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第二十一章
四边形
第3课时 平行四边形及其性质（1）
——平行四边形边和角的性质
1
2
3
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课堂讲练
分层检测
1.定义：两组对边分别______的四边形叫作平行四边形.
2.性质：（1）平行四边形的对边______且______.
（2）平行四边形的对角______，邻角______.
3.平行四边形的对角线__________.
平行
平行
相等
相等
互补
互相平分
&1& 平行四边形边和角的性质
1. 【例】如图，在中，， ，则___，
____.
5
2. 如图，在中.
（1）若，，则的周长是____.
（2）若 ，则____.
14
3. 【例】如图，在中，，，垂足分别为，.求证：.
证明： 四边形为平行四边形，
，
，， .
在和中，
.
4. 如图，在中，的平分线交于点.
（1）若 ，求的度数.
解： 四边形是平行四边形，
..
平分，.
.
（2）若，，求的长.
解： 四边形是平行四边形，
，.
.
又平分，.
..
.
&2& 平行四边形对角线的性质
5. 【例】如图，在中，，交于点，，，.
（1）求的长.
解： 四边形是平行四边形，
,.
在中，由勾股定理,得，
.
（2）求的面积.
解：.
6. 如图，在中，与交于点，， ，.
（1）求的长.
解： 四边形是平行四边形，
，,
，.
在中，根据勾股定理,得，.
（2）求的面积.
解：.
第7题图
7. 如图，在中，下列结论不一定成立的是 ( )
C
A. B.
第8题图
8. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，若 ，则的度数为( )
B
A. B. C. D.
C. D.
9. 如图，四边形是平行四边形，点，，，在同一直线上，.求证：.
证明： 四边形是平行四边形，
，..
,,即.
在和中，
.
10. 如图，在中，，点在的延长线上，，若平分，则___.
5
11. 如图，在中，对角线,交于点，，，.
（1）求的面积.
解：,,,
.
.
（2）求对角线的长.
解： 四边形是平行四边形，,
，.
在中,由勾股定理，得
.
.
12. 如图，在中，为边上一点，且.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是平行四边形，
，..
，,.
在和中,
.
（2）若 ， ，求的度数.
解：， ，
是等边三角形. .
.
四边形是平行四边形，
， .
13. 如图1，在中，平分交于点，于点，交于点，且，连接.
（1）若，，求的长度.
解：， .
在中，由勾股定理，得
.
四边形是平行四边形，.
.
平分，.
.
，.
（2）如图2，若平分交于点，于点，求证：.
解：证明：如图,延长交于点,
，平分，
， .
四边形是平行四边形，
.
， .
.
平分，平分，
，.
，
.
， .
和均为等腰直角三角形.
易得，.
.
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第二十一章
四边形
第7课时 三角形的中位线
1
2
3
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1.连接三角形两边______的线段叫作三角形的中位线.
2.三角形的中位线______于三角形的第三边，并且等于第三边的______.
几何语言：是的中位线， ____________________.
中点
平行
一半
，
&1& 三角形的中位线定理
1. 【例】如图，在中，，分别是，边上的中点.
（1）若，则等于___.
4
（2）若 ，则____.
2. 如图，在四边形中，，，分别是，的中点，已知，，则___.
3
3. 【例】如图，在中，，，分别是，，的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明：，分别是，的中点，
，即.
，分别是，的中点，
,即.
四边形是平行四边形.
4. 如图，在四边形中，是线段上一点，，，分别是，，的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明：,,分别是,,的中点，
，.
,.
四边形是平行四边形.
5. 【例】如图，，，，分别为四边形的边，，，的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明：如图，连接，，分别是，的中点，，.同理可证，，且 四边形是平行四边形.
6. 如图，，，，分别是，，，的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明：如图，连接，
，分别是，的中点，
，.
同理可证，，
，.
四边形是平行四边形.
