资源简介

(共21张PPT)

第二十章
勾股定理
第2课时　勾股定理及其应用(2)
——运用勾股定理解决实际问题
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
1．若a＝6，b＝8，则c＝　　　　　．
2．若c＝13，a＝5，则b＝　　　　　．
3．若∠A＝45°，a＝3，则c＝　　　　　．
10　
12　
1．【例】如图，要从电线杆离地面4 m的点C处向地面拉一条钢索．若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2 m，求钢索的长度.
运用勾股定理解决实际问题
解：由题意，得AB＝2 m，BC＝4 m，在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC2＝BC2＋AB2＝42＋22＝20，
∴AC＝2 m.
答：钢索的长度为2 m.
2.小慧同学在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，他找到了一根长竹竿，想把风筝挑下来，可是竹竿不够长，他想知道树有多高呢？他制订了一个测量树高的方．如图，在地面A处，测得A到大树的距离AN＝2米，手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A，B，N在同一
条直线上），即可求出这棵树的高度，请你帮他
求出树的高度MN为多少米？（用含根号的式子
表示）
解：根据题意，得∠MNB＝90°，AB＝6米，BN＝2＋6＝8(米)，
设风筝线长为x米，则AM＝(x－4)米，BM＝x米，
∴MN2＝AM2－AN2，MN2＝BM2－BN2.
∴MN2＝(x－4)2－22，MN2＝x2－82.
∴(x－4)2－22＝x2－82.解得x＝9.5.
∴MN2＝(x－4)2－22＝5.52－4＝26.25＝ .
∴MN＝ 米(负值舍去).
∴树的高度MN为 米．
3.【例】小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离BC为15米；根据手中余线长度计算出AB为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离CD为1.8米，如图．
（1）求风筝离地面的垂直高度AD.
解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得，AC＝ ＝8(米)，AD＝8＋1.8＝9.8 (米)，
∴线段AD的长为9.8米．
（2）如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，到达点A′处，BC长度不变，那么他应该再放出多少米的线？
(2)风筝沿DA方向再上升12米，
则A′C＝8＋12＝20(米)，
在Rt△A′BC中，∠A′CB＝90°，
由勾股定理得，A′B＝ ＝25(米)，
∵25－17＝8(米)，
∴他应该再放出8米的线．
4.如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米．
（1）这个梯子顶端A离地面有多高？
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC2＝AB2－BC2＝252－152＝400，
∴AC＝20米．
答：这个梯子的顶端A离地面有20米高．
（2）梯子顶端A下落的高度AE为多少米？
(2)在Rt△CDE中，DE＝AB＝25米，
CD＝BC＋BD＝15＋5＝20(米)，
由勾股定理，得EC2＝DE2－CD2＝252－202＝225，
∴EC＝15米．∴AE＝AC－EC＝20－15＝5(米).
答：梯子顶端A下落的高度AE为5米．
5．如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A．17 m B．18 m
C．25 m D．26 m
6．如图，市政府准备修建一座过街天桥，已知地面BC为8米，则桥的坡面AC是10米．此街道的交通“限高”为　　　　　米．
A　
6
7．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．
某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15 m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6 m．
（1）求风筝的垂直高度CE.
解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，
得CD2＝BC2－BD2＝252－152＝400，
∴CD＝20 m(负值舍去).
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(m).
答：风筝的垂直高度CE为21.6 m.
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12 m，那么他应该往回收线多少米？
8．【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式
的最小值．
分析： 是勾股定理的形式， 是直角边长分别是x和3的直角三角形的斜边长， 是直角边长分别是12－x和2的直角三角形的斜边长，因此，我们构造两个
直角三角形ABC和DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成
“点B在线段CF的何处时，AB＋DB
最短？ ”根据两点间线段最短，得
到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）求代数式 的最小值．
解：(1)如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于线段CF上任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接
AD，则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12，
（2）变式训练：利用图3，求代数式
的最小值．
(2)设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，
AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于线段CF上任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD，则AH＝2＋1＝3，DH＝CF＝5，
感谢聆听(共18张PPT)

第二十章
勾股定理
微专题3　利用勾股定理解决折叠问题
1
课堂讲练
2
分层检测
1．【例】如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知AB＝8 ，∠B＝30°，则DE的长为（　　）
A.4 B．6
C．2 D．4
三角形中的折叠
A　
2.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为线段BD上一点，连接CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对应点B′落在CD的延长线上．若AB＝5，BC＝4，则△B′CE 的面积为　　　　　．
3．【例】如图，将长方形纸片ABCD沿EF 折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，ED′的延长线恰好经过B点，若DE＝DC＝6，CF＝4.求AE的长．
长方形中的折叠
解：∵四边形ABCD是长方形，DC＝6，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，AD∥BC，∠A＝90°.
∴∠BFE＝∠DEF.由折叠可知D′E＝DE＝6，∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠BFE.∴BF＝BE.设AD＝BC＝x，
则AE＝AD－DE＝x－6，BE＝BF＝BC－CF＝x－4.由勾股定理可得
AB2＋AE2＝BE2，即62＋(x－6)2＝(x－4)2，解得x＝14.∴AE＝8.
