资源简介

广东省广州市广大附中大学城校区大奥班2024~2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·广州期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，，
，．
，无意义，①错误；
，②正确；
，③正确；
，④错误；
正确的有②③，
故答案为：B．
【分析】首先根据题目条件和，可以确定且。在此基础上，运用二次根式的性质以及乘除运算规则，对各个选项逐一进行判断。
2．（2025八下·广州期中）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝ ，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的样本容量为4，中位数为 ＝3，众数为3，平均数为 ＝3，
故答案为：D.
【分析】先根据方差的公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案.
3．（2025八下·广州期中）若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵x的方程无解.
化成以后为：（m-3)x=-2x.
①∵（m-3）x=-2x无解.
∴m-3=0，m=3.
②关于x的方程有增根.
则x-1=0，x=1.
把x=1代入（m-3）x=-2x，解得m=1.
综上所述：m=1或3
故答案为：B.
【分析】分类讨论①当化简得（m-3)x=-2x一种情况，②关于x的方程有增根一种情况，进行讨论解答即可.
4．（2025八下·广州期中）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【分析】根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义可得出A正确；根据角平分线的定义及三角形内角的定理可计算得出∠B=∠ACB=72°，∠ACE=∠A=36°，进而得出B正确；根据AA可证明，设，则，可根据，得出，即可推出，故C错误；过点E作于G，于H，根据角平分线的性质可得出，故D正确；
由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
5．（2025八下·广州期中）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求出答案.
6．（2025八下·广州期中）已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对应点为，
，
抛物线与轴的交点为，
关于对称轴的对应点为，
若四个数中有且只有一个数大于0，
当时，在对称轴左侧随的增大而减小，
故，
，
解得，
当时，在对称轴左侧随的增大而增大，
四个数全都大于，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】首先确定抛物线的对称轴方程为。题目条件要求函数值这四个数中有且仅有一个大于0。由此可以建立不等式关系进行求解。
7．（2025八下·广州期中）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】设，根据点的坐标可得，过点A作于E，根据等腰三角形性质可得，则，点D的横坐标为，根据三角形面积可得CD，根据点的坐标可得，再将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
8．（2025八下·广州期中）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（　　）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
9．（2025八下·广州期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】 【解答】解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
故答案为：C．
【分析】连接，利用平行线的性质及切线长定理，可证得，再运用勾股定理求出，最后通过等面积法即可得出。
10．（2025八下·广州期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④= 1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠GAH=∠BAH，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
在△AHG和△AHB中，
，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠CAF=×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，
∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BEGF是菱形；②正确；
设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，
∵四边形BEGF是菱形，
∴GF∥OB，
∴∠CGF=∠COB=90°，
∴∠GFC=∠GCF=45°，
∴CG=GF=b，∠CGF=90°，
∴CF=GF=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠OAE=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA），①正确；
∴OG=OE=a-b，
∴△GOE是等腰直角三角形，
∴GE=OG，
∴b=（a-b），
整理得a=b，
∴AC=2a=（2+）b，AG=AC-CG=（1+）b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PC∥AB，
∴=1+，
∵△OAE≌△OBG，
∴AE=BG，
∴=1+，
∴=-1，④正确；
∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°，
∴∠EAB=∠GBC，
在△EAB和△GBC中，
，
∴△EAB≌△GBC（ASA），
∴BE=CG，③正确；
在△FAB和△PBC中，
，
∴△FAB≌△PBC（ASA），
∴BF=CP，
∴，⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【分析】根据角平分线定义可得∠GAH=∠BAH，再根据全等三角形判定定理可得△AHG≌△AHB（ASA），则GH=BH，根据垂直平分线判定定理可得AF是线段BG的垂直平分线，则EG=EB，FG=FB，根据正方形性质可得∠BAF=∠CAF=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，根据角之间的关系可得∠BEF=∠BFE，根据等角对等边可得EB=FB，根据菱形判定定理可判断②；设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，根据菱形性质可得GF∥OB，则∠CGF=∠COB=90°，根据等腰直角三角形性质可得CF=GF=BF，根据正方形性质可得OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，根据角之间的关系可得∠OAE=∠OBG，根据全等三角形判定定理可判断①；则OG=OE=a-b，根据等腰直角三角形判定定理可得△GOE是等腰直角三角形，则GE=OG，即a=b，根据边之间的关系可得AC=2a=（2+）b，AG=（1+）b，根据正方形性质可得PC∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得=1+，根据全等三角形性质可得AE=BG，则=1+，根据边之间的关系可判断④；根据角之间的关系可得∠EAB=∠GBC，再根据全等三角形判定定理及性质可判断③；根据全等三角形判定定理可得△FAB≌△PBC（ASA），则BF=CP，再根据三角形面积可判断⑤.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·广州期中）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：解方程组得：
