法进行证明；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1） 解：选择小星的说法：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
或选择小红的说法：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
（2） 解：∵，，∴
∵D是的中点，
∴
∵四边形是菱形；
∴菱形的周长是．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）小星的思路：通过判定一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出邻边相等，从而证明四边形是菱形；小红的思路：通过判定两组对边分别平行的四边形为平行四边形，同样结合斜边中线性质，得出邻边相等，最终证明四边形为菱形；
（2）首先利用勾股定理计算得到斜边长度为，然后根据斜边中线性质和菱形的四边相等特性，完成后续解答。
（1）解：选择小星的说法：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
或选择小红的说法：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴
∵D是的中点，
∴
∵四边形是菱形；
∴菱形的周长是．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·惠州期中）在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论．
【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理；
（2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证；
【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接．
①当点D在线段上运动，且时，求的长；
②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长．
【答案】解：（1）；；
（2）验证：∵梯形的面积为，也可表示为，
∴，
整理得；
（3）①在中，由勾股定理得．
∵，
∴．
在中，由勾股定理得；
②的长为或6
【知识点】勾股定理的证明；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）图2中大正方形的面积为，也可用几个三角形和正方形的面积表示为，
故答案为：；；
（3） ②如图，当点D在线段上，且点恰好落在射线上．
∵点C与点关于对称，
∴，，，
∴，．
设，
∴．
在中，，
即，
∴，
即的长为；
如图2，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上．
∵点C与点关于对称，
∴，，，
∴．
设，
∴．
在中，，
即，
∴，即的长为6．
综上，的长为或6
【分析】（1）通过两种方式计算大正方形的面积：① 将大正方形分解为4个全等直角三角形和1个小正方形，面积表达式为：② 直接计算大正方形边长得：，由面积相等得到勾股定理：；
（2）梯形面积的双重表达式：① 梯形公式计算：；② 分解为1个等腰直角三角形和2个全等直角三角形：，化简后同样得到：；
（3）具体应用：① 在Rt△ABC中：，由BD=3CD得CD=1，在Rt△ACD中： ；
② 分两种情况讨论：情况一：点D在BC上，C1在BA延长线上，的长为；情况二：点D在BC延长线上，C1在BA上，的长为6．
23．（2025八下·惠州期中）综合与探究
问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为．
问题解决：
（1）如图当点落在对角线上时，求线段的长．
（2）如图，当时，求线段的长．
（3）在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【分析】（1）首先利用勾股定理计算AC的长度：。根据折叠的性质，可得AE=AB=3，BF=EF，且∠AEF=∠B=90°。由此得出CE=AC AE=2，且∠CEF=90°。设EF=BF=x，则CF=BC BF=4 x。在直角三角形CEF中，利用勾股定理建立方程求解x的值。
（2）在AB上取一点H，使得AH=FH，连接FH。通过几何关系证明△BHF是等腰直角三角形，从而得到BH=BF。进一步计算FH的长度：。由此可得AH=√2·BF，最终推导出AB=AH+BH=(1+√2)·BF，进而求解所需比例。
（3）分两种情况讨论：当点F在BC上时，利用矩形和折叠的性质求解；当点F在BC的延长线上时，重新分析几何关系并建立方程求解。两种情况需分别画出图形，结合折叠的性质进行计算。
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当点在上时，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
如图所示，当点在延长上时，
同理可证明，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
1 / 1广东省惠州一中教育集团2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷 -
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·惠州期中）下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·惠州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·惠州期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．1，2，3 D．5，7，11
4．（2025八下·惠州期中）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．角平分线上的点到角的两边距离相等
C．全等三角形的对应边相等
D．对顶角相等
5．（2025八下·惠州期中）如图，四边形中，，对角线AC、BD相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·惠州期中）在四边形中，．顺次连接四边形四边中点E、F、G、H，则四边形的形状一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不能确定
7．（2025八下·惠州期中）如图，点E表示的数为（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2025八下·惠州期中）如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·惠州期中）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2025八下·惠州期中）如图，和是两块相互平行的平面镜，与之间的距离为，光线从点出发，照射到点后，再反射到点．根据“知识桥”的内容可知，光线的长为（　　）
知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·惠州期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025八下·惠州期中）比较大小：　 　．（填“”“”或“”）
13．（2025八下·惠州期中）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为　 　cm．
14．（2025八下·惠州期中）如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若，，则点D的坐标是　 　．
15．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·惠州期中）计算：．
17．（2025八下·惠州期中）如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离．
18．（2025八下·惠州期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·惠州期中）求值：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求代数式的值．
