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第十九章
二次根式
第3课时　二次根式的乘法与除法(1)
——二次根式的乘法
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
a≥0，b≥0　
6　
a≥0，b≥0
1．【例】计算：　
二次根式的乘法法则
2.计算：
运用积的算术平方根化简二次根式
12　
5.【例】化简：　　　　　　　　　　　　
6.化简：　　　　　　　　　　　　
7．【例】计算：
二次根式乘法的综合运算
8.计算：
9．下列运算正确的是（　　）
D　
10．使等式 成立的x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A 　 B C 　 D
11．若直角三角形的两条直角边的长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为　　　　　cm2.
A　
12．化简：
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
C
14．计算：
（2）根据上述式子猜想m＋n与2 （m≥0，n≥0）的大小关系，并说明理由．
　＝
＞　
＞　
16．先来看一个有趣的现象： .这个根
号里的数“2”经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：
等．
（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？写出这个式子并证明．
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第十九章
二次根式
第1课时　二次根式及其性质(1)
——二次根式的概念
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1.形如　　　　　的式子叫作二次根式，如 .
2．（1）被开方数为　　 　　时，二次根式有意义，字母表示为若二次根式为 ，则　　　　　．
（2）若二次根式中含有分母，则要注意分母的值不能为　　　　　．
非负数
a≥0　
0
1．【例】下列各式中，是二次根式的是（　　）
二次根式的概念
A　
B　
A　
4．【例】要使下列式子有意义，求x的取值范围.
二次根式有意义的条件
解：(1)由题意得，x＋2≥0，解得x≥－2.
(2)由题意得，6－2x≥0，解得x≤3.
5.要使下列式子有意义，求x的取值范围．
解：(1)由题意得，x－3≥0，解得x≥3.
(2)由题意得，2x－4≥0，解得x≥2.
6.【例】要使下列式子有意义，求x的取值范围.
解：(1)由题意得，x＋2≥0，x－3≠0，解得x≥－2且x≠3.
(2)由题意得，x＋2＞0，解得x＞－2.
7.要使下列式子有意义，求x的取值范围．
解：(1)由题意得，x＋1≥0，x－2≠0，解得x≥－1且x≠2.
(2)由题意得，x－4＞0，解得x＞4.
8．下列各式一定是二次根式的是（　　）
C　
B　
x≥－3　
x≤2
12．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由．
(5) 中x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，是二次根式．
13．要使 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞－3 C．x≤3 D．x＞3
14．代数式 有意义的条件是（　　）
A. a＞－2且a≠－1 B．a≥－2
C．a≤－2且a≠－1 D．a≥－2且a≠－1
D　
D　
15．若式子 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥1且x≠－2 B．x≥1
C．x＞1 D．x≥1且x≠0
16．无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（　　）
B　
D　
17．已知x，y都是实数，且y＝ －3，求（x＋y）2 026的平方根.
解：由题意得4－2x≥0，且2x－4≥0，
解得x＝2，∴y＝－3.
∴(x＋y)2 026＝(2－3)2 026＝1.
∴(x＋y)2 026的平方根是：±1.
18．【应用意识】
（1）【问题情境】若实数x，y满足y＝ －6，求x＋y的值．
下面是小明的部分解题过程：
解：若想使该式子有意义，则需要同时满足x－2≥0，且2－x≥0，则…
请你将上述过程补充完整．
解：(1)由题意得，x－2≥0，且2－x≥0，
∴x＝2.∴y＝0＋0－6＝－6.∴x＋y＝2－6＝－4.
（2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝5＋ ，求此三角形的周长．
(2) ∵b＝5＋ ，
∴6－2a≥0，且a－3≥0.∴a＝3.∴b＝5.
∵a，b分别为等腰三角形的两条边长，
①a＝3是底，则腰为b＝5.
∵5＋3＝8>3，5－3＝2＜5，∴3，5，5能组成三角形．
∴此三角形的周长为3＋5＋5＝13.
②b＝5是底，则腰为a＝3.
∵3＋3＝6>5，5－3＝2＜3，∴3，3，5能组成三角形．
∴此三角形的周长为3＋3＋5＝11.
综上所述，三角形的周长为11或13.
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第十九章
二次根式
第7课时　二次根式的加法与减法(2)
——二次根式混合运算
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
2．二次根式的混合运算先乘方（或开方）、再　　　　　、最后　　　　　，有括号的先算括号里面的，能利用运算律或乘法公式进行运算的可适当改变运算顺序进行简便运算．
a2－b2
a2±2ab＋b2
1　
乘除　
　加减
1．【例】计算：
二次根式的混合运算
2.计算：
3.【例】计算：
4.计算：
5．下列计算正确的是（　　）
D　
B　
A　
C　
5　
B　
12．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为 m，宽AB为 m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（ ＋1）m，宽为（ －1）m.
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简
二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元/m2的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
根据等式所反映的规律，解答下列问题．
（1）猜想：第n个等式为_______________________________________
（用含n的代数式表示）.
