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广东省广州市番禺区大龙中学2024—2025学年下学期七年级数学期中试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025七下·番禺期中）在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．是小数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B．是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C．是无理数，故此选项符合题意；
D．，是整数，不是无理数，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义，逐项进行识别，及可得出答案。
2．（2025七下·番禺期中） 在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（-2，3）的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断出点P的横坐标与纵坐标的符号，即可得知点P所在的象限，即可求解.
3．（2025七下·番禺期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
【答案】A
【知识点】邻补角；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故与是同旁内角，选项A说法正确，符合题意；
B、与是邻补角，故选项B说法错误，不符合题意；
C、与是是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线两侧，故与是内错角，选项C说法错误，不符合题意；
D、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故和∠4是同旁内角，故选项D说法错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据邻补角、同位角、内错角以及同旁内角的定义对各选项进行判断即可得到答案．
4．（2025七下·番禺期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（　　）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：B．
【分析】将解代入方程即可求出答案.
5．（2025七下·番禺期中）如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴，故此选项符合题意；
C．∵
∴，故此选项不符合题意；
D．∵，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定，逐项进行判断即可得出答案。
6．（2025七下·番禺期中）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标F用表示，则表示为的目标是（　　）
A．目标A B．目标C C．目标D D．目标E
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题知，因为目标B用表示，目标F用表示，
所以表示的是目标D．
故选：C．
【分析】根据题意，结合点的位置即可求出答案.
7．（2025七下·番禺期中）如图，直线与相交于点B，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】首先根据邻补角的定义可得出，进而根据两角之和即可求得．
8．（2025七下·番禺期中）如图，将实数表示在数轴上为（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，
∵，
∴，即，
∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点，
∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据无理数的估算，即可得出答案。
9．（2025七下·番禺期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故答案为：D.
【分析】由每辆车乘坐3人，则空余两辆车可得方程x=3(y-2)；由每辆车乘坐2人，则有9人步行可得方程x=2y+9，联立可得方程组.
10．（2025七下·番禺期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得．
故选：C．
【分析】根据平移性质，结合割补法，梯形面积即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·番禺期中）的相反数是　 　 ，的立方根是　 　，的平方根是　 　
【答案】；；
【知识点】相反数的意义与性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：的相反数是：，
的立方根是：，
的平方根是：．
故答案为：；；．
【分析】根据相反数，立方根，平方根的性质及可得出答案。
12．（2025七下·番禺期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有　 　个．
【答案】1
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：①测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
②木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
③弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
④弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
故能用“垂线段最短”来解释的现象有1个，
故答案为：1．
【分析】根据垂线段最短，线段的性质逐项进行判断即可求出答案.
13．（2025七下·番禺期中）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，若点为线段的中点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：，两点的坐标分别是，，若点为线段的中点，则点的坐标为，即，
故答案为：
【分析】根据线段中点坐标公式即可求出答案.
14．（2025七下·番禺期中）已知轴，的坐标为，，则点的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；平行线的性质
【解析】【解答】解：轴，
、两点纵坐标相同，
的坐标为，
点的纵坐标为6，
，
点的坐标是或，即或，
故答案为：或．
【分析】先求出、两点纵坐标相同，再根据点A的坐标求出点B的纵坐标为6，最后根据AB=4计算求解即可。
15．（2025七下·番禺期中）已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：依题意，，得，
则，
∴．
故答案为：
【分析】首先根据，得，进而得出，进而整体代入，即可得出．
16．（2025七下·番禺期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有　 　（填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则．
【答案】①②③⑤⑦
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∴；故③正确；
∴；故②正确；
∴；故⑥错误；
∵，，
∴，
∴；故⑤正确；
若，则：，
∴；故⑦正确；
条件不足，无法得到；故④错误；
故答案为：①②③⑤⑦．
【分析】根据平行线的性质和判定，经过逐步推理。逐项进行判断，及可得出答案。
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（2025七下·番禺期中）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）首先根据绝对值的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先计算立方根和算术平方根来化简表达式，再进行加减运算；
（3）先进行乘法运算，再用算术平方根化简表达式，最后完成加减运算。
（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
18．（2025七下·番禺期中）填空，将本题补充完整.
