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第二十三章
一次函数
第4课时 一次函数的图象和性质（3）
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.若一次函数的图象经过点，则____.
2.直线经过点，则该直线对应函数的解析式为
___________.
3.某种书籍每本定价20元，如果一次购买30本以上，超过30本的部分打八折，则付款金额与购书数量之间的函数解析式为
___________________.
&1& 用待定系数法确定函数解析式
1. 【例】一次函数的图象经过和两点，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为，
由条件，得解得
这个一次函数的解析式为.
2. 【例】已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求这个一次函数的解析式.
解：设一次函数的解析式为，
由条件,得解得
这个一次函数的解析式为.
3. 【例】如图，一次函数的图象经过点和点，与轴交于点.
（1）求这个一次函数的解析式.
解：由条件,得解得
这个一次函数的解析式为.
（2）求的面积.
解：在中，当时，，.
.
4. 如图，一次函数的图象过和两点，与轴交于点.
（1）求此一次函数的解析式.
解：由条件,得解得
此一次函数的解析式为.
（2）求的面积.
解：当时，，解得，则，
.
&2& 一次函数的的图象和性质应用
5. 【例】弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如图所示.
（1）与的函数解析式为______________.
（2）弹簧不挂物体时的长度是____.
10
6. 某航空公司规定，乘客所携带行李的重量与运费
（元）满足如图所示的函数关系.
（1）与的函数解析式为______________.
（2）每位乘客最多可免费携带行李____.
20
7. 勤俭节约是中华民族的传统美德，某天然气公司为了鼓励居民节约用气，生活用气实行按阶梯式气价计费，如图是某户居民每月的用气费（元）与所用的气量（立方米）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
（1）当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费多少元？
解：（元/立方米），答:当用气量不超过10立方米时，每立方米气收费2元.
（2）当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，求与之间的函数解析式.
解：设当用气量超过10立方米且不超过40立方米时，与之间的函数解析式为,
把,代入中，
得解得
与之间的函数解析式为.
（3）某户居民九、十月份用气费共82元，十月份用气比九月份少6立方米，求这户居民十月份用气多少立方米？
解：设这户居民十月份用气立方米，则这户居民九月份用气立方米，，,
九月份的用气量必然超过10立方米且不超过40立方米,当十月份的用气量不超过10立方米时，则.
解得（舍去）;
当十月份的用气量超过10立方米且不超过40立方米时，则,解得,综上所述，.
答:这户居民十月份用气14立方米.
第8题图
8. 一次函数的图象如图所示，则这个一次函数的解析式是( )
A
A. B.
C. D.
9. 如果生产某种产品的成本（万元）与产量（吨）之间的关系如图所示.
第9题图
（1）与的函数解析式为__________.
（2）生产5吨这种产品所需的成本是____万元.
10
10. 某生物小组观察一植物生长，得到植物高度（厘米）与观察时间（天）的关系，并画出如图所示的图象
（轴）.
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
解：轴， 从第50天开始植物的高度不变.
答：该植物从观察时起，50天以后停止长高.
（2）求该植物最高长到多少厘米.
解：设直线的解析式为，
图象经过点，，
解得
直线的解析式为.
，当时，.
答：该植物最高长到.
11. 如图，在平面直角坐标系中，，.
（1）求直线的函数解析式.
解：设直线的函数解析式为
，则
解得
直线的函数解析式为.
（2）点在线段上，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点，若，求点的坐标.
解：轴，，
四边形是平行四边形.
，则点的纵坐标为.
将代入，得，解得，
点的坐标为.
12. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测
速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/小时.汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示.
（1）的值为_ _.
（2）当时，求与之间的函数解析式.
解：设当时，与之间的函数解析式为
，把代入，
得解得
.
（3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/小时）
解：当时，，
减速前的速度为（千米/小时）.
， 这辆汽车减速前没有超速.
13. 如图，一次函数的图象经过点，过点的直线交轴于点.
（1）求的值和直线的函数解析式.
解： 一次函数经过点，
，解得 点的坐标为.
设直线的函数解析式为，
则解得
直线的函数解析式为.
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值.
解： 点在线段上，
，且.
点在直线上，
.
则.
，随的增大而增大.
又，
当时，有最大值，且最大值为.
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第二十三章
一次函数
金牌导学案
单元核心思想归纳5
1
课堂讲练
&1& 数形结合
1. 如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点.
（1）求直线的解析式.
解：设直线的解析式是，
根据题意，得，解得
直线的解析式是.
（2）求的面积.
解：在中，令，
得.则点的坐标是.
联立方程组，得解得则点的坐标是.
.
（3）在直线上是否存在异于点的另一点，使得与的面积相等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在，点的坐标是.
&2& 分类讨论
2. 如图，直线交轴于点，将直线向下平移4个单位长度，得到的直线分别交轴、轴于点，.
（1）求的值及，两点的坐标.
解： 直线交轴于点，
，解得..
易得平移后的直线为.
令，则，解得，令，则，
，.
（2）点为线段上一点，连接并延长，交直线于点，若是等腰三角形，求点的坐标.
解：分情况讨论：若，则.
，.
又，.
又，.
若，则，，
.
又，.
，，，.
.
若，则，
，，
.
，即
..
综上，点的坐标为或或.
3. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、
（1）A，B两地之间的距离是____千米，___.
60
1
货车离A地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（2）求线段所在直线的函数解析式.
解：设线段所在直线的函数解析式为，
将点，分别代入，得
解得
线段所在直线的函数解析式为.
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
解：货车出发小时或小时或小时，两车相距15千米.
&3& 转化思想
4. 已知一次函数的图象经过点和点.
（1）求一次函数的解析式.
解：把，代入，得解得
一次函数的解析式为.
（2）请在轴上找到一点，使得的值最小，并求出点的坐标.