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第十九章
二次根式
第2课时　二次根式及其性质(2)
——二次根式的性质
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
4　　
9　
　16　
4　
0　
a　
a　
二次根式的性质
3　
　5　
0.2
7　
　12
2　
　6　
1.5　
50　
　18　
5　
　5　
0.3　
0.3　
3　
3　
0.7　
0.7　
π－2
二次根式的非负性
解：由题意，可得a－2＝0，b＋5＝0，解得a＝2，b＝－5.
∴a－b＝2－(－5)＝7.
解：由题意，可得m＋3＝0，n－2＝0，解得m＝－3，n＝2.
∴(m＋n)2 026＝(－3＋2)2 026＝1.
A．－7 B．7 C．±7 D．49
B　
0.2　
48　
　20　
6　
(2)原式＝3.5.
12．设a＝（－ ）2，b＝ ，则a，b的大小关系是（　　）
A．a＝b B．a＞b
C．a13．化简 ＝（　　）
A． B．－a C．a D．a2
14．已知 ＝4，（ ）2＝2，且mn<0，则m－n的值为（　　）
A．2 B．6 C．－2 D．－6
A　
B　
D　
15．若（x＋2y－1）2＋ ＝0，求xy的值．
16．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：
解：由数轴可知：a＜0，c－a＞0，b－c＜0，
∴原式＝
＝－a－(c－a)－(b－c)
＝－a－c＋a－b＋c＝－b.
17．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： .
解：隐含条件1－3x≥0，解得x≤ ，所以1－x＞0，
所以原式＝（1－3x）－（1－x）＝1－3x－1＋x＝－2x.
解：(1)隐含条件2－x≥0，解得x≤2，所以x－3<0，
∴原式＝ －(2－x)＝－(x－3)－(2－x)＝－x＋3－2＋x＝1.
（2）已知a，b满足 ＝a＋3， ＝a－b＋1，求ab的值．
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第十九章
二次根式
1．【人教八下P3　T2改编】若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．0≤x<1 B．0≤x≤1 C．x≥0且x≠1 D．x>1
2．【人教八下P5　T4改编】利用a＝（ ）（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
C　
22　
3．【人教八下P5　T1改编】当x取何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？
解：(1)x≤0.　
　(2)x<8.
5．【人教八下P16　T5改编】已知a＝2＋ ，b＝2－ .则a2 b＋ab2＝　　　　　．
4
4．【人教八下P7　T3改编】已知长方形的长a＝ ，宽 b＝ ，求这个长方形的面积．
6．【人教八下P11　T3改编】把下列二次根式化为最简二次根式．
7．【人教八下P7　T1改编】计算．
(4)原式＝a2.
8．【人教八下P14　T2改编】计算．
9．【人教八下P12　T11改编】据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝ （不考虑风速的影响）.
（1）求从45 m高空抛物到落地的时间．
（2）已知高空坠物动能W（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1 kg的玩具被抛出后经过4 s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65 J的动能）
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．理由如下：
当t＝4 s时，4＝ ，∴h＝80 m.
∴这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80(J)>65 J.
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
10．【人教八下P12　T12改编】如图，在长方形ABCD不重叠地放入面积分别为12 cm2和16 cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．
（3）若a＝ ，按照小明的做法，求a2－4a＋4的值．
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第十九章
二次根式
第8课时　二次根式章末复习
1
基础巩固
2
分层检测
二次根式的概念
C　
A　
3．若二次根式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≤－3 C.x≤3 D．x≥－3
二次根式有意义的条件
4.式子 有意义的条件是（　　）
A．x＜2 B．x≤2 C.x＞2 D．x≥2
C　
B　
二次根式的性质
5　
　18　
π－3　
2－a　
7．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
最简二次根式
8.下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
C　
D　
二次根式的运算
3
14. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠－2
B　
B　
B　
C　
18．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈ ，其中R是地球半径，约为6 400 km.
（1）小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度h为0.08 km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值．
（2）已知一座山的海拔为0.32 km，这座山到海边的最短距离为60 km，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计）
19．（1）已知x，y是有理数，若y＝ －4，求xy的平方根.
（2）已知a，b是等腰△ABC的两边长，且满足2a2－4a＋4＝2－5 ，求△ABC的周长．
(2) 2a2－4a＋4＝2－5 ，2(a2－2a＋1)＋2＝2－5 ，
2(a－1)2＋5 ＝0，
∴a－1＝0，b－3＝0.∴a＝1，b＝3.
当a＝1为腰时，三边为1，1，3，1＋1<3，不符合三角形三边关系，舍去；
当b＝3为腰时，三边为3，3，1，1＋3>3，符合三角形三边关系，
∴△ABC的周长＝3＋3＋1＝7.
20．【实践材料】如图1，有一批矩形木板ABCD.