4.八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：
①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD.
②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求BF，CE的长．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC＝20，CD＝AB＝16，∠B＝∠C＝90°.
由折叠的性质可知，DE＝FE，AF＝AD＝20，
由勾股定理，得BF＝ ＝12，∴CF＝8.
设CE＝x，则FE＝DE＝16－x，
由勾股定理，得CF2＝EF2－CE2，即82＝(16－x)2－x2，
解得x＝6.∴EC＝6 cm，BF＝12 cm.
5．【例】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为CD上一动点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，连接DF，则DF长度的最小值是　　　　　　　．
正方形中的折叠
6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别为AB，CD上的点，将△BCE与△DAF分别沿CE，AF折叠，使B，D分别落在对角线AC上的B′，D′处．若AB＝2，则B′D′的长是　　　　　　　．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（－5，0），点B的坐标是（0，12），M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则点M的坐标为（　　）
B　
8．如图，四边形ABCD是长方形，AB＝3，AD＝4 ，点E，F分别为边AB，CD的中点，点M是边AD上一点．将△ABM沿BM翻折后得到△NBM，点N恰好在线段EF上，则点N与点D之间的距离为　　　　．
9．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝10，E为CD边上一点．将长方形纸片ABCD沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，求DE 的长．
解：由长方形的性质可得CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10.
由折叠的性质可得∠B′＝∠B＝90°，∠C′＝∠C＝90°，
AB′＝AB＝8，B′C′＝BC＝10，C′E＝CE.在 Rt△AB′D 中，
由勾股定理，得B′D＝ ＝6，∴C′D＝B′C′－B′D＝4.
设DE＝x，则CE′＝CE＝8－x，在Rt△DC′E中，由勾股定理，
得 DE2＝C′E2＋C′D2，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5.∴DE＝5.
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△BDE沿直线DE折叠，使B落在AC的三等分点B′处，求CE的长．
解：设CE＝x，则BE＝BC－CE＝8－x.
由折叠可知B′E＝BE＝8－x.
∵点B′为AC的三等分点，AC＝6，
∴B′C＝2或B′C＝4.
当B′C＝2时，在Rt△B′CE 中，B′C2＋CE2＝ B′E2，
即22＋x2＝(8－x)2 ，解得 x＝ ，∴CE＝ .
当B′C＝4 时，在 Rt△B′CE 中，B′C2 ＋CE2＝ B′E2，
即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴CE＝3.
综上所述，CE的长为 或3.
11．在四边形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8.
（1）若P为BC边上一点，如图1将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，当点B落在CD边上点E处时，求PB的长．
解：(1)设PB＝x，则PC＝8－x.
根据图形折叠的性质可知AB＝AE＝10，BP＝EP＝x.
在Rt△ADE中，DE＝ ＝6.
则EC＝CD－DE＝10－6＝4.在Rt△PEC中，EP2＝ EC2＋PC2，
即x2＝42＋(8－x)2.解得x＝5.即PB＝5.
（2）如图2，点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，求DQ的长．
(2)解：①如图1所示，当点Q在线段DC上时．
设DQ＝x，则QC＝10－x.
根据图形折叠的性质可知QD＝D′Q＝x，AD′＝AD＝8，
∠AD′B＝90°.
在Rt△ABD′中，BD′＝ ＝6.
则BQ＝ BD′＋QD′＝6＋x.
在Rt△BQC中，BQ2＝ QC2＋BC2，即(6＋x)2＝(10－x)2＋82，
解得x＝4.即DQ＝4.
②如图2所示，当点Q在线段DC的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知∠DQA＝ ∠D′QA.
∵ AB∥CD，∴∠DQA＝∠QAB.
∴∠D′QA＝ ∠QAB.∴AB＝BQ＝10.
在Rt△BCQ中，CQ＝ ＝6.
∴DQ＝CD＋CQ＝16.
综上所述，DQ＝4或16.
感谢聆听(共22张PPT)

第二十章
勾股定理
第1课时　勾股定理及其应用(1)
——勾股定理的证明与计算
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
右图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：
因为S1＝　　　　　，S2＝　　　　　，S3＝　　　　　，所以S1＋S2＝S3，即AC2＋BC2＝　　　　　．
4　
9　
　AB2
13　
1．【例】下图是证明勾股定理的一种方法：用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，请你利用面积关系证明勾股定理．
勾股定理的证明
证明：∵大正方形的面积为(a＋b)2，
直角三角形的面积为 ab，中间的正方形的面积为c2，
∴4× ab＋c2＝(a＋b)2，即2ab＋c2＝a2＋b2＋2ab.
∴c2＝a2＋b2.
2.如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形证明勾股定理．
证明：∵大正方形的面积为c2，直角三角形的面积为
ab，小正方形的面积为(b－a)2，
∴c2＝4× ab＋(b－a)2＝2ab＋b2－2ab＋a2.
即c2＝a2＋b2.