解：如图，作点A关于轴对称的点，连接交轴于点，则点即为所求.由对称知的坐标为，设直线的解析式为，将，
代入，得解得.令，得，解得，
.
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第二十三章
一次函数
微专题7 一次函数与几何图形
1
课堂讲练
&1& 一次函数与图形的平移相结合
1. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，已知直线.
（1）将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线恰好经过点，求的值.
解：设平移后的直线解析式为.
直线过点 ，.
解得， 平移后的直线解析式为..
（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边
交于点，求的面积.
解：在正方形中，轴，，
点的坐标为，
点，的横坐标均为，点的纵坐标为3.
把代入，得， 点的坐标为
的面积为.
&2& 一次函数与图形的轴对称相结合
2. 学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式.例如：已知直线的解析式为，分别与轴，轴交于点，点求直线关于轴的对称直线的解析式.解题思路为：
第一步：求出，两点的坐标；
第二步：求出点关于轴的对称点的坐标；
第三步：由，两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线的解析式.
阅读以上材料，完成下列任务.
（1）直接写出点的坐标.
解：直线的解析式为，
当时，，
.
（2）若直线与直线关于轴对称.
①求出直线的解析式；
由得，当时，，当时，，
直线与轴、轴交点坐标分别为，.
与轴对称的点坐标为，.
设直线关于轴对称的直线的解析式为，
解得
直线关于轴对称的直线的解析式为.
②在①的条件下，若点为直线上的一个动点，当点的
横、纵坐标之和为3时，求点的坐标；
设， 点的横、纵坐标之和为3，
，解得..
③在②的条件下，将直线向下平移个单位长度后得到直线，若直线与轴的交点为，且满足时，求的值.
设直线的解析式为.当时，，
.
，，解得或.
【阅读理解】
小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数
的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数解析式？
老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，，分别向右平移3个单位长度，得到，，直线就是函数
的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象.
&3& 一次函数图象与旋转问题
3. 把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象.
（1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数解析式为____________.
请你帮助小尧解决他的困难.
【解决问题】
（2）已知某一次函数的图象与直线关于轴
对称，求此一次函数的解析式.
解：在函数的图象上取两个点，，
关于轴对称的点的坐标为，，
设直线的解析式为，把代入，得，
一次函数的解析式为.
【拓展探究】
（3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转 后得到的图象对应的函数解析式为___________.（直接写结果）
[解析] 在直线上取两点，，
一次函数的图象绕点逆时针方向旋转 ，
点，绕点逆时针方向旋转 后对应点为点，.过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，
，，.由旋转可得 ，，
.
，，.
，.
轴， 四边形是矩形.，.
.同理可求得点，设直线的解析式为，
把，代入，得解得
旋转后得到函数解析式为.
&4& 一次函数与四边形相结合
4. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点.将线段先向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，连接，.
（1）求点，的坐标.
解：直线与轴交于点，与轴交于点，， 将线段先向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，，.
（2）求四边形的面积.
图1
解： 线段平移得到线段，， 四边形是平行四边形..如图1，连接并延长交轴于点，， 设直线的解析式为.将代
入，得，解得， 直线的解析式为.当时，，解得，.
.
（3）若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值.
解：如图2，连接，相交于点，设所在直线
解析式为，将，代人
，得
解得.联立解得
图2
点的坐标为，易知当直线过点时可将四边形分成面积相等的两部分，
将代入直线，
得，解得.
图2
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第二十三章
一次函数
第1课时 一次函数的概念
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.一般地，形如，是常数，的函数，叫作______函数.
2.特别地，当时，即，形如是常数，的函数，叫作________函数，其中___叫作比例系数.
一次
正比例
&1& 一次函数
1. 【例】下列函数中，是的一次函数的是( )
C
A. B. C. D.
2. 下列函数：；；；.其中一次函数的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
&2& 正比例函数
3. 【例】下列函数中，是正比例函数的是( )
C
A. B. C. D.
4. 下列函数中，是正比例函数的是 ( )
B
A. B. C. D.
5. 【例】函数是正比例函数，则的值是( )
A
A.2 B. C.2或 D.
6. 在中，若是的正比例函数，则的值为( )
A
A. B.1 C. D.无法确定
7. 写出下列各题中与之间的函数解析式，并判断：是否为的一次函数？是否为的正比例函数？
（1）正方形的面积与它的边长之间的关系.
解：根据题意可得，，不是的一次函数，也不是的正比例函数.
（2）某地居民用电收费标准是0.53元/，应缴电费（元）与用电量之间的关系.
解：根据题意可得，，是的一次函数，也是的正比例函数.
（3）汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离与匀速行驶的时间之间的关系.
解：根据题意可得，，是的一次函数，但不是的正比例函数.
8. 下列函数：；；；；.其中一定是一次函数的有( )
B
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9. 下列函数中，是正比例函数的是( )
B
A. B. C. D.
10. 若是正比例函数，则的值是 ( )
C
A.0 B. C.2 D.
11. 在我国东汉时期的经学家和教育家郑玄在为《考工记·弓人》一文中“量其力，有三钧”一句做注解时，提到“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺.”揭示了在弹性限度内弓的弹力和弓的形变量成正比例关系.假设一轻弹簧原长为，竖直悬挂重为的重物时，弹簧伸长了，则该弹簧的劲度系数为( )
C
A. B. C. D.
12. 已知与成正比例函数关系，且当时，，则与的函数解析式是__________.
13. 写出下列各题中与之间的函数解析式，并判断：是否为的一次函数？是否为的正比例函数？
（1）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系.
解：由路程速度×时间，得，是的一次函数，也是的正比例函数.
（2）圆的面积与它的半径之间的关系.
解：由圆的面积公式，得，不是的正比例函数，也不是的一次函数.