，
∵方程组有整数解，
∴为，，，
∴可以为，，，，，；
∴可以选择的a值有：-2，0，1；
当a≠0时，二次函数与x轴有交点，
∴，
∴且，
∵当时，函数为，
此时函数与x轴也有公共点，
∴符合条件的a的值为，，，
∴满足两个条件的概率是，
故答案为：．
【分析】先解方程组求出，根据整数解得到a的值，并确定满足题干条件的a值；然后分a≠0，利用抛物线与x轴有交点得到，和a=0两种情况进行讨论，确定满足条件a的值，最后利用概率公式计算即可．
12．（2025八下·广州期中）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为15米，则大树的高为　 　米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
【分析】过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则，根据正切定义可得，设米，米，根据勾股定理建立方程，解方程可得米，米，根据特殊角的三角函数值可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025八下·广州期中）如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为　 　 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，则，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，则，根据折叠性质可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得OC，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
14．（2025八下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，点为轴上任意一点．则的面积为　 　
【答案】5
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；切线的性质
【解析】【解答】过点作轴于点，
设的半径为，
∵与轴相切于点，
∴轴，
，
∵点C在反比例函数图象上，
当时，，
∴点C的坐标为，
即点A的坐标为，
则，
，
故答案为：.
【分析】首先过点作轴于点，设的半径为，可求得。最后利用三角形的面积公式进行计算求解。
15．（2025八下·广州期中）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，∴当时，，当时，，当时，，
∴，
∵动点P在的内部，
∴且，
∴；
故答案为：
【分析】首先需要确定直线与坐标轴的交点A和B的坐标，然后计算当x=a时，直线上的函数值。根据动点P位于三角形AOB内部的条件，建立不等式组进行求解。关键步骤如下：1. 求直线与x轴、y轴的交点坐标A和B；2. 计算x=a时的函数值；3. 根据点P在△AOB内部的条件建立不等式约束；4. 解不等式组得到参数a的取值范围。
16．（2025八下·广州期中）如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为　 　．
【答案】②④
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：取中点O，连接，，∵四边形是正方形，
∴，．
∴，故①错误；
∵，
∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∴当三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，故②正确；
当与相切时，有最大值，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数最大值不是，故③错误；
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：②④．
【分析】取AB的中点O，连接AC和OC。利用勾股定理进行计算后，根据三角形三边关系可以判断①不成立；证明点E在以O为中心、AB为直径的圆上运动。当A、E、C三点共线，或C、O、E三点共线时，CE取得最小值，从而判断②；当CE与圆O相切时，∠BCE达到最大值。通过证明Rt△OBC≌Rt△OEC，得到CE=BC=a，且∠OCE=∠OCB。进一步推导tan∠OCE==，再证∠ABE=∠BCO=∠OCE，从而得到tan∠ABE=tan∠OCE=，据此可判断③和④。
三、计算题（共72分）
17．（2025八下·广州期中）先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数．
【答案】解：原式
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式的意义取合适的数字代入化简后的代数式进行计算即可。
18．（2025八下·广州期中）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）______，E所对应的扇形圆心角是______；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”，这皮同学有多少人？；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
【答案】（1）50，72
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
【分析】（1）先用B组人数除以占比求出问卷调查的总人数，再用360°乘以E组占比求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800乘以D类占比解答即可；
（3）利用列表法得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式进行计算即可．
（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
19．（2025八下·广州期中）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？
【答案】（1）解：设，将、代入得
解得
水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为；

（2）解：在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即，
故，
当时，
解得：；

（3）解：由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，
到经历286分钟，，
当时，
答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点、代入解析式即可求出答案.