3．【例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6.求AB的长．
运用勾股定理进行简单计算
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝BC2＋AC2＝62＋82＝100，
∴AB＝10.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，求AB的长．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝62＋42＝36＋16＝52，
∴AB＝2 .
5.【例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13.求AC的长及△ABC的面积．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，
∴AC2＝AB2－BC2＝132－52＝169－25＝144.
∴AC＝12.
∴S△ABC＝ BC·AC＝ ×5×12＝30.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，
AC＝6.求BC的长及△ABC的面积．
7．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为26和10，则正方形A的边长是（　　）
A．4
B．8
C．16
D．36
A　
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝3，b＝4, 则c＝　　　　　.
（2）若c＝10, a＝6, 则b＝　　　　　．
（3）若c＝3，b＝ ，则a＝　　　　　．
5　
2　
8　
9．如图，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB＝1，EC＝
3，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．2 B．8
C． D．10
B　
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作正方形ADEC、正方形CHIB、正方形ABGF，点G落在HI上，EC与AF交于点N.若AC＋BC＝7，空白部分的面积为13，则AB的长为（　　）
A　
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若AD＝12，BC＝17，∠B＝45°，则AC边的长是　　　　　.
12．如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC的长是　　　　　．
6
13　
13．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝5，DB＝3.
（1）求DC的长．（2）求△ABC的面积．
解：(1)在Rt△BCD中，由勾股定理，得
DC2＝BC2－DB2＝52－32＝16，∴DC＝4.
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，DE⊥AC于点E，连接BE.若DE＝8，BE＝BC，求AE的长．
解：如图，过点B作BF⊥AC于点F，∴∠AFB＝90°.
∵BE＝BC，∴CF＝EF＝ CE.
∵∠BAD＝90°，DE⊥AC，
∴∠DEA＝∠AFB＝90°，∠EDA＋∠DAE ＝ 90°，∠DAE ＋ ∠FAB ＝90°.
∴∠FAB＝∠EDA.
15．【推理能力】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h.
（2）若正实数x满足 ＝13，求x的值．
感谢聆听(共18张PPT)

第二十章
勾股定理
第6课时　勾股定理章末复习
1
基础巩固
2
分层检测
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若a＝5，b＝12, 则c＝　　　　．
（2）若a＝7, b＝24, 则c＝　　　　．
（3）若a＝9，c＝15，则b＝　　　　．
勾股定理
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）若∠A＝45°，AC＝2，则AB＝　　　．
（2）若∠A＝30°，AB＝4，则AC＝　　　．
13　
25　
12　
3.如图，A（6，0），B（－4，0），以A为圆心，AB长为
半径画弧，交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为（　　）
A.（0，8） B.（8，0）
C.（0，10） D.（10，0）
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝1 cm，则BC的长度是（　　）
A.3 cm B. cm
C.2 cm D.4 cm
A　
C　
5．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘船B，并测得它的俯角为45°.求船与观测者之间的距离AB.
勾股定理的应用
解：由题意，得∠ABC＝45°，AC＝100米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°.∴AC＝BC＝100米．
由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2＝1002＋1002＝20 000，
∴AB＝100 米．
答：船与观测者之间的距离AB为100 米．
6.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角θ＝60°.求此时火箭距海平面的高度AL.
解：在 Rt△ALR中，AR＝a千米，∠ARL＝θ＝60°，
∴∠LAR＝90°－60°＝30°.LR＝ AR＝ a千米．
在 Rt△ALR 中，根据勾股定理，得AR2＝AL2＋LR2，
∴AL＝ a(千米).
7．以下面各数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．5，11，12 B．9，15，17
C.1， ，2 D．
勾股定理的逆定理
8.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝ ，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数为（　　）
A.135° 　 B.145°
C.120° 　 D.150°
C　
A　
9．如图所示的是某办公桌摆件的示意图，四边形ABCD是长方形，若直线AC⊥EO，垂足为E，AB＝8 cm，BC＝6 cm，AE＝14 cm，则CE的长为（　　）
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
C　
10．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔45海里的A处，它沿北偏东30°方向航行60海里到达B处，此时与灯塔P的距离为（　　）
A．27 海里 B．50海里
C．75海里 D．15 海里
C　
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠C＝45°，AC＝6.
（1）求AD的长．
解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ACD中，∠C＝45°，
∴∠DAC＝∠C＝45°.∴AD＝CD.
设AD＝CD＝x，由勾股定理，得x2＋x2＝62，
解得x＝3 ，∴AD＝3 .
（2）若∠B＝60°，求AB的长．
(2)在Rt△ABD中，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°.∴AB＝2BD.
设BD＝a，则AB＝2a，由勾股定理，得
a2＋(3 )2＝(2a)2，解得a＝ ，∴AB＝2 .
12．如图，在△ABC 中，AC＝24，AB＝25，BC＝7.在AB上取一点E，AC上取一点F，连接 EF，若∠EFC＝125°，过点B作BD∥EF，且点D在AB 的右侧，则∠CBD的度数为　　　　　．
35°
13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，DG平分∠ADB交AB于点G，GF⊥BD，垂足为F.