20．（2025八下·惠州期中）【题目】求的整数部分．
【解题方法】方法一：由，得，
，
的整数部分是1．
方法二：如图①，正方形的边长为1，由勾股定理可求得对角线的长为，再由三边关系可求得，进而求得的整数部分是1．
【应用】
（1）利用方法一求的小数部分；
（2）如图②，在的正方形网络中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．借助图②，利用方法二说明与的大小关系．
21．（2025八下·惠州期中）在中，，D是的中点，
小星说：由题目的已知条件，若过点A作，且，连接，则可证明四边形是菱形；
小红说：由题目的已知条件，若过点A作，过点C作，则可证明四边形是菱形；
（1）请你选择一位同学的说法进行证明；
（2）若，，求菱形的周长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·惠州期中）在学习勾股定理后，我们知道，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，则可得到，小红和小林分别通过各自的方式验证了这一结论．
【验证】（1）小红将如图1所示的4张大小形状完全相同的直角三角形纸片拼成如图2所示的大正方形，则图2中大正方形的面积为______，也可用几个三角形和正方形的面积表示为______，然后根据面积之间的数量关系即可验证勾股定理；
（2）爱动脑的小林用图1中相同的2张直角三角形纸片拼成了如图3所示的梯形，他发现通过该图形也能验证勾股定理，请你帮助小林完成验证；
【应用】（3）如图4，已知在中，，，，动点D从点B出发沿射线运动，连接．
①当点D在线段上运动，且时，求的长；
②已知点C关于所在直线的对称点为点，当点恰好落在射线上时，请直接写出的长．
23．（2025八下·惠州期中）综合与探究
问题情境：折叠问题的实质是图形的轴对称变化，找出对应相等的元素是解题的关键．如图，在矩形中，，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为．
问题解决：
（1）如图当点落在对角线上时，求线段的长．
（2）如图，当时，求线段的长．
（3）在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A选项：是三次根式，不是二次根式，故A选项不符合题意；
B选项：中被开方数，所以无意义，故B选项不符合题意；
C选项：符合二次根式的定义，故C选项符合题意；
D选项：中当时，无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的定义：当时，就是二次根式，逐项进行判断即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的乘法法则可得出A正确；根据二次根式的性质进行化简可得出B不正确；根据二次根式的乘方可得出C不正确；根据二次根式的减法运算可得出D不正确，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形；
B、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形；
C、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形；
D、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项后进行判断即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意．
、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意；
故答案为：．
【分析】分别写出各命题的逆命题并判断它们的真假即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A. 由，可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C. 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D. 由，可知，，即，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，四边形，与交于点O，E、F、G、H分别为各边的中点，依次连接点E、F、G、H，如图所示：
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵，
∴，
∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：A．
【分析】首先根据三角形中位线定理可得出，可得出四边形是平行四边形，进而再根据，可得出，即可得出四边形是矩形。
7．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A表示的数为-1，点D表示的数为0，
∴AD=1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=1，∠ADC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴点E表示的数为：．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出，从而可得点E表示的数为：．
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得
故答案为：B．
【分析】首先根据四条边相等可得出四边形是菱形，进而根据菱形的面积计算公式即可得出AB的长。
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
，
平分，
，
，
∴是的中位线，
．
故答案为：B．
【分析】首先求得，进而根据三角形中位线定理可得出。
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：作于，则，
，
∵和是两块相互平行的平面镜，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先根据平行线的性质可得出，进而得出等腰三角形ABC，作于，即可得出，进而根据勾股定理即可得出。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即求出答案.
12．【答案】>
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：>．
【分析】根据二次根式的性质，把根号外的非负因数平方后移到根号下，可将化为，进而通过比较被开方数的大小即可得出答案。
13．【答案】25
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得，，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去
故答案为：
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作于点G，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，四边形 ABCO是正方形，
∴，
∴，=，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点D作于点G，根据菱形的性质可得出，进而得出是等边三角形，四边形 ABCO是正方形，得出，再通过解直角三角形可得出，=，进而得出。
15．【答案】
【知识点】最简二次根式；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取的中点，连接，则：，
∵，
∴为的中点，
∵为的中点，
∴，
∴当最小时，最小，
∵为上一个动点，
∴当时，最小，
∵矩形，
∴，
∴当时，四边形为矩形，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，则：，根据线段中点判定定理可得为的中点，根据三角形中位线定理可得，当最小时，最小，当时，最小，根据矩形性质可得，则当时，四边形为矩形，根据矩形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】解：

【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式运算法则，结合完全平方公式即可求出答案.