（2）设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：，根据待定系数法将x=8，y=100代入解析式可得，再将y=20代入解析式即可求出答案.
（3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，根据题意列式计算即可求出答案.
20．（2025八下·广州期中）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
【答案】（1）解：如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
（2）解：如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由（1）知，米，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为（秒），
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，由作图可知四边形为矩形，根据矩形性质可得，根据题意可得，则，根据等角对等边可得，设米，根据正切定义建立方程，解方程可得米，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点A作，垂足为G，由（1）知，米，根据正切定义可得DG，根据特殊角的三角函数值可得，根据直线平行性质可得，再解直角三角形可得GF，根据边之间的关系可得DF，根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（1）如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
（2）如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由（1）知，米，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为（秒），
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
21．（2025八下·广州期中）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D．
（1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F．
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的长．
【答案】（1）解：作法：1．延长；
2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、；
3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
4．作射线交的延长线于点；
5．连接交于点，
线段、、点就是所求的图形．
（2）证明：连接，则，
，
的平分线交于，
，
，
，
交的延长线于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
（3）解：作于点，则
∵是的切线．
∴
平分，作于点，交的延长线于点，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的长是5．
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可.
（2）连接，则，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）作于点，则，根据切线性质可得，作于点，交的延长线于点，根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，设，根据余弦定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
22．（2025八下·广州期中）如图，在中，，
（1）求度数．
（2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
（3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
【答案】（1）解：取的中点，连接、，则，
，
，，
是等边三角形
∴，
又，
∴，
（2）解：∵到点的距离等于，
∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．
当在线段上时，线段最小，
由（1）可得，
∴，
即线段长度最小值为
（3）解：存在．作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求．
，
则，
当、、共线时，的值最小，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴
∴，即的最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，则，则可根据AD=AE=1，∠DAB=60°，可判定是等边三角形，即可得出DE=1，进而再根据DE=BE=1，即可得出，进而根据两角的和即可得出的度数；（2）首先根据折叠的性质得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆，可得出当在线段上时，线段最小，进而根据勾股定理，可得出BD=，进一步可得出线段长度最小值为；
（3）首先作出点C关于AB的对称点C'，连接A'C'交AB于点P，点P即为所求，进而根据勾股定理可求得当当、、共线时DC'=，进而可求得A'C'=即为的最小值。
（1）解：取的中点，连接、，则，
，
，，
是等边三角形
∴，
又，
∴，
．
（2）解：∵到点的距离等于，
∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．
当在线段上时，线段最小，
由（1）可得，
∴，
即线段长度最小值为
（3）解：存在．
作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求．
，
则，
当、、共线时，的值最小，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴
∴，即的最小值为．
23．（2025八下·广州期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．
【答案】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，根据两点间距离可得，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得，当取得最大值时，也取得最大值，设，则，根据两点间距离可得PD，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
1 / 1广东省广州市广大附中大学城校区大奥班2024~2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·广州期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