（1）求证：△AGD≌△FGD.
(1)证明：∵DG平分∠ADB，∴∠ADG＝∠FDG.
∵GF⊥BD，∴∠GAD＝∠GFD＝90°.
在△AGD和△FGD中，
∴△AGD≌△FGD(AAS).
（2）若AB＝8，AD＝6，求AG的长．
(2)解：在Rt△ABD中，AB＝8，AD＝6，
∴BD＝ ＝10.
由(1)得△AGD≌△FGD，
∴AG＝GF，DF＝AD＝6.∴BF＝4.
设AG＝GF＝x，则BG＝8－x，在Rt△BGF中，
由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴AG＝3.
14．如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA，PB，PC，若PA2＋PB2＝PC2，则称点P为△ABC关于点C的勾股点．
（1）如图2，在4×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，则P1，P2，P3，P4，P5这五个点中是△ABC关于点A的勾股点的有　　　　　（选填“P1” “P2” “P3” “P4”或“P5” ）.
P3，P5
（2）如图3，△ABC为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角三角形APD（点A，P，D顺时针排列），∠PAD＝90°，连接DC，DB，求证：点P为△BDC关于点D的勾股点．
(2)证明：∵△ABC和△APD为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AP＝AD，∠BAC＝∠PAD＝90°.
∠ABC＝∠ACB＝45°.
∴∠BAD＝∠CAP＝90°－∠CAD.∠ACP＝180°－∠ACB＝135°，
在△ABD和△ACP中，
∴△ABD≌△ACP(SAS).
∴∠ABD＝∠ACP＝135°，BD＝PC.
∴∠PBD＝∠ABD－∠ABC＝90°.
∴PB2＋BD2＝PD2，∴PB2＋PC 2＝PD2，
∴点P为△BDC关于点D的勾股点．
感谢聆听(共17张PPT)

第二十章
勾股定理
第5课时　勾股定理的逆定理及其应用(2)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.下列各组数能构成直角三角形的是　　　　　（选填序号）.
① 3，4，5　　　　　　 ② 5，6，7　　　　　　
③ 6，8，10　　　　　　 ④ 5，12，13
2．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个　　　　　，称为勾股数．
3．求直角三角形某边长度用　　　　　　　；判断某三角形是否为直角三角形用　　　　　　　　　　　．
①③④
正整数　
勾股定理
勾股定理的逆定理
1．【例】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度航行．
已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB＝
26海里，你能知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
勾股定理逆定理的实际应用
解：由题意，得OB＝5×2＝10，OA＝12×2＝24，AB＝26，
∵OB2＋OA2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676，
∴OB2＋OA2＝AB2.∴∠AOB＝90°.
∵∠BOC＝30°，∴∠AOC＝90°－30°＝60°.
∴乙船是沿南偏西60°方向航行的．
2.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C，B两岛距离100海
里，求乙船航行的方向．
解：由题意，得AC＝30×2＝60, AB＝40×2＝80，
∴AC2＋AB2＝602＋802＝10 000，BC2＝1002＝10 000.
∴AC2＋AB2＝BC2.∴∠BAC＝90°.
∵∠CAD＝35°，∴∠BAE＝180°－∠BAC－∠CAD＝55°.
∴乙船航行方向是南偏东55°方向．
3.【例】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝12，AD＝16，BD＝9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
在Rt△ACD中，CD＝12，AD＝16，
∴AC2＝CD2＋AD2＝400.
在Rt△BCD中，CD＝12，BD＝9，∴BC2＝CD2＋BD2＝225.
∵AB＝AD＋BD＝25，∴AB2＝625.
∴AC2＋BC2＝625＝AB2.∴△ABC是直角三角形．
4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
（1）求DC和AB的长．
（2）求证：∠ACB＝90°.
(2)证明：∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴AC2＋BC2＝202＋152＝625，AB2＝252＝625.
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴∠ACB＝90°.
5．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10
C．7，24，25 D．4，5，6
6．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C的对边长分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A.a2－b2＝c2 B．∠A＝90°－∠B
C．a∶b∶c＝1∶2∶3 D．6∠A＝2∠B＝3∠C
D　
C　
7．如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50°方向航行，那么慢船沿　　　　　　　方向航行．
南偏西40°
8．口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形ABCD是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向400 m处，C入口在桂花园B的正东方向300
m处，玫瑰园D与C入口相距1 200 m，玫瑰园D与A
入口相距1 300 m．求某市口袋公园的面积．
解：如图，连接AC.由题意，得∠B＝90°，
∴AC2＝AB2＋BC2＝250 000.∴AC＝500.
∵AC2＋CD2＝250 000＋1 2002＝1 690 000，
AD2＝1 3002＝1 690 000，AC2＋CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°.
∴口袋公园的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积
＝ AB·BC＋ AC·CD＝ ×400×300＋ ×500×1 200
＝360 000(m2).
9．【问题背景】
如图1，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC.若PA＝5，PB＝3，PC＝4，求∠BPC的度数．下面是小英同学的部分解题过程：
解：如图1，把△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接 PP′.