（3）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，后这个水池内有水.
解：这个水池每小时增加水，增加水，因此，是的一次函数，但不是的正比例函数.
14. 已知与成正比例函数关系，且当时，.
（1）求与之间的函数解析式.
解：设，
将，代入，得，解得.
与之间的函数解析式为.
（2）当时，求的值.
解：由（1） 知，，
则当时，.
15. 一种大樱桃销售数量与总价的关系如下：
数量/ 0 1 2 3 4 5 6 7 …
总价/元 0 25 50 75 100 125 150 175 …
（1）数量与总价这两种量成____比例关系，用式子表示它们的关系为
_________________.
正
总价 数量
解：由表格可知，数量每增加，总价增加25元，所以每千克大樱桃的单价为25元，数量与总价这两种量成正比例关系，用式子表示它们的关系为总价 数量，故答为：正，总价 数量.
（2）在下图中描出上表中表示数量和总价相对应的点，然后按照由左到右的顺序将它们连起来.
如图.
数量/ 0 1 2 3 4 5 6 7 …
总价/元 0 25 50 75 100 125 150 175 …
（3）一棵樱桃树的产量为，可收入多少元？如果今年樱桃总收入5万元，那么今年樱桃的总产量是多少千克？
当数量为时，总价 数量（元），当总价为5万元时，即 数量，
数量为.
答：一棵樱桃树的产量为，可收入750元，如果今年樱桃总收入5万元，那么今年樱桃的总产量是.
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第二十三章
一次函数
第7课时 实际问题与一次函数（1）
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
对于函数
1.因为，所以随的增大而______.
2.若，则当____时，有最大值____.
减小
10
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&1& 从实际问题中抽象出一次函数关系
1. 元旦期间，明明一家人开车到距家350千米的外婆家，当行驶40千米时，发现汽车油箱内有油27升；当行驶90千米时，发现油箱内有油22升.已知油箱中剩余油量（升）是行驶路程（千米）的一次函数.
（1）求在整个行驶过程中，油箱中剩余油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数解析式.
解：设，
当时，;当时，，
解得
函数解析式为.
（2）当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警，如果开车途中不加油，试说明他们能否在汽车报警前到达外婆家.
解：令，则，.
.
， 他们不能在汽车报警前到达外婆家.
2. 如图是4列整齐叠放成一摞的羽毛球的示意图，羽毛球的规格都是相同的.小智尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的羽毛球的总高度随着羽毛球的数量（个）的变化规律.如表是小智经过测量得到的与之间的对应数据：
个 1 2 3 4 5 6 …
9 11.5 14 16.5 19 21.5 …
（1）依据小智测量的数据，猜测并求出与之间的函数解析式.
解：根据表格，得增加1，增加，
则，
与之间的函数解析式为.
（2）球桶的长度为，两端球桶塞的总厚度约为，若整齐叠放这种规格的羽毛球，求这个球桶最多能装多少个羽毛球.
解：根据题意，得，即,
解得, 这个球桶最多能装9个羽毛球.
&2& 运用一次函数解决简单的实际问题
3. 甲、乙两个工程组同时挖掘松长高速某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务.甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示.
（1）求乙组停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
解：设乙组停工后关于的函数解析式为.
将和两点代入，得解得
.
（2）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.
解：由（1），得甲组每天挖3米，则乙组每天挖（米），
则乙组挖掘的总长度为（米）
设乙组已停工的天数为，则，解得，
答：乙组已停工的天数为10.
4. 小凡同学周末在家依据漏刻的原理自己动手制作了一个简单的漏刻计时工具模型，通过实验发现水位高度是关于时间的一次函数，当经过的时间为时，水位的高度是.当经过的时间为时，水位的高度是.
（1）求与之间的函数解析式.
解：设与之间的函数解析式为,
将和代入,得
解得
与之间的函数解析式为.
（2）若小凡同学从水位为时开始阅读，到水位为时结束阅读，求小凡阅读的时长.
解：当时，，解得;
当时，，解得，
， 小凡阅读的时长为.
5. 随着科技发展，无人机在测绘、物流等领域应用广泛，电池续航成为影响其使用的关键因素.小李操控无人机进行测绘任务时，发现电池电量在前半段消耗时，无人机飞行的距离比后半段消耗
（1）无人机电池充满电时的电量为_______毫安时.
5 000
电量时飞行的距离更远.他记录了无人机电池剩余电量（毫安时）和已飞行距离的相关数据，函数图象如下.
（2）求段所对应的函数解析式.
解：设段所对应的函数解析式为,为常数，且，
将和分别代入，
得
解得
段所对应的函数解析式为.
（3）求这架无人机用前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？
解：当时，得，解得.
则后半部分电量行驶的距离为，
.
答：这架无人机用前半部分电量比用后半部分电量能多行驶.
6. 某快递公司同城快递的收费标准见下表（质量不足按计）：
质量/ 1 2 3 4 5
费用/元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5
请你根据表中信息，解答下列问题：
（1）上表反映的两个变量中，自变量是______，因变量是______.
（2）若小明快递的物品质量是，则他需要支付的费用是_____元.
质量
费用
12.5
（3）随着质量的增加，快递的费用是怎样变化的？
解：通过观察可得,物品的质量每增加，费用增加2元.
（4）若小华寄快递时支付了14.5元，她快递物品的质量一定是吗？请举例说明.
解：不一定，举例如下:
因为不足时按计，当物品的质量为时，费用按计，所以当物品的质量为时，所需费用也是14.5元.
（5）设快递物品的质量为，所需费用为（元），当为整数时，请你直接写出与之间的函数解析式.
解：设，则解得
与之间的函数解析式为.
7. 项目化学习
【项目背景】小明家最近购入一辆电动汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及电动汽车充满电的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了以下两组实验.