如图，已知，，，将求的过程填写完整．
解：∵（已知），
∴______，（　　）
又∵（已知），
∴______（等量代换），
∴（　　），
∴______（　　），
∵（已知），
∴______°．
【答案】解：∵（已知），
∴，
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】首先根据平行线的性质得出，然后通过等量代换得到。接着运用平行线的判定定理得出。再利用平行线的性质得出，最后通过计算即可得出结论。
19．（2025七下·番禺期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出、两点的坐标；
（2）将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到．画出，并写出，，的坐标．
【答案】（1）解：由图知，；
（2）解：如图，即为所作，
由图知，，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据题目中点的位置信息直接写出对应坐标。
（2）运用平移变换的性质，分别作出点、、平移后的对应点、、，然后依次连接线段、和，最后写出、、的新坐标即可。
（1）解：由图知，；
（2）如图，即为所作，
由图知，，．
20．（2025七下·番禺期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
（1）图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______；
（2）在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
【答案】（1）；
（2）如图，取格点、、、，再顺次连接，
∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边长为，
则正方形即为所作．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边：，
故答案为：；；
【分析】（1）根据割补法可得出正方形的面积：，进而根据正方形的面积求算术平方根即可得出；
（2）依据题目条件，参考（1）的解题思路进行分析，并绘制相应图形即可；
（1）解：∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边：，
故答案为：；；
（2）如图，取格点、、、，再顺次连接，
∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边长为，
则正方形即为所作．
21．（2025七下·番禺期中）解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：（2），，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（1）解：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（2），
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是．
22．（2025七下·番禺期中）如图，，，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：平行，理由如下：
，，
，
.
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用同旁内角互补，两条直线平行的判定方法分析求解即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得，证出AC//DF，最后证出即可．
（1）解：平行，理由如下：
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
23．（2025七下·番禺期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据相等关系“购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元”列出二元一次方程组并求解即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据相等关系“计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买”列出二元一次方程并求出正整数解即可．
（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
24．（2025七下·番禺期中）已知如图，
①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）；
②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由；
[延伸拓展]
利用上面（1）（2）得出的结论完成下题
③已知，，，．若，则______°．
【答案】（1）；
②如图（2）所示：过点作，
∵，，
∴，
，，
；
∴；
（3）85
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：①如图（1）所示：过点作，
∵，，
∴，
，，
，
；
③∵，，
，，
∵，由②得，
∵，
∴，
∴，
∵，由①得，
∴．
故答案为：85．
【分析】①过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
②过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
③根据角之间的关系可得，，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
25．（2025七下·番禺期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标___________，B的坐标___________，C的坐标___________；
（2）当P，Q分别在线段上时，连接，当时，求出点P的坐标；
（3）在P，Q运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）(8，0)，(4，4)，(0，4)
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ＝150°
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；解含括号的一元一次方程；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
【分析】(1) 利用算术平方根和偶次方的非负性，求出参数a、b、c的值，进而确定点A、B、C的坐标；
(2) 设运动时间为t秒，表示此时点P和点Q的坐标，并用含t的代数式分别表示△PAB和△QBC的面积。根据题意建立关于t的方程，求解后确定t的值，从而得到点P的坐标；
(3) 过点Q作QHx轴，交AB于点H，利用平行线的性质分析∠OPQ与∠PQB的数量关系。分两种情况讨论：① 当点Q位于点C的上方时，∠PQB-∠OPQ=30°；② 当点Q位于点C的下方时，∠PQB+∠OPQ＝150°。
（1）解：∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，
∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）解：∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：
过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
1 / 1广东省广州市番禺区大龙中学2024—2025学年下学期七年级数学期中试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025七下·番禺期中）在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·番禺期中） 在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025七下·番禺期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
4．（2025七下·番禺期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（　　）
A．3 B．1 C． D．
5．（2025七下·番禺期中）如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·番禺期中）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标F用表示，则表示为的目标是（　　）
A．目标A B．目标C C．目标D D．目标E
7．（2025七下·番禺期中）如图，直线与相交于点B，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·番禺期中）如图，将实数表示在数轴上为（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
9．（2025七下·番禺期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·番禺期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·番禺期中）的相反数是　 　 ，的立方根是　 　，的平方根是　 　
12．（2025七下·番禺期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有　 　个．
13．（2025七下·番禺期中）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，若点为线段的中点，则点的坐标为　 　．
14．（2025七下·番禺期中）已知轴，的坐标为，，则点的坐标是　 　．
15．（2025七下·番禺期中）已知，则的值为　 　．
16．（2025七下·番禺期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有　 　（填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（2025七下·番禺期中）计算：
（1）
（2）
（3）
18．（2025七下·番禺期中）填空，将本题补充完整.