由旋转可得△P′BA≌△PBC，
所以∠BP′A＝∠BPC，∠P′BA＝∠PBC，
P′B＝PB＝3，AP′＝PC＝4.
……
（1）请你帮助小英续写解题过程．
解：(1)由旋转，得∠PBP′＝60°，
∴△PBP′是等边三角形．
∴PP′＝PB＝3，∠PP′B＝60°.
∵PA2＝AP′2＋PP′2，
∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°.
∴∠BPC＝∠BP′A＝90°＋60°＝150°.
【解决问题】
（2）如图2，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AC＝BC，连接DA，DB，DC，AD＝5，BD＝3，CD＝2 .求∠BDC的度数．
(2)如图，将△BCD绕点C顺时针旋转 90°
得到△ACE，连接DE.
由旋转可得AE＝BD＝3，CE＝CD＝2 ，
∠BDC＝∠AEC，∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝ ×(180°－∠DCE)＝45°.
感谢聆听(共21张PPT)

第二十章
勾股定理
第3课时　勾股定理及其应用(3)
——勾股定理数理思想应用
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
1．若BC＝2，则AB＝　　　　　，AC＝　　　　　．
2．若AB＝2，则BC＝　　　　　，AC＝　　　　　．
4　
1　
1．【例】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M.则点M表示的数是（　　）
在数轴上作表示无理数的点
A　
2.如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A　
3．【例】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，
AC＝8，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E.
（1）求BC的长．
勾股定理与方程思想
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝ ＝6.
（2）求AD的长．
(2)∵DE垂直平分线段AB，
∴BD＝AD.设BD＝AD＝x，则CD＝8－x，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＋CD2＝BD2，
即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝ ，
∴AD＝ .
4.如图，直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠△ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE.求BD的长．
解：由折叠得AD＝BD，设AD＝BD＝x，
则CD＝8－x，
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得AC2＋CD2＝AD2，
即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝ ，
∴BD＝ .
5．【例】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
（1）若BC＝3，则AC＝　　　　　．
（2）若AC＝3，求BC和AB的长．
勾股定理与含30°角的直角三角形
解：(2)设BC＝x，在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝2x.
由勾股定理，得x2＋32＝(2x)2，解得x＝ ，
∴BC＝ ，AB＝2 .
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．
（1）若AD＝4，则BC＝　　　　　．
（2）若BC＝4 ，求AD的长．
解：(2)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.
又BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.
在Rt△CBD中，设CD＝x，则BD＝2x，
由勾股定理，得x2＋(4 )2＝(2x)2，解得x＝4，∴BD＝8.
∵∠ABD＝∠A＝30°，∴AD＝BD＝8.
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（　　）
A.0和1之间
B．1和2之间
C．2和3之间
D．3和4之间
B
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝10.求AC的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3 .求AB的长．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝ .
（1）求AD的长．
（2）求AC的长．
11．小明将一副三角板按图中所示的方式叠放，
∠C＝30°，∠D＝45°，BC＝3.求BD的长．
12．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3米远，如图所示．此水池的水深有多少米？
解：设OC＝x，则OA＝OB＝x＋1，BC＝3，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC2＋BC2＝OB2，
即x2＋32＝(x＋1)2，解得x＝4.∴OC＝4米．
答：水池的水深有4米．
13．【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝18，点D，E分别在边AB，AC上，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合．EC＝5.求BC的长．
解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝18，
∵EC＝5，∴AE＝AC－EC＝13.
由折叠性质，得BE＝AE＝13，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BC＝ ＝12.
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E.若AB＝4，BC＝8.求AE的长．
(2)∵四边形ABCD是长方形，AB＝4，BC＝8，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝90°.
由折叠性质，得CD＝C′D＝4.∠C′＝∠C＝90°，
∴C′D＝AB＝4，∠C′＝∠A＝90°.
∴△C′DE≌△ABE(AAS).∴C′E＝AE.
设AE＝a，则C′E＝AE＝a，DE＝AD－AE＝8－a，
在Rt△C′DE中，由勾股定理，得C′E2＋C′D2＝DE2，
∴a2＋42＝(8－a)2.解得a＝3，∴AE＝3.
感谢聆听(共16张PPT)

第二十章
勾股定理
1．【人教8下P26　T2改编】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E的边长为10，则正方形A，B，C，D的面积之和为（　　）
A．24 B．56
C．121 D．100
D　
2．【人教8下P31　T13改编】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若AC＝4，BC＝2，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π
C．8π D．8
A　
3．【人教8下P37　T1改编】如图，“海天”号、“顺艺”号两艘轮船同时从港口O出发，“海天”号轮船以20海里/时的速度沿南偏东45°方向航行，“顺艺”号轮船沿南偏西45°方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则“顺艺”号轮船平均每小时航行（　　）
A．15 海里 B．16海里
C．17海里 D．18海里
A　
4．【人教8下P30　T5改编】如图，走廊上有一梯子以45°的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为60°，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了　　　 　　m．（结果保留根号）
5．【人教8下P37　T3改编】小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中AD＝8 cm，CD＝6 cm，BC＝24 cm，AB＝26 cm，按要求完成下列问题．
（1）连接AC，并求AC的长．
解：(1)如图，连接AC.