17．【答案】解：由题可知，，，，
．
四边形是矩形，
．
∵，，
∴在中，由勾股定理得：，
．
答：点到水平地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】首先判定四边形是矩形，进而得出．再根据勾股定理求得，进而即可得出．
18．【答案】解：∵菱形的对角线和交于点O，∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】首先根据菱形的性质可知：对角线互相垂直：，对角线互相平分：且，由此可得，进一步证明四边形为平行四边形。结合题目条件：对角线垂直：，角度关系：，根据这些性质即可完成解答。
19．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）首先计算得到，，，然后运用平方差公式对表达式进行变形和简化，最终求出结果。
（2）通过完全平方公式对表达式进行变形和简化计算，最终得出结果。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
当时，
原式．
20．【答案】（1） 解：由，得，
，
的小数部分是．

（2）解：如图，由勾股定理可求得，，，
在中，，
．
【知识点】无理数的估值；三角形三边关系；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据题目条件可知，√11的值介于3和4之间，即满足不等式，由此可直接得出答案。
（2）利用勾股定理计算可得：，，。根据三角形两边之和大于第三边的性质，即，从而得出结论。
（1）解：由，得，
，
的小数部分是．
（2）解：如图，由勾股定理可求得，，，
在中，，
．
21．【答案】（1） 解：选择小星的说法：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
或选择小红的说法：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
（2） 解：∵，，∴
∵D是的中点，
∴
∵四边形是菱形；
∴菱形的周长是．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）小星的思路：通过判定一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出邻边相等，从而证明四边形是菱形；小红的思路：通过判定两组对边分别平行的四边形为平行四边形，同样结合斜边中线性质，得出邻边相等，最终证明四边形为菱形；
（2）首先利用勾股定理计算得到斜边长度为，然后根据斜边中线性质和菱形的四边相等特性，完成后续解答。
（1）解：选择小星的说法：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
或选择小红的说法：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴
∵D是的中点，
∴
∵四边形是菱形；
∴菱形的周长是．
22．【答案】解：（1）；；
（2）验证：∵梯形的面积为，也可表示为，
∴，
整理得；
（3）①在中，由勾股定理得．
∵，
∴．
在中，由勾股定理得；
②的长为或6
【知识点】勾股定理的证明；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）图2中大正方形的面积为，也可用几个三角形和正方形的面积表示为，
故答案为：；；
（3） ②如图，当点D在线段上，且点恰好落在射线上．
∵点C与点关于对称，
∴，，，
∴，．
设，
∴．
在中，，
即，
∴，
即的长为；
如图2，当点D在线段的延长线上，且点恰好落在射线上．
∵点C与点关于对称，
∴，，，
∴．
设，
∴．
在中，，
即，
∴，即的长为6．
综上，的长为或6
【分析】（1）通过两种方式计算大正方形的面积：① 将大正方形分解为4个全等直角三角形和1个小正方形，面积表达式为：② 直接计算大正方形边长得：，由面积相等得到勾股定理：；
（2）梯形面积的双重表达式：① 梯形公式计算：；② 分解为1个等腰直角三角形和2个全等直角三角形：，化简后同样得到：；
（3）具体应用：① 在Rt△ABC中：，由BD=3CD得CD=1，在Rt△ACD中： ；
② 分两种情况讨论：情况一：点D在BC上，C1在BA延长线上，的长为；情况二：点D在BC延长线上，C1在BA上，的长为6．
23．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【分析】（1）首先利用勾股定理计算AC的长度：。根据折叠的性质，可得AE=AB=3，BF=EF，且∠AEF=∠B=90°。由此得出CE=AC AE=2，且∠CEF=90°。设EF=BF=x，则CF=BC BF=4 x。在直角三角形CEF中，利用勾股定理建立方程求解x的值。
（2）在AB上取一点H，使得AH=FH，连接FH。通过几何关系证明△BHF是等腰直角三角形，从而得到BH=BF。进一步计算FH的长度：。由此可得AH=√2·BF，最终推导出AB=AH+BH=(1+√2)·BF，进而求解所需比例。
（3）分两种情况讨论：当点F在BC上时，利用矩形和折叠的性质求解；当点F在BC的延长线上时，重新分析几何关系并建立方程求解。两种情况需分别画出图形，结合折叠的性质进行计算。
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点，使得，连接，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，当点在上时，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
如图所示，当点在延长上时，
同理可证明，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
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