［实验一］探究电池充电时电动汽车仪表盘显示的电量与充电时间之间的关系，数据记录如下表：
充电时间 0 30 60 90 …
显示的电量 0 25 50 75 …
［实验二］探究电动汽车充满电后行驶过程中仪表盘显示的电量与行驶里程之间的关系，数据记录如图：
【建立模型】观察可知表中数据是正比例函数模型，图中数据是一次函数模型.
【解决问题】
（1）直接写出关于的函数解析式.
解：设关于的函数解析式为,
把，代入，得，
解得.
关于的函数解析式为.
（2）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）.
解：设关于的函数解析式为,
将,代入,
得解得
关于的函数解析式为.
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第二十三章
一次函数
微专题6 一次函数图象与正比例函数和中点问题
1
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课堂讲练
分层检测
&1& 一次函数与正比例函数小综合
1. 【例】如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点.
（1）求一次函数的解析式.
解： 点在上，
，即点的坐标为.
则解得
一次函数的解析式为.
（2）求的长.
解：如图，过点作轴于点，
点的坐标为，，.
.
2. 如图，一次函数的图象经过和两点，与轴交于点，且点在直线上.
（1）求一次函数的解析式.
解： 点在直线上，
.
则解得
一次函数的解析式为.
（2）求的面积.
解：在中，当时，，
.
.
&2& 一次函数中点的存在性问题
3. 【例】已知一次函数的图象经过点和点,与轴交于点.
（1）求这个一次函数的解析式.
解：由条件，得
解得
这个一次函数的解析式为.
（2）在轴上是否存在点,使得的面积为10 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.理由如下：设，
在中，当时，，.
则，
或.
解得或，
点的坐标为或.
4. 如图，直线与轴，轴分别交于点和点.
（1）求直线的解析式.
解：设直线的解析式为，
则解得
直线的解析式为.
（2）在轴上存在点,使得，求点的坐标.
解：设，则,
解得或， 点的坐标为或.
5. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，且经过点，与正比例函数的图象相交于点.
（1）求一次函数的解析式.
解：在中，当时，
，，
则解得
一次函数的解析式为.
（2）求的面积.
解：在中，当时，，
.
.
6. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点.
（1）求直线的解析式.
解：设直线的解析式为
，
由条件，得解得
直线的解析式为.
（2）是直线上一点，且，求点的坐标.
解：设点的坐标为，则
，解得，
或.
点的坐标是或.
7. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点.
（1）求直线的解析式.
解：在中，当时，，.
则解得
直线的解析式为.
（2）直线上存在点，使得的面积为18，求点的坐标.
解：设,在中，当时，，
..
又,，解得.
当时，，.
当时，，..
综上，满足条件的点的坐标为或.
8. 如图，直线与轴、轴交于，两点，直线过点并交直线于点.
（1）求直线的解析式.
解：把代入,得,
.设直线的解析式为
，则解得
直线的解析式为.
（2）在轴上存在点，使得，求点的坐标.
解：在中，当时，，当时，
,
,.
设，则.
解得或,
点的坐标或.
9. 如图，直线与坐标轴分别交于点，,与直线交于点，线段上的点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动，运动时间为秒，连接.
（1）求出点的坐标.
解：由
得.
（2）若平分的面积，求直线对应的函数解析式.
解：令，
得，则，
由题意，得，
设直线的解析式是，
把，代入，
得解得
直线对应的函数解析式为.
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第二十三章
一次函数
第3课时 一次函数的图象和性质（2）
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.一次函数的图象是__________，我们称它为_________________.
2.一次函数的图象可以由直线平移____个单位长度得到.当时，向____平移，当时，向____平移.
一条直线
直线
上
下
&1& 一次函数的图象和性质
1. 【例】
（1）在同一平面直角坐标系中画出，的图象.
解：①列表：
… 0 1 2 …
… ____ ____ ___ ___ ___ …
… ____ ___ ___ ___ ___ …
0
2
4
0
2
4
6
②描点、连线：
（2）根据图象回答下列问题：
①一次函数的图象从左到右______，随的增大而______.
②一次函数的图象可以由直线向____平移___个单位长度得到.
上升
增大
上
2
2. （1）在同一平面直角坐标系中画出，的图象.
解：①列表：
… 0 1 2 …
… ___ ___ ___ ____ ____ …
… ____ ____ ____ ____ ____ …
2
1
0
②描点、连线：
（2）根据图象回答下列问题：
①一次函数的图象从左到右______，随的增大而______.
②一次函数的图象可以由直线向____平移___个单位长度得到.
下降
减小
下
3
3. 【例】下列一次函数中，随的增大而减小的是( )
D
A. B. C. D.
4. 在函数中，随的增大而增大，则的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
5. 【例】把正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数解析式为( )
B
A. B. C. D.
6. 将直线向下平移4个单位长度后，所得直线的解析式为( )
B
A. B. C. D.
7. 下列一次函数中，随的增大而减小的是( )
B
A. B. C. D.
8. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则( )
B
A. B. C. D.
9. 将函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是( )
A
A. B. C. D.
10. 已知点和点都在一次函数的图象上，则与相比( )
A
A. B. C. D.不确定
11. 在平面直角坐标系中，将直线平移得到直线，则移动方法是( )
D
A.将向右平移4个单位长度 B.将向左平移4个单位长度
C.将向上平移4个单位长度 D.将向下平移4个单位长度
12. 如图是一次函数的图象，在直线上任意选取两点，,且，则，的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
13. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
14. 关于函数的图象，有如下说法：
①图象过点；
②图象与轴的交点坐标是；
③由图象可知，随的增大而增大；
④图象是与平行的直线.
其中正确说法有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15. 小王根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.
（1）当时，_________；当时，_______.