在Rt△ADC中，∠D＝90°，
AD＝8 cm，CD＝6 cm，
∴AC＝ ＝10(cm).
（2）小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形ABCD）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积．
(2)∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝262＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∴S四边形ABCD＝SRt△ADC＋SRt△ACB
＝ ×6×8＋ ×10×24
＝144(cm2).
∴应镀氧化膜的面积为144 cm2.
6.【人教8下P29　T2改编】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC，垂足为D，求：
（1）BC的长．
（2）AD的长．
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
由勾股定理，得BC＝ ＝5.
7．【人教8下P31　T10改编】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺．将芦苇向池岸
牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求
水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）.
（1）求水池的深度OD.
(1)解：设芦苇的长度为x尺，则OC＝OE＝x尺，
∴OD＝(x－1)尺．
∵AB＝10尺，O为AB的中点，∴DE＝AO＝5 尺．
在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，由勾股定理，得DE2＋OD2＝OE2.
∴52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13.
∴OD＝13－1＝12(尺).
答：水池的深度OD 为12尺．
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步地给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD＝n（n明刘徽解法的正确性．
(2)证明：∵OD＝b，CD＝n，AB＝2a，O为AB的中点，
∴OE＝OC＝b＋n，DE＝OA＝a.在 Rt△ODE中，
由勾股定理，得DE2＋OD2＝OE2，
∴a2＋b2＝(b＋n)2，解得b＝ .
8．【人教8下P38　T5改编】如图，已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.
（1）请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由．
（2）若此正方形的面积为16，求DF的长．
感谢聆听(共11张PPT)

第二十章
勾股定理
1．勾股定理是人类伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理．
利用勾股定理绘制图
解：①如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即c2＝ ab·4＋(b－a)2，化简得a2＋b2＝c2.
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即(a＋b)2＝c2＋ ab·4，化简得a2＋b2＝c2.
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即 (a＋b)(a＋b)＝ ab·2＋ c2，化简，得a2＋b2＝c2.
(答不唯一，合理即可)
（2）①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有　　　　　个．
3
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明．
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
a2＋b2＋c2＋d2＝　　　　　．
m2
2.【问题情境】
毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．
【解决问题】
（1）如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是6，10，3，6，则正方形E的面积是　　　　　，正方形G的边长是　　　　　．
16　
　5
（2）如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接BE，CM.若正方形ACDE、正方形BCGF的面积分别为36，9，求CM的长．
感谢聆听(共17张PPT)

第二十章
勾股定理
微专题2　应用勾股定理解决最短路径问题
1
课堂讲练
2
分层检测
1．【例】如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸 DC 的距离AC，BD的长分别为5 km和10 km，且C，D两点之间的距离为8 km，如果天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的路程为（　　）
A.15 km B.16 km
C.17 km D.18 km
平面图形上的最短路径
C
2.如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB＝2.求 PE＋PC 的最小值．
解：如图，过点B作BE⊥AC于E，与AD交于点P，
连接 PC，此时PE＋PC的值最小．
∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，
∴PC＝PB.∴PE＋PC＝PE＋PB＝BE.即BE的长就是PE＋PC的最小值，
∵△ABC是一个边长为2的等边三角形，BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，CE＝1.
∴BE＝ ，∴PE＋PC的最小值是 .
3．【例】如图，一圆柱高BC为20 cm，底面周长是10 cm，一只蚂蚁从点A处爬到点P处觅食，且PC＝ BC，则最短路线长为（　　）
A.20 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.18 cm
立体图形上的最短路径
B　
4.如图，三级台阶，每级的长、宽、高分别为8 dm，3 dm，2 dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　　　　　dm.
17
5.如图，正四棱柱的底面边长为8 cm，侧棱长为12 cm，一只蚂蚁欲从点A处出发，沿棱柱表面到点B处吃食物，它所爬行的最短路径是多少厘米？
解：把长方体展开为平面图形，分两种情形：
6．如图所示的是一个三级台阶，每级台阶的长、宽、高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的顶点，A点有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（　　）
A．13 cm B．40 cm
C．130 cm D．169 cm
C　
7．如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，点A，点C均在格点上，点P为x轴上任意一点，则AC＝　　　　　，△PAC周长的最小值为　　　　　　　　　　．
8．如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知B，C，D三点都在直线l上，BC＝9 m，AC＝12 m，AB＝15 m．
（1）AC的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？
解：(1)AC的长是攀梯A到泳道l的最短距离，理由如下：
在△ABC中，∵BC2＋AC2＝92＋122＝225＝AB2，
∴∠BCA＝90°，即AC⊥l.
∵垂线段最短，∴AC的长为攀梯A到泳道l的最短距离．
（2）小明游至点C处后又沿泳道l滑行2 m到达点D，若从点D游至攀梯A，求AD的长度（结果保留根号）.