如图，已知，，，将求的过程填写完整．
解：∵（已知），
∴______，（　　）
又∵（已知），
∴______（等量代换），
∴（　　），
∴______（　　），
∵（已知），
∴______°．
19．（2025七下·番禺期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）写出、两点的坐标；
（2）将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到．画出，并写出，，的坐标．
20．（2025七下·番禺期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为．
【问题解决】
（1）图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______；
（2）在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形．
21．（2025七下·番禺期中）解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
22．（2025七下·番禺期中）如图，，，．
（1）与平行吗？为什么？
（2）探索与的数量关系，并说明理由．
23．（2025七下·番禺期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
24．（2025七下·番禺期中）已知如图，
①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）；
②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由；
[延伸拓展]
利用上面（1）（2）得出的结论完成下题
③已知，，，．若，则______°．
25．（2025七下·番禺期中）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A的坐标___________，B的坐标___________，C的坐标___________；
（2）当P，Q分别在线段上时，连接，当时，求出点P的坐标；
（3）在P，Q运动的过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．是小数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B．是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C．是无理数，故此选项符合题意；
D．，是整数，不是无理数，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义，逐项进行识别，及可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（-2，3）的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断出点P的横坐标与纵坐标的符号，即可得知点P所在的象限，即可求解.
3．【答案】A
【知识点】邻补角；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故与是同旁内角，选项A说法正确，符合题意；
B、与是邻补角，故选项B说法错误，不符合题意；
C、与是是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线两侧，故与是内错角，选项C说法错误，不符合题意；
D、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故和∠4是同旁内角，故选项D说法错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据邻补角、同位角、内错角以及同旁内角的定义对各选项进行判断即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：B．
【分析】将解代入方程即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴，故此选项符合题意；
C．∵
∴，故此选项不符合题意；
D．∵，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定，逐项进行判断即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：由题知，因为目标B用表示，目标F用表示，
所以表示的是目标D．
故选：C．
【分析】根据题意，结合点的位置即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；邻补角
【解析】【解答】∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】首先根据邻补角的定义可得出，进而根据两角之和即可求得．
8．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，
∵，
∴，即，
∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点，
∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据无理数的估算，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，根据题意可得：
，
故答案为：D.
【分析】由每辆车乘坐3人，则空余两辆车可得方程x=3(y-2)；由每辆车乘坐2人，则有9人步行可得方程x=2y+9，联立可得方程组.
10．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得．
故选：C．
【分析】根据平移性质，结合割补法，梯形面积即可求出答案.
11．【答案】；；
【知识点】相反数的意义与性质；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：的相反数是：，
的立方根是：，
的平方根是：．
故答案为：；；．
【分析】根据相反数，立方根，平方根的性质及可得出答案。
12．【答案】1
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：①测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
②木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
③弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
④弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
故能用“垂线段最短”来解释的现象有1个，
故答案为：1．
【分析】根据垂线段最短，线段的性质逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：，两点的坐标分别是，，若点为线段的中点，则点的坐标为，即，
故答案为：
【分析】根据线段中点坐标公式即可求出答案.