（2）把下面的表格补充完整.
… 0 1 2 3 4 …
… 3 ___ ____ ____ ____ ___ 3 …
1
1
（3）请在下面的平面直角坐标系中描出（2）中表格各对应点，并画出函数的图象.
（4）当_____时，函数值随自变量的增大而减小；当____________________时，函数值随自变量的增大而增大.
（或）
16. 已知一次函数.
（1）画出此函数的图象.
解： 一次函数的图象是一条直线，
当时，解得；当时，解得，
直线与坐标轴的两个交点坐标分别是和，
其图象如图所示.
（2）判断点是否在此函数的图象上.
解：当时，, 该点不在函数图象上.
（3）若该函数图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积.
解：由（1），得，，
.
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第二十三章
一次函数
第5课时 一次函数与方程（组）、不等式（1）
1
2
3
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分层检测
一次函数的图象如图所示.
1.此图象与轴的交点坐标为_______，方程的解为________.
2.不等式的解集为________，不等式的解集为
________.
3.当______时，,当______时，.
&1& 一次函数与一元一次方程的关系
1. 【例】一次函数的图象如图所示，则由图象可知关于的方程的解为________.
2. 一次函数的图象如图所示，则关于的方程
的解为( )
B
A. B. C. D.
3. 【例】如图，已知点是一次函数的图象上的一点，则关于的方程的解是 ( )
B
A. B. C. D.无法确定
4. 如图，一次函数经过点，,则关于的方程的解为( )
B
A. B. C. D.
&2& 一次函数与一元一次不等式的关系
5. 【例】如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是( )
B
A. B. C. D.
6. 如图，直线分别交轴、轴于，两点，则关于的不等式的解集是( )
D
A. B. C. D.
7. 【例】如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是( )
A
A. B. C. D.
8. 如图，已知一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为( )
C
A. B. C. D.
9. 已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是_______.
第10题图
10. 若一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为( )
D
A. B. C. D.
第11题图
11. 一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是( )
C
A. B. C. D.
第12题图
12. 如图，函数与轴、轴分别交于点，
.当时，的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
第13题图
13. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是( )
C
A. B. C. D.
14. 如图，已知一次函数的图象经过点，.
（1）不等式的解集为______.
（2）求，的值.
解：把代入，得，.
把代入，
得，.
（3）在轴上找一点，使最短，求出此时点的坐标.
解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时点为所求的点.
，.
设直线的解析式为，
将，代入，
得解得
直线的解析式为.
当时，， 点的坐标为.
15. 某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题.在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系.请你根据以下探究过程，回答问题.
（1）作出函数的图象.
①列表：
… 0 1 …
… 0 2 1 0 …
其中，表格中的值为___.
1
②描点：根据表格中的数据，请在如图的平面直角坐标系中描出对应值为坐标的点.
解：函数图象如图1所示.
图1
③连线：画出该函数的图象.
（2）观察函数的图象，回答下列问题：
①当____时，函数有最大值，最大值为___.
②方程的解是_______.
2
或2
（3）已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的的取值范围.
如答图2所示，的取值范围是.
图2
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第二十三章
一次函数
第6课时 一次函数与方程（组）、不等式（2）
1
2
3
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1.直线和的图象如图所示，则两直线的交点坐标为______.
2.方程组的解为_ _______.
3.关于的不等式的解集是______.
&1& 一次函数与二元一次方程（组）的关系
1. 【例】求直线和的交点坐标.
解：根据题意，得解得
交点的坐标为.
2. 求一次函数和的图象的交点坐标.
解：根据题意，得解得
交点的坐标为.
&2& 用两个一次函数图象的交点求解二元一次方程组
3. 【例】已知一次函数与的图象如图所示，则方程组
的解为_ ________.
4. 如图，两条直线，的交点坐标为，则可以看作是二元一次方程组_ ___________的解.
5. 【例】1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了.设两个气球所在位置的海拔分别为和，上升时间为.
（1）用式子分别表示和关于的函数解析式.
解：根据气球所在位置的海拔初始海拔上升速度×上升时间可知：
，.
（2）当时，求的值.
解：当时，，，
的值为15.
（3）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？
解：当时，得,解得,
答：两个气球能位于同一高度，这时气球上升了.
第6题图
6. 如图，一次函数与正比例函数的图象交于点
，则方程组的解为_ ________.
第7题图
7. 一次函数与的函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为( )
C
A. B. C. D.无法确定
8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解为______.
第8题图
9. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是____________.
第9题图
10. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点且与正比例函数的图象交于点.
（1）求一次函数的解析式.
解：由条件，得
解得.
（2）点是轴上一点，且,求点的坐标.
解：解方程组得.
设,则,
解得或.
点的坐标为或.
11. 甲、乙两车同时从A地前往相隔450千米的B地.甲车先到达B地，停留半小时后按原路返回.乙车的行驶速度为每小时60千米.下图是两车离
（1）填空：与的函数解析式为__________.
（2）求甲车返回途中与的函数解析式.
解：设，
则解得.
出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象.
（3）求两车相遇时离B地的距离.
解：解方程组得
两车相遇时离B地的距离为（千米）.
12. 如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于，两点.
（1）求直线的解析式，并结合图象直接写出关于，的方程组的解.
解：把点代入，得，
.
把点代入，得，.
直线的解析式为.
方程组的解为
关于，的方程组的解为
（2）求的面积.
解：，，
易得点，.
..
（3）若垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，线段的长为2，求的值.
解： 直线与直线，分别交于点，，
，.
，，即.
或.
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第二十三章
一次函数
第2课时 一次函数的图象和性质（1）——正比例函数
1
2
3
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分层检测
1.一般地，正比例函数是常数，的图象是一条经过_____的______，我们称它为直线.