9．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，每级的长、宽、高分别为5，3，1，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图1，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB＝　　　　　．（直接写出答）
13
（2）如图3，一个圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 cm，高是7 cm，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
(2)将圆柱体侧面展开，如图1：
【拓展应用】
（3）如图4，若圆柱体玻璃杯的高为10 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底2 cm的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
(3)如图2，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′.
由题意，得 DE＝ BB′＝1(cm)，AE＝10－2＝8(cm)，
∴AD＝AE＋DE＝8＋1＝9(cm).
∵底面周长为24 cm，∴B′D＝ ×24＝12(cm).
∴AB′＝ ＝ 15(cm).
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处
所爬行的最短路程是15 cm.
感谢聆听(共19张PPT)

第二十章
勾股定理
单元核心思想归纳2
1
课堂讲练
2
分层检测
1．【例】如图，点A（3，0），C（－2，0）以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B.求点B的坐标．
数形结合
解：连接AB(图略).∵A(3，0)，C(－2，0)，
∴AO＝3，OC＝2.∴AC＝5.
∴由题意，得AB＝AC＝5.
又∵∠BOA＝90°，∴BO＝ ＝4.
∴B(0，4).
2.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（4，0），点C在x轴的负半轴上，连接AB，AC.若AC＝BC，BD 是△ABC的高．求点D的坐标．
解：过点D作DE⊥OC，交OC于点E(图略).
∵A(0，8)，B(4，0)，
∴AO＝8，BO＝4.设CO＝x，则AC＝BC＝x＋4.
∴(x＋4)2＝x2＋82.解得x＝6.∴OC＝6，AC＝BC＝10.
∵BD 是△ABC的高，∴∠BDC＝90°＝∠AOC.
∵AC＝BC，∠ACO＝∠BCD，
∴△ACO≌△BCD(AAS).
∴BD＝AO＝8，CD＝CO＝6.
∵S△BCD＝ BD·CD＝ BC·DE，∴8×6＝10DE.
∴DE＝4.8.∴CE＝ ＝3.6.
∴OE＝6－3.6＝2.4.∴点D的坐标为(－2.4，4.8).
3．【例】如图，在直角三角形ABC中，AC＋BC＝5，S△ABC＝ ，则AC2＋BC2的值是　　　　．
整体思想
4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，四边形ABCD的面积是81，则BC＋CD＝　　　　　．
19　
18
5．【例】已知等腰三角形的两边长分别为6和4，求这个等腰三角形的面积．
分类讨论
解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
(1)当边长为4的边为腰时，则这个等腰三角形的三边长分别为4，4，6，满足三角形的三边关系定理，此时这个等腰三角形底边上的高为
，∴这个等腰三角形的面积为 .
(2)当边长为6的边为腰时，则这个等腰三角形的三边长分别为4，6，6，满足三角形的三边关系定理，此时这个等腰三角形底边上的高为
，∴这个等腰三角形的面积为 .
综上所述，这个等腰三角形的面积为3 或8 .
6.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，
B（3，0），A（1， ）.
（1）求线段AB的长．
（2）若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，
请求出点P的坐标．
7．已知直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为________________．
8．如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为
（－3，0）和（7，0），AB＝AC＝13.求点A的坐标和
△ABC的面积．
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由Rt△ABC，Rt△ABP组成的图形，其中∠ABC＝∠APB＝90°，已知AC＝13，BC＝12，AP＋BP＝7，则△APB的面积为　　　　　．
6
10．【阅读与思考】
阅读下列材料，完成后面的任务：
赵爽“弦图”与完全平方公式
古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积＋1个小正方形PQMN的面积．
【任务】
（1）在图中，正方形ABCD的面积可表示为　　　　　，正方形PQMN的面积可表示为　　　　　；（用含a，b的式子表示）
（2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形＋S正方形PQMN，可得（a＋b）2，ab，（a－b）2之间的关系为　　　　　　　　　 　．
　(a－b)2　
(a＋b)2　
(a＋b)2＝4ab＋(a－b)2
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a＋b＝5，ab＝4，求（a－b）2的值．
(3)∵a＋b＝5，ab＝4，
∴52＝4×4＋(a－b)2.∴(a－b)2＝9.
11．如图，在平面直角坐标系中有一长方形OABC，点B的坐标为（4，5），D为x轴上一动点，连接BD，将△BCD沿BD所在直线翻折得到△BC′D，当点C′恰好落在y轴上时，求CD的长．
解：由题意得，BC⊥x轴，AB∥x轴，
∵点B的坐标为(4，5)，
∴OC＝4，BC＝5，
∴AB＝OC＝4，OA＝BC＝5.
分两种情况：
①当点D在x轴的正半轴时，如图1所示：
由折叠的性质可得C′D＝CD，BC′＝BC＝5，
在Rt△ABC′中，由勾股定理，
得AC′＝ ＝3，∴OC′＝2.
设OD＝m，则C′D＝CD＝4－m，
在Rt△C′OD中，由勾股定理，得C′D2＝OC′2＋OD2，
∴22＋m2＝(4－m)2.∴m＝ .∴CD＝4－m＝ .