【方与问题】
（1）方一： 采用如图2的方式，将木板的长AD增加2 cm，宽AB增加7 cm，得到一个面积为192 cm2的正方形 .求矩形木板ABCD的面积．
（2）方二：从矩形木板ABCD中裁出一个面积为12 cm2，宽为 cm的矩形木料，则该矩形木料的长为多少cm
（3）方三：木工想从矩形木板ABCD中截出长为2.0 cm、宽为1.5 cm的矩形木条，最多能截出这样的木条多少根？
∴从矩形木板ABCD中截出长为2.0 cm，宽为1.5 cm的矩形木条，最多能截出5根这样的木条．
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第十九章
二次根式
1．纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如A4，B5等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性．
A4纸是生活中最常用的纸张规格．A号纸家族还包括了A0，A1，A2，A3，A4，A5等规格的纸张，并且A后面的数字代表纸张可以对折的次数，1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推．你是否研究过它们的长和宽的尺寸有什么规律呢？
纸张规格的奥秘
【数据查询】下列是常用纸张的规格，根据数据计算长与宽的比值．
（用根号表示）
纸张规格 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5
长（mm） 841 594 420 297 210 1 000 707 500 353 250
宽（mm） 594 420 297 210 148 707 500 353 250 176
长与宽的比值
【问题探究】观察上表，你有什么发现，各规格纸张的长与宽的比值有什么关系？
各规格纸张的长与宽的比值为 .
【深入探究】A1纸张面积是A2纸张面积的　　　　　倍（精确到整数），A2纸张周长是A4纸张周长　　　　　倍．
【动手操作】请你分别找三张不同大小的纸张，动手测量一下它们的长与宽，看看他们是否也有类似的关系．
2　
2　
答不唯一，若测量的是标准A系列或B系列纸张，其长与宽的比值约等于 .
2.【课本再现】王芳同学发现，纸张的折叠或裁剪中有着有趣的数学知识．
（1）王芳同学用一张边长为1的正方形纸片通过折叠找到了过直线外一点作已知直线的平行线的新方法，具体步骤如图1：
王芳通过第1次折叠实现了∠　　　　　＝∠　　　　　＝90°，通过第2次折叠又实现了∠　　　　　＝∠　　　　　＝90°，从而利用平行线的判定得到MN∥EF.
POE　
POF
RPM
MPO
（2）王芳同学继续进行探究，她把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形如图2拼在一起，就得到了一个边长为　　　　　的大正方形．
（3）王芳同学用一张A4纸继续探究，按如图3的方法折叠，请直接写出A4纸的长与宽的比值：　　　　　．
【知识拓展】
（4）当我们在比的计算中遇到比的后项是开方开不尽的数，如
时，我们通常利用分数的基本性质和平方根的意义进行化简，把比的
王芳同学根据前面的启发，再次进行了A4纸的折叠，如图4，她将A4纸沿长边的中点对折，得到两个相同的长方形，你能根据前
面的提示算出其中一个长方形的长与宽的比值吗？你有什么
发现？
后项转化为整数，例如：2∶ .
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第十九章
二次根式
第6课时　二次根式的加法与减法(1)
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
2．一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成　　　 　　，再将　　　 　　相同的二次根式进行合并．
最简二次根式
被开方数
同类二次根式
C　
C　
4　
二次根式的加减
0
6.计算：
7.计算：
8．在下列各组二次根式中，化成最简二次根式后能够合并的一组是（　　）
9．下列计算正确的是（　　）
B　
A　
1　
B
13．计算：
14．先化简，再求值：
（1）求它的周长．
（2）请你给一个适当的m的值，使它的周长为整数，并求出此三角形的周长．
(2)当m＝5时，周长＝20.
16．【推理能力】在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝ ，BC＝ ，如图所示，设点A，B，C所对应的数的和是p.
（1）若以B为原点，写出点A，点C所对应的数．
（2）若原点为O且CO＝ ，求p的值．
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第十九章
二次根式
微专题1　二次根式求值的常用方法
1
课堂讲练
2
分层检测
利用二次根式的非负性求值
利用乘法公式进行计算
利用二次根式的性质 化简求值
C
7．【例】已知a＝2＋ ，b＝2－ ，求代数式a2b＋ab2的值．
利用整体思想巧求值
8.已知x＋y＝2 ，x－y＝4.求下列各式的值：
（1）x2＋2xy＋y2.
（2）x2－y2.
A　
A　
2 025
（1）求a2＋b2－3ab的值．
（2）若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求 的值．
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
(答不唯一)
（3）若a＝ ，求2a2－12a－1的值．
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第十九章
二次根式
第4课时　二次根式的乘法与除法(2)
——二次根式的除法
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
4　
二次根式的除法法则
4　
3　
运用商的算术平方根化简二次根式
二次根式除法的综合运算
D　
A　
C　
D　
（1）你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程．
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第十九章
二次根式
第5课时　二次根式的乘法与除法(3)
——最简二次根式
2
课堂讲练
1
课前预习
3
分层检测
1. ＝　　　　　（　　　　　　　），利用它可以进行二次根式的化简．
2．我们把满足被开方数不含　　　　　，且被开方数中不含
　　　　　　　　　　　　　　　的二次根式叫做最简二次根式．
a≥0，b>0
分母
能开得尽平方的因数或因式
最简二次根式
二次根式的乘除混合运算
8．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
9．下列运算正确的是（　　）
B　
C　
3　　
　5　
根据上述规律，解答下列问题．
（1）写出第4个等式：_________________________.
（2）猜想第n个等式并证明．
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