（1）当时，直线经过____________象限，从左向右上升，即随的增大而______.
（2）当时，直线经过____________象限，从左向右下降，即随的增大而______.
2.（1）在中，当时，，则____.
（2）若直线经过点，则____.
原点
直线
第三、第一
增大
第二、第四
减小
（1）正比例函数的图象是一条经过原点的______.
（2）函数图象经过第__________象限.
（3）函数图象从左向右______，即随的增大而
______.
（4）若点，在函数的图象
上，则___（选填“ ” “ ”或“”）.
&1& 正比例函数的图象与性质
1. 【例】在平面直角坐标系中画出的图象.根据图象回答下列问题：
直线
三、第一
上升
增大
（1）正比例函数的图象是一条经过原点的______.
（2）函数图象经过第__________象限.
（3）函数图象从左向右______，即随的增大而______.
（4）若点，在函数的图象上，
且，则___（选填“ ” “ ”或“”）.
2. 在平面直角坐标系中画出的图象.根据图象回答下列问题：
直线
二、第四
下降
减小
&2& 求正比例函数解析式
3. 【例】如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数图象上.
（1）求正比例函数的解析式.
解：设这个正比例函数解析式为，由条件，得，解得，.
（2）点是轴上一点，当的面积是12时，求点的坐标.
解：设，则，解得，或.
4. 正比例函数的图象经过点.
（1）求这个函数的解析式.
解：由条件，得，解得，.
（2）点是轴上一点，若的面积等于6，求点的坐标.
解：设，则，解得，或.
5. 【例】已知与成正比例函数关系，当时，.
（1）写出与之间的函数解析式.
解：设，由条件，得，解得.
，即，
与之间的函数解析式为.
（2）当时，求函数值.
解：当时，.
6. 如图，函数的图象可能是( )
B
A.&3& B.&4& C.&5& D.&6&
7. 关于正比例函数，下列结论中不正确的是( )
D
A.图象经过点 B.图象经过第二、第四象限
C.随的增大而减小 D.不论为何值，总有
8. 若正比例函数的图象经过点，则的值为( )
A
A. B. C. D.2
9. 正比例函数的图象经过点和点.当时，，则的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
10. 已知函数是正比例函数.
解： 函数是正比例函数，
解得或.
（1）若函数解析式中随的增大而减小，求的值.
函数解析式中随的增大而减小，
.
（2）若函数的图象经过第三、第一象限，求的值.
函数的图象经过第三、第一象限，
.
11. 已知，与成正比例，与成正比例.当时，；当时，.
（1）求与的函数解析式.
解：设，，
.
把，；，分别代入，得
解得
，即.
（2）当时，求的值.
解：当时，.
12. 如图，已知四边形是正方形，点，分别在直线和
上，点，是轴上两点.
（1）若此正方形的边长为2，则_ _.
（2）若此正方形的边长为，则的值会不会发生变化？若不会发生变化，说明理由；若会发生变化，试求出的值.
解：的值不会发生变化.
理由如下： 正方形的边长为，.
在直线中，当时，，
..
，将代入，得，
.故的值不会发生变化.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数图象上.
（1）求正比例函数的解析式.
解：设正比例函数的解析式为，
由条件，得，解得，
正比例函数的解析式为.
（2）点和点都在轴上，当的面积是17.5时，求点的坐标.
解：设，，
，解得或，
点的坐标为或.
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第二十三章
第二十三章 综合实践与数学活动
&1& 水龙头的滴水量
【问题情境】
水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务.小辉同学阅读了教材中的《第二十三章一次函数》的数学活动1，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题，为了调查漏水量与漏水时间的关系，进行了以下的试验与研究.
【实践发现】
如图1，在一个滴水的水龙头下放置一个能显示盛水量的容器，设该容器的盛水量为，滴水时间为.该容器未放置到水龙头前已盛有水，每记录一次容器中的盛水量，得到如下表的一组数据：
时间 0 5 10 15 20 …
盛水量 5 20 35 50 65 …
【问题探究】
1. 请根据表中信息在图2的平面直角坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现与符合学习过的______（选填“正比例”或“一次”）函数关系.
一次
解：&2&
2. 根据以上判断，求关于的函数解析式.
解：设一次函数解析式为，将点，代入解析式，得
解得
一次函数解析式为.
【问题解决】
3. 假设有10个与【实践发现】中情况相同的水龙头，一个成年人一天大约饮用水，请你估算这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用多少天？
解：，
个容器一天的盛水量.
个水龙头一天的漏水量为.
个水龙头一天的漏水量为.
可供一个成年人饮用（天）.
答：这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用27天.
&3& 纸杯的高度
如图1是1个纸杯和4个叠放在一起的纸杯的示意图，为了探究叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量（个）的变化规律.设纸杯底部到纸杯沿底边高为，杯沿高为.
1. 纸杯底部到纸杯沿底边高为是______（选填“常量”或“变量”）.
2. 写出纸杯的总高度与纸杯数量（个）的函数解析式：
_____________（用含，的式子表示）.
常量
3. 嘉琪同学经过实践探究，列出下列表格：
纸杯数量个 3 6
纸杯总高度 9.5 14
（1）根据表格中数据求出和的值.
解：把，代入，得
解得即，.
（2）该型号纸杯有15个装、20个装、25个装共三种包装，均把纸杯叠放成一叠进行包装，图2是某品牌饮水机的示意图，储藏柜的高度是，则该储藏柜能放得下（杯口向上）这三种包装中哪些包装的纸杯？（直接写结果）.
解：能放得下15个装和20个装的纸杯
[解析] ，，.
当时，；
当时，；
当时，，
，，
该储藏柜能放得下15个装和20个装的纸杯.