②当点D在x轴的负半轴时，如图2所示：
由折叠的性质可得C′D＝CD，BC′＝BC＝5，
在Rt△ABC′中，由勾股定理，得AC′＝ ＝3.
∴OC′＝OA＋AC′＝8.
设OD＝m，则C′D＝CD＝4＋m，
在Rt△C′OD中，由勾股定理，得C′D2＝OC′2＋OD2，
∴82＋m2＝(4＋m)2.∴m＝6.∴CD＝4＋m＝10.
综上所述，CD的长为 或10.
感谢聆听(共18张PPT)

第二十章
勾股定理
第4课时　勾股定理的逆定理及其应用(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1．如图1，在△ABC中，a2＋b2＝c2，求证：∠C＝90°.
证明：如图2，作Rt△DEF，使∠F＝90°，EF＝BC＝a，
DF＝AC＝b，则DE＝ .
又∵AB＝c＝　　　　　， ∴AB＝DE.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF.∴∠C＝∠F＝90°.
2．如果三角形的三边长a，b，c满足　　　　　　，那么这个三角形是直角三角形．
a2＋b2＝c2
1．【例】下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（　　）　　　　　　　　　　　　
A．2，3，4 B．5，6，10
C.4，4，8 D．3，4，5
2.下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　）　　　　　　　　　　　　
A．1，2， B．6，8，10
C.2，3，4 D．5，12，13
勾股定理的逆定理
D　
C　
3.【例】如图，在边长为1的正方形网格上有△ABC，它的各个顶点都在格点上．求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，
BC2＝32＋42＝25，
∴AB2＋AC2＝25，BC2＝25.
∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为直角三角形．
4.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1. 求证：∠BAC＝90°.
证明：∵AB2＝12＋32＝10，AC2＝12＋32＝10，
BC2＝22＋42＝20，
∴AB2＋AC2＝20，BC2＝20.
∴AB2＋AC2＝BC2.
∴∠BAC＝90°.
5.【例】在四边形ABCD中，AC⊥CD，AD＝13 cm，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm.
求四边形ABCD的面积．
6.如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°.求阴影部分的面积．
解：连接AC.在△ABC中，∠B＝90°，
AB＝3，BC＝4，∴AC＝ ＝5.
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴AC2＋CD2＝169，AD2＝169.∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形．
∴S阴影＝S△ACD－S△ABC＝ ×5×12－ ×3×4＝30－6＝24.
7．由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝1，b＝2，c＝
8．如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，BC＝5 cm，则△ABC的面积是　　　cm2.
D　
6　
9．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（　　）
A.BC＝5
B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10
D．点A到直线BC的距离是2
C　
10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，AD＝16，CB＝15.
（1）求DC，AB的长．
（2）求证：△ABC是直角三角形．
(2)证明：由(1)得AB＝25，又AC＝20，BC＝15，
∴AC2＋BC2＝202＋152＝400＋225＝625，
AB2＝252＝625.
∴AC2＋BC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形．
11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，点E在AD的延长线上，AD＝ED＝6.
（1）求证：△ABD≌△ECD.
(1)证明：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS).
（2）求△ABD的面积．
(2)解：∵△ABD≌△ECD，∴AB＝CE＝5.
∵AE＝AD＋ED＝12，AC＝13，CE＝5，
∴AE2＋CE2＝122＋52＝169，AC2＝169.
∴AE2＋CE2＝AC2.∴∠AEC＝90°.
∴S△ABD＝S△ECD＝ CE·DE＝ ×5×6＝15.
12．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上
一点，且CE＝ BC.求证：∠AFE＝90°.
证明：设CE＝a，则BC＝4a，DF＝FC＝2a，BE＝3a，
在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝4a.
∴AF2＝AD2＋DF2＝20a2，EF2＝FC2＋EC2＝5a2，
AE2＝AB2＋BE2＝25a2.
∴AE2＝AF2＋EF2.∴∠AFE＝90°.
13．【问题情境】如图，在△ABC中，AD为BC边上的高．
【特例研究】
（1）若CD＝1，AD＝2，BD＝4.求证：AB⊥AC.
(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵CD＝1，AD＝2.∴在Rt△ACD中，由勾股定理，
得AC2＝AD2＋CD2＝5.同理AB2＝AD2＋BD2＝20.
∵BC2＝(CD＋BD)2＝25，∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形．∴AB⊥AC.
【猜想证明】
（2）根据（1）中的结论，小明猜想：当满足AD2＝BD·CD，利用勾股定理及其逆定理，可证明△ABC是直角三角形，请你验证小明的猜想是否正确．
(2)解：猜想正确，理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴在Rt△ACD中，
由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2. 同理AB2＝AD2＋BD2.
∵BC2＝(CD＋BD)2＝CD2＋2CD·BD＋BD2，AD2＝BD·CD，
∴BC2＝CD2＋2AD2＋BD2＝AB2＋AC2.
∴△ABC为直角三角形．
感谢聆听

展开更多......

收起↑