2．（2025八下·广州期中）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：s2＝ ，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（　　）
A．样本的容量是4 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
3．（2025八下·广州期中）若关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
4．（2025八下·广州期中）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·广州期中）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·广州期中）已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·广州期中）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·广州期中）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（　　）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
9．（2025八下·广州期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·广州期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④= 1；⑤SΔPBC：SΔAFC=1：2，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八下·广州期中）从，，0，1，2，4这六个数中，任取一个数作为a的值，恰好使得关于x，y的二元一次方程组有整数解，且函数与x轴有公共点的概率是　 　．
12．（2025八下·广州期中）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为15米，则大树的高为　 　米．（结果保留根号）
13．（2025八下·广州期中）如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为　 　 ．
14．（2025八下·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，点为轴上任意一点．则的面积为　 　
15．（2025八下·广州期中）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为　 　．
16．（2025八下·广州期中）如图，正方形边长为a，点E是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为　 　．
三、计算题（共72分）
17．（2025八下·广州期中）先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数．
18．（2025八下·广州期中）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）______，E所对应的扇形圆心角是______；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”，这皮同学有多少人？；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
19．（2025八下·广州期中）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？
20．（2025八下·广州期中）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
（1）求此时小区楼房的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
21．（2025八下·广州期中）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D．
（1）尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F．
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的长．
22．（2025八下·广州期中）如图，在中，，
（1）求度数．
（2）点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
（3）在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
23．（2025八下·广州期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘法法则；有理数的加法法则；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，，
，．
，无意义，①错误；
，②正确；
，③正确；
，④错误；
正确的有②③，
故答案为：B．
【分析】首先根据题目条件和，可以确定且。在此基础上，运用二次根式的性质以及乘除运算规则，对各个选项逐一进行判断。
2．【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为2、3、3、4，
所以这组数据的样本容量为4，中位数为 ＝3，众数为3，平均数为 ＝3，
故答案为：D.
【分析】先根据方差的公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案.
3．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵x的方程无解.
化成以后为：（m-3)x=-2x.
①∵（m-3）x=-2x无解.
∴m-3=0，m=3.
②关于x的方程有增根.
则x-1=0，x=1.
把x=1代入（m-3）x=-2x，解得m=1.
综上所述：m=1或3
故答案为：B.
【分析】分类讨论①当化简得（m-3)x=-2x一种情况，②关于x的方程有增根一种情况，进行讨论解答即可.
4．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【分析】根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义可得出A正确；根据角平分线的定义及三角形内角的定理可计算得出∠B=∠ACB=72°，∠ACE=∠A=36°，进而得出B正确；根据AA可证明，设，则，可根据，得出，即可推出，故C错误；过点E作于G，于H，根据角平分线的性质可得出，故D正确；
由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据弧长公式即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对应点为，