14．【答案】或
【知识点】点的坐标；平行线的性质
【解析】【解答】解：轴，
、两点纵坐标相同，
的坐标为，
点的纵坐标为6，
，
点的坐标是或，即或，
故答案为：或．
【分析】先求出、两点纵坐标相同，再根据点A的坐标求出点B的纵坐标为6，最后根据AB=4计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：依题意，，得，
则，
∴．
故答案为：
【分析】首先根据，得，进而得出，进而整体代入，即可得出．
16．【答案】①②③⑤⑦
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∴；故③正确；
∴；故②正确；
∴；故⑥错误；
∵，，
∴，
∴；故⑤正确；
若，则：，
∴；故⑦正确；
条件不足，无法得到；故④错误；
故答案为：①②③⑤⑦．
【分析】根据平行线的性质和判定，经过逐步推理。逐项进行判断，及可得出答案。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）首先根据绝对值的性质进行化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先计算立方根和算术平方根来化简表达式，再进行加减运算；
（3）先进行乘法运算，再用算术平方根化简表达式，最后完成加减运算。
（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
18．【答案】解：∵（已知），
∴，
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴．
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】首先根据平行线的性质得出，然后通过等量代换得到。接着运用平行线的判定定理得出。再利用平行线的性质得出，最后通过计算即可得出结论。
19．【答案】（1）解：由图知，；
（2）解：如图，即为所作，
由图知，，．
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据题目中点的位置信息直接写出对应坐标。
（2）运用平移变换的性质，分别作出点、、平移后的对应点、、，然后依次连接线段、和，最后写出、、的新坐标即可。
（1）解：由图知，；
（2）如图，即为所作，
由图知，，．
20．【答案】（1）；
（2）如图，取格点、、、，再顺次连接，
∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边长为，
则正方形即为所作．
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边：，
故答案为：；；
【分析】（1）根据割补法可得出正方形的面积：，进而根据正方形的面积求算术平方根即可得出；
（2）依据题目条件，参考（1）的解题思路进行分析，并绘制相应图形即可；
（1）解：∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边：，
故答案为：；；
（2）如图，取格点、、、，再顺次连接，
∵正方形的面积为：，
∴格点正方形的边长为，
则正方形即为所作．
21．【答案】（1）解：，，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（2）解：（2），，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（1）解：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（2），
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是．
22．【答案】（1）解：平行，理由如下：
，，
，
.
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用同旁内角互补，两条直线平行的判定方法分析求解即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得，证出AC//DF，最后证出即可．
（1）解：平行，理由如下：
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
23．【答案】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据相等关系“购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元”列出二元一次方程组并求解即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据相等关系“计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买”列出二元一次方程并求出正整数解即可．
（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
24．【答案】（1）；
②如图（2）所示：过点作，
∵，，
∴，
，，
；
∴；
（3）85
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：①如图（1）所示：过点作，
∵，，
∴，
，，
，
；
③∵，，
，，
∵，由②得，
∵，
∴，
∴，
∵，由①得，
∴．
故答案为：85．
【分析】①过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
②过点作，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
③根据角之间的关系可得，，根据直线平行性质，结合角之间的关系即可求出答案.
25．【答案】（1）(8，0)，(4，4)，(0，4)
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ＝150°
【知识点】坐标与图形性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；解含括号的一元一次方程；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：（1）∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（3）∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
【分析】(1) 利用算术平方根和偶次方的非负性，求出参数a、b、c的值，进而确定点A、B、C的坐标；
(2) 设运动时间为t秒，表示此时点P和点Q的坐标，并用含t的代数式分别表示△PAB和△QBC的面积。根据题意建立关于t的方程，求解后确定t的值，从而得到点P的坐标；
(3) 过点Q作QHx轴，交AB于点H，利用平行线的性质分析∠OPQ与∠PQB的数量关系。分两种情况讨论：① 当点Q位于点C的上方时，∠PQB-∠OPQ=30°；② 当点Q位于点C的下方时，∠PQB+∠OPQ＝150°。
（1）解：∵+|b-4|+=0，，|b-4|≥0，≥0，
∴a-8=0，b-4=0，c-4=0，
解得：a=8，b=4，c=4，
∴A的坐标(8，0)，B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)，
故答案为：(8，0)，(4，4)，(0，4)；
（2）解：过点B作BD⊥AO，垂足为点D，
由题意可得，BC＝4，BD＝4，OA＝8，
设运动时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∴，
，
∵，
∴4t＝2(8-2t)，
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA-AP＝4，
∴点P的坐标为(4，0)；
（3）解：∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°，理由：
过点Q作QHx轴，交直线AB与点H，
∵B的坐标(4，4)，C的坐标(0，4)；
∴AOBC，
∵QHAO，BCAO，
∴QHBC，
∴∠OPQ=∠PQH，∠CBQ=∠BQH，
如图，当Q在C的下方时，∠PQH=∠PQB-∠HQB，
∴∠OPQ=∠PQB-∠QBC，
当∠QBC=30°时，∠OPQ=∠PQB-30°，即∠PQB-∠OPQ=30°；
如图，当Q在C的上方时，
∵QHBC，
∴∠HQB=∠CBQ=30°，
∵∠HQB+∠PQB=∠HQP=180°-∠OPQ，
∴∠OPQ=150°-∠PQB，即∠PQB+∠OPQ=150°，
综上所述：∠OPQ和∠PQB的数量关系是∠PQB-∠OPQ=30°或∠PQB+∠OPQ=150°．
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