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第二十三章
教材母题探究5
1. 【人教八下P124 T2改编】关于正比例函数，下列结论不正确的是( )
C
A.图象经过原点
B.随的增大而减小
C.点在函数的图象上
D.图象经过第二、第四象限
第2题图
2. 【人教八下P130 T5改编】数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线与直线相交于点.根据图象可知，关于的不等式的解集是( )
C
A. B. C. D.
第3题图
3. 【人教八下P135 T2改编】一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，弹簧总长关于所挂物体质量的函数图象如图所示，则图中的值是( )
A.22 B.24 C.26 D.28
B
4. 【人教八下P124 T5改编】已知一次函数
.
（1）求该函数图象与轴、轴的交点，的坐标.
解：当时，， 点的坐标为.
当时，，解得，
点的坐标为.
（2）画出该函数的图象.
解：列表如下：
… 0 1 …
… 4 2 …
描点、连线画出函数图象，如图所示.
（3）求的面积.
解：，，，
.
（4）利用图象求当为何值时，.
解：观察函数图象可知，当时，
一次函数的图象在轴上方，
即；当时，
当时，.
5. 【人教八下P124 T9改编】我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升.王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，当他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的函数关系如图所示.
（1）求与之间的函数解析式.
解：设与之间的函数解析式为，
将点，分别代入，
得解得
与之间的函数解析式为.
（2）已知这辆车的“满电量”为，求当王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
解：令，则..
答：该车的剩余电量占“满电量”的.
6. 【人教八下P141 T7改编】已知A，B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发.如图，图中，分别表示甲、乙两人距A地的距离与时间的关系，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的速度是____，乙的速度是____.
30
20
（2）求点的坐标，并写出点的实际意义.
解：当时，设的函数解析式为，为常数，且，
当时，；当时，，
解得
的函数解析式为；
当时，设图象的函数解析式为，为常数，且，
当时，；当时，，
解得
的函数解析式为.联立方程组，得解得
点的坐标为，其实际意义是甲、乙两人在出发后相遇，这时距离A地.
7. 【人教八下P137 T9改编】甲村和乙村共有22 000吨小麦需要分别运往A，B两地，其运费如下表：
收货地 发货地 A地 B地
甲村 15元/吨 20元/吨
乙村 24元/吨 25元/吨
若将甲村的小麦全部运往B地，乙村的小麦全部运往A地，则所需运费相同.
（1）求甲、乙两村各需要运输多少吨小麦.
解：设甲村需要运输吨小麦，乙村需要运输吨小麦，依题意，得解得
答：甲村需要运输12 000吨小麦，乙村需要运输10 000吨小麦.
（2）若甲、乙两村需要给A地运输小麦共9 000吨，且甲村最多只能给A地运输5 000吨小麦，请问怎么调运可使运费最少？并求出最少运费.
解：设甲村给A地运输吨小麦，总运费为元，则甲村给B地运送吨小麦，乙村给A地运输吨小麦，乙村给B地运输吨小麦，
依题意，得，
，随的增大而减小.
又， 当时，取得最小值，最小值为，此时，，.
答：当甲村给A地运输5 000吨小麦，给B地运输7 000 吨小麦，乙村给A地运输4 000吨小麦，给B地运输6 000吨小麦时，运费最少，最少运费为461 000元.
8. 【人教八下P136 T8改编】图中的折线表示一骑车人离家的距离与时间的关系.请你根据这个折线图回答下列问题：
（1）这个人出发后多长时间离家最远？这时他离家多远？
解：由折线图可知，最大值对应的C点，，，即出发离家最远，距家.
（2）这个人出发后_ _____距家，_______距家.
或4
2或3.7
（3）他返家时的平均速度是多少？
解：返家是到，
路程，时间，
平均速度为.
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第二十三章
一次函数
第8课时 实际问题与一次函数（2）
1
2
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分层检测
&1& 方选择问题
1. 【例】某商店计划购进A，B两种笔记本共19本.已知A种笔记本每本20元，B种笔记本每本15元，设购买B种笔记本本，购买两种笔记本所需费用为元.
（1）求与的函数解析式.
解：由题意,得，即.
（2）若购买B种笔记本的数量少于A种笔记本的数量，请给出一种最省费用的方，并求出该方所需费用.
解：，，
随的增大而减小.
又，解得，
为整数， 当时，取得最小值为335，.
答：最省费用的方是购买A种笔记本10本、B种笔记本9本，费用为335元.
2. 某商店销售一台A型电脑的利润为100元，销售一台B型电脑的利润为150元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元.
（1）求关于的函数解析式.
解：由题意,得，，
即.
（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的3倍，应如何设计进货方，才能使销售总利润最大？并求出最大销售利润.
解：由题意,得，解得，
在中，，
随的增大而减小. 当时，取得最大值，此时，.
答：销售总利润最大的进货方是购进A型电脑25台、B型电脑75台，最大利润为13 750元.
3. 云南是我国茶叶和咖啡的主要生产地，其独特的生长环境和精湛的加工工艺，使得云南咖啡及茶叶以其独特的风味和品质备受推崇.某公司计划购买茶叶和咖啡两种伴手礼，用于发放活动奖品.若购买2份茶叶和3份咖啡，需560元；若购买4份茶叶和1份咖啡，需520元.
（1）求每份茶叶和每份咖啡的价格.
解:设每份茶叶和每份咖啡的价格分别为元、元，由题意,得解得
答：每份茶叶的价格为100元，每份咖啡的价格为120元.
（2）若该公司计划购买茶叶和咖啡两种伴手礼共计100份，且购买茶叶的份数不超过咖啡份数的2倍且不低于咖啡份数的，为使购买两种伴手礼的总费用最低，则应购买茶叶和咖啡各多少份？总费用最低为多少元？
解:设购买茶叶为正整数份，则购买咖啡份，
，由题意.得解得.