，
抛物线与轴的交点为，
关于对称轴的对应点为，
若四个数中有且只有一个数大于0，
当时，在对称轴左侧随的增大而减小，
故，
，
解得，
当时，在对称轴左侧随的增大而增大，
四个数全都大于，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】首先确定抛物线的对称轴方程为。题目条件要求函数值这四个数中有且仅有一个大于0。由此可以建立不等式关系进行求解。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质；两个图形成中心对称
【解析】【解答】解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】设，根据点的坐标可得，过点A作于E，根据等腰三角形性质可得，则，点D的横坐标为，根据三角形面积可得CD，根据点的坐标可得，再将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】 【解答】解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
故答案为：C．
【分析】连接，利用平行线的性质及切线长定理，可证得，再运用勾股定理求出，最后通过等面积法即可得出。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠GAH=∠BAH，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90°，
在△AHG和△AHB中，
，
∴△AHG≌△AHB（ASA），
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAF=∠CAF=×45°=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，
∴∠BEF=∠BAF+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°-∠BAF=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BEGF是菱形；②正确；
设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，
∵四边形BEGF是菱形，
∴GF∥OB，
∴∠CGF=∠COB=90°，
∴∠GFC=∠GCF=45°，
∴CG=GF=b，∠CGF=90°，
∴CF=GF=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，
∴∠OAE=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA），①正确；
∴OG=OE=a-b，
∴△GOE是等腰直角三角形，
∴GE=OG，
∴b=（a-b），
整理得a=b，
∴AC=2a=（2+）b，AG=AC-CG=（1+）b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PC∥AB，
∴=1+，
∵△OAE≌△OBG，
∴AE=BG，
∴=1+，
∴=-1，④正确；
∵∠OAE=∠OBG，∠CAB=∠DBC=45°，
∴∠EAB=∠GBC，
在△EAB和△GBC中，
，
∴△EAB≌△GBC（ASA），
∴BE=CG，③正确；
在△FAB和△PBC中，
，
∴△FAB≌△PBC（ASA），
∴BF=CP，
∴，⑤错误；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【分析】根据角平分线定义可得∠GAH=∠BAH，再根据全等三角形判定定理可得△AHG≌△AHB（ASA），则GH=BH，根据垂直平分线判定定理可得AF是线段BG的垂直平分线，则EG=EB，FG=FB，根据正方形性质可得∠BAF=∠CAF=22.5°，∠ABE=45°，∠ABF=90°，根据角之间的关系可得∠BEF=∠BFE，根据等角对等边可得EB=FB，根据菱形判定定理可判断②；设OA=OB=OC=a，菱形BEGF的边长为b，根据菱形性质可得GF∥OB，则∠CGF=∠COB=90°，根据等腰直角三角形性质可得CF=GF=BF，根据正方形性质可得OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，根据角之间的关系可得∠OAE=∠OBG，根据全等三角形判定定理可判断①；则OG=OE=a-b，根据等腰直角三角形判定定理可得△GOE是等腰直角三角形，则GE=OG，即a=b，根据边之间的关系可得AC=2a=（2+）b，AG=（1+）b，根据正方形性质可得PC∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得=1+，根据全等三角形性质可得AE=BG，则=1+，根据边之间的关系可判断④；根据角之间的关系可得∠EAB=∠GBC，再根据全等三角形判定定理及性质可判断③；根据全等三角形判定定理可得△FAB≌△PBC（ASA），则BF=CP，再根据三角形面积可判断⑤.
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式
【解析】【解答】解：解方程组得：
，
∵方程组有整数解，
∴为，，，
∴可以为，，，，，；
∴可以选择的a值有：-2，0，1；
当a≠0时，二次函数与x轴有交点，
∴，
∴且，
∵当时，函数为，
此时函数与x轴也有公共点，
∴符合条件的a的值为，，，
∴满足两个条件的概率是，
故答案为：．
【分析】先解方程组求出，根据整数解得到a的值，并确定满足题干条件的a值；然后分a≠0，利用抛物线与x轴有交点得到，和a=0两种情况进行讨论，确定满足条件a的值，最后利用概率公式计算即可．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，
则，
在中，，
设米，米，
，
，
米，米，
，
（米），
（米），
答：大树的高度为米．
故答案为：．
【分析】过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则，根据正切定义可得，设米，米，根据勾股定理建立方程，解方程可得米，米，根据特殊角的三角函数值可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，则，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】连接，则，根据折叠性质可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得OC，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
14．【答案】5
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；切线的性质
【解析】【解答】过点作轴于点，
设的半径为，
∵与轴相切于点，
∴轴，
，
∵点C在反比例函数图象上，
当时，，
∴点C的坐标为，
即点A的坐标为，
则，
，
故答案为：.