，且是正整数，随的增大而减小，
当，即时，最小，且,
当购买茶叶66份，咖啡34份时，总费用最低，总费用最低为10 680元.
4. 王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游.经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同.针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费.假设组团参加两日游的人数为.
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式.
解：根据题意可得，
甲旅行社收取组团两日游的总费用，
当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用
，
当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用
，
乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数解析式为

（2）若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家.
解：当时，
甲旅行社收取总费用,
乙旅行社收取总费用,
, 乙旅行社收取总费用较少，
答:若王老师组团参加两日游的共有32人，选择乙旅行社.
5. 时光旅行社以沉浸式体验中华传统服饰文化为目标，让游客拥有更好的游玩体验.该旅行社现计划租用一批汉服供游客使用，长安汉服体验馆推出两种租用方，具体如下：
方一：不办理年卡，每件按原价收取租金；
方二：若办理年卡（从购买日起，可持年卡使用一年），则每件汉服租金在原价的基础上打八折优惠，年卡每张480元.
方一的租金（元），方二的租金（元）与租用件数（件）之间的函数关系如图所示.
（1）长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是多少元？
解：设长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是元，
由题意，得，
，
当时，，
，解得.
长安汉服体验馆每件汉服租金的原价是120元.
（2）若该旅行社今年的租金预算是4 800元，则选择哪种优惠方式更合算？
解：由（1）可得，方一所需的总费用与之间的函数解析式为
;
方二所需的总费用与之间的函数解析式为，
将代入，解得;
将代入，解得.
，
若该旅行社今年的租金预算是4 800元，则选择方二更合算.
6. 【应用意识】为了迎接“十一”长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
进价/（元/双）
售价/（元/双） 240 160
已知：用3 000元购进甲种运动鞋的数量与用2 400 元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1）求的值.
解：依题意,得，解得，
经检验，是原分式方程的解，.
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润售价-进价）不少于21 700元，且不超过22 300元，问该专卖店有几种进货方？
解：设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双，根据题意,得

解得，
是正整数，， 共有11种进货方.
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
解：设总利润为元，则

，
①当时，，随的增大而增大，
当时，有最大值.
此时应购进甲种运动鞋105双，乙种运动鞋95双;
②当时，，，（2）中所有方获利都一样;
③当时，，随的增大而减小，
当时，有最大值.
此时应购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双.
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第二十三章
一次函数
第9课时 一次函数章末复习
1
2
基础巩固
分层检测
&1& 正比例函数
1. 正比例函数的图象经过( )
C
A.第一、第二象限 B.第三、第一象限
C.第二、第四象限 D.第三、第四象限
2. 正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为
________.
&2& 一次函数的图象和性质
3. 如图，直线和轴交于点，轴交于点.
（1）求直线的解析式.
解：设直线的解析式为.
直线和轴交于点，和轴交于点，
解得
直线的解析式为.
（2）在轴上方的直线上有一点，且点到轴的距离为10，求出点的坐标.
解： 在轴上方的直线上有一点，且点到轴的距离为10，
点的纵坐标为10.
当时，，解得，
点的坐标为.
4. 一次函数的图象经过，两点.
（1）求此一次函数的解析式.
解：由条件，得解得
一次函数的解析式为.
（2）若一次函数与轴交于点，求的面积.
解：在中，当时，，解得，
的面积为.
&3& 一次函数与方程（组）、不等式
5. 一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为( )
A
A. B. C. D.
6. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是
_ ________.
7. 如图，一次函数的图象交轴于点，则关于的不等式的解集为________.
8. 如图是一次函数与的图象，则关于的不等式的解集为________.
&4& 实际问题与一次函数
9. 近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元.
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元.
解：设修建一个A种光伏车棚需投资万元，修建一个B种光伏车棚需投资万元，根据题意，
得解得 答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，
修建一个B种光伏车棚需投资2万元.
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
解：设修建A种光伏车棚个，则修建B种光伏车棚个，修建A种和B种光伏车棚共投资万元，
根据题意，得，解得.
.
，随的增大而增大. 当时，取得最小值，此时.
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元.
10. 如图，直线的图象与轴交于点，与轴交于点.
（1）求此一次函数解析式.
解：由条件，
得解得
.
（2）若是该函数图象在第一象限内的一点，当的面积为6时，求点的坐标.
解：设，则，解得，
在中，当时，，解得，
.
11. 如图，一次函数的图象经过点与点，且与正比例函数的图象相交于点.
（1）求一次函数解析式.
解：由条件，
得解得
.
（2）求的面积.
解：解方程组
得.
的面积为.
（3）直接写出关于的不等式的解集.
解：.
12. 某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在“双11”期间，两家文具店都进行了优惠活动.甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超出20支的部分按六折销售；乙文具店：不论买多少，全部按八折销售.
（1）分别写出甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用、（元）与购买支数之间的函数解析式.
解：甲文具店：；
乙文具店：.
（2）若某学校购买50支这种中性笔，请你通过计算说明在哪家文具店购买划算.
解：当时，（元），
（元），，
当购买50支这种中性笔时，选择在甲文具店购买划算.
13. 【模型构建】如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角
形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，求的度数.
解：与轴、轴分别交于，两点，
，.
又 ，为等腰直角三角形.
.
（2），是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是多少？
解：是定点，
如图1，当时，有最小值.
，， .
， ，
.
在和中， ，
，，
.
在中，由勾股定理，得
，.
的最小值为．
【模型拓展】
（3）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转 得到直线，求直线对应的函数解析式.
解：如图2，过点作交直线于点，过点作
轴．
， ．
， ．
．
，
， ．
．
， ，
，．
当时，，．
当时，，，．
，．
设直线对应的函数
解析式为，
将和代入，
得解得
．
感谢聆听

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