【分析】首先过点作轴于点，设的半径为，可求得。最后利用三角形的面积公式进行计算求解。
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，∴当时，，当时，，当时，，
∴，
∵动点P在的内部，
∴且，
∴；
故答案为：
【分析】首先需要确定直线与坐标轴的交点A和B的坐标，然后计算当x=a时，直线上的函数值。根据动点P位于三角形AOB内部的条件，建立不等式组进行求解。关键步骤如下：1. 求直线与x轴、y轴的交点坐标A和B；2. 计算x=a时的函数值；3. 根据点P在△AOB内部的条件建立不等式约束；4. 解不等式组得到参数a的取值范围。
16．【答案】②④
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：取中点O，连接，，∵四边形是正方形，
∴，．
∴，故①错误；
∵，
∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，
∴当三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，故②正确；
当与相切时，有最大值，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数最大值不是，故③错误；
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故答案为：②④．
【分析】取AB的中点O，连接AC和OC。利用勾股定理进行计算后，根据三角形三边关系可以判断①不成立；证明点E在以O为中心、AB为直径的圆上运动。当A、E、C三点共线，或C、O、E三点共线时，CE取得最小值，从而判断②；当CE与圆O相切时，∠BCE达到最大值。通过证明Rt△OBC≌Rt△OEC，得到CE=BC=a，且∠OCE=∠OCB。进一步推导tan∠OCE==，再证∠ABE=∠BCO=∠OCE，从而得到tan∠ABE=tan∠OCE=，据此可判断③和④。
17．【答案】解：原式
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】首先根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式的意义取合适的数字代入化简后的代数式进行计算即可。
18．【答案】（1）50，72
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
【分析】（1）先用B组人数除以占比求出问卷调查的总人数，再用360°乘以E组占比求出E所对应的扇形圆心角度数即可；
（2）用800乘以D类占比解答即可；
（3）利用列表法得到所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，根据概率公式进行计算即可．
（1）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级800名学生中有120人最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”；
（3）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
19．【答案】（1）解：设，将、代入得
解得
水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为；

（2）解：在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得：即，
故，
当时，
解得：；

（3）解：由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，
到经历286分钟，，
当时，
答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点、代入解析式即可求出答案.
（2）设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：，根据待定系数法将x=8，y=100代入解析式可得，再将y=20代入解析式即可求出答案.
（3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次，根据题意列式计算即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
（2）解：如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由（1）知，米，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为（秒），
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，由作图可知四边形为矩形，根据矩形性质可得，根据题意可得，则，根据等角对等边可得，设米，根据正切定义建立方程，解方程可得米，根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点A作，垂足为G，由（1）知，米，根据正切定义可得DG，根据特殊角的三角函数值可得，根据直线平行性质可得，再解直角三角形可得GF，根据边之间的关系可得DF，根据时间=路程÷速度即可求出答案.
（1）如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
（2）如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由（1）知，米，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为（秒），
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
21．【答案】（1）解：作法：1．延长；
2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、；
3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；
4．作射线交的延长线于点；
5．连接交于点，
线段、、点就是所求的图形．
（2）证明：连接，则，
，
的平分线交于，
，
，
，
交的延长线于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
（3）解：作于点，则
∵是的切线．
∴
平分，作于点，交的延长线于点，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的长是5．
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可.
（2）连接，则，根据等边对等角可得，再根据角平分线定义可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）作于点，则，根据切线性质可得，作于点，交的延长线于点，根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，设，根据余弦定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
22．【答案】（1）解：取的中点，连接、，则，
，
，，
是等边三角形
∴，
又，
∴，
（2）解：∵到点的距离等于，
∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．
当在线段上时，线段最小，
由（1）可得，
∴，
即线段长度最小值为
（3）解：存在．作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求．
，
则，
当、、共线时，的值最小，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴
∴，即的最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，则，则可根据AD=AE=1，∠DAB=60°，可判定是等边三角形，即可得出DE=1，进而再根据DE=BE=1，即可得出，进而根据两角的和即可得出的度数；（2）首先根据折叠的性质得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆，可得出当在线段上时，线段最小，进而根据勾股定理，可得出BD=，进一步可得出线段长度最小值为；
（3）首先作出点C关于AB的对称点C'，连接A'C'交AB于点P，点P即为所求，进而根据勾股定理可求得当当、、共线时DC'=，进而可求得A'C'=即为的最小值。
（1）解：取的中点，连接、，则，
，
，，
是等边三角形
∴，
又，
∴，
．
（2）解：∵到点的距离等于，
∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．
当在线段上时，线段最小，
由（1）可得，
∴，
即线段长度最小值为
（3）解：存在．
作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求．
，
则，
当、、共线时，的值最小，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∴
∴，即的最小值为．
23．【答案】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，根据两点间距离可得，根据等边对等角可得，根据直线平行性质可得，解直角三角形可得，当取得最大值时，也取得最大值，设，则，根据两点间距离可得PD，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