第7题图
7. 如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为( )
D
A.3 B.6 C.5 D.4
第8题图
8. 如图，在中，，分别是，的中点，点是延长线上一点， ， ，则的度数为( )
B
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，分别为，的中点，延长到点，使，连接，.求证：四边形是平行四边形.
证明：，分别为，的中点,
，.即，
，
，.
四边形是平行四边形.
10. 如图，在中，，平分交于点，点在上，连接，为的中点，，交于点，连接.
（1）若，求的长.
解：，，
.
，平分，.
为的中点，是的中位线.
.
（2）若点在直线上，当时，求的长.
解：同（1）得，
①当点在线段上时，;
②当点在线段的延长线上时，如图1，，此情况不成立;
③当点在线段的延长线上时，如图2，.
综上所述，的长为5或25.
11. 如图，在中，点在边上，连接并延长至点，使；连接并延长至点，使，连接，为的中点，连接，.求证：四边形是平行四边形.
证明：，，
是的中位线.，.
为的中点，，.
四边形是平行四边形，，.
， 四边形是平行四边形.
12. 【推理能力】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，.
（1）若,.
①求证：四边形是平行四边形.
解：证明： 四边形是平行四边形，
，.
，，
.
.
四边形是平行四边形.
②若平分， ，求四边形的周长.
解： 四边形是平行四边形，
.
平分，.
.
，.
所在直线是的垂直平分线..
，是等边三角形.
.
.
（2）若,，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由.若,呢？请直接写出结论.
解：若，，则四边形是平行四边形.
理由如下： 四边形是平行四边形，
,.
，，
，即.
， 四边形是平行四边形.
若，，则四边形是平行四边形.
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第二十一章
四边形
第1课时 四边形及其内角和
1
2
3
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1.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的________.
2.四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称____________，四边形的内角和等于______.
3.四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角，四边形的外角和等于______.
对角线
四边形的角
&1& 四边形的概念及其对角线
1. 【例】如图，经过点可以作1条对角线；经过点可以作___条对角线；经过点可以作___条对角线；经过点可以作___条对角线.通过以上分析和总结，图中共有___条对角线.
1
1
1
2
2. 观察规律，把表格填写完整.
边数 3 4 5
对角线条数 0 ___ ___
2
5
&2& 四边形的内角和定理
3. 【例】如图，在中， ，剪去得到一个四边形，则的度数为______.
4. 如图，一块四边形钢板缺了一个角，根据图中所标出的测量结果得所缺损的的度数为____.
&3& 四边形的外角和定理
5. 【例】 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于______.
6. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图1中的窗棂是冰裂纹窗棂，图2是这种窗棂中的部分图.若 ， ， ，则______.
7. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的四边形木架不变形，至少要钉上___根木条.
1
8. 从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形.根据下面的图形反映出来的规律，边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为______.
9. 如图，是线段,垂直平分线的交点，若 ，则等于____.
第10题图
10. 如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若 ，，，则的度数为( )
D
A. B. C. D.
第11题图
11. 学校有一块四边形试验田，分割成,两块，由图可知，___.
12. 【模型认识】如图1，该图形长
得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型.
【初步探索】如图1，已知 ，
， ，求的度数.
方法借鉴：不妨延长交于点，将飞镖分解成和
请你根据方法借鉴求的度数.（可标注,等）
解：如图，为的一个外角，
.
为的一个外角，
.

.
【归纳结论】，，和的数量关系是___________________.
【深入探究】如图2，若 ， ，，，求的度数.
解：根据归纳结论可知:.
.
,,
.
.
【拓展延伸】如图3，若改变飞镖形状，使得，，都小于， ，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由.
解：不变.理由如下:
，
,
.
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第二十一章
四边形
第6课时 平行四边形的判定（2）
1
2
3
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1.判定3：对角线__________的四边形是平行四边形.
2.判定4：一组对边______且______的四边形是平行四边形.
互相平分
平行
相等
&1& 平行四边形的判定方法4（判定3）
1. 【例】如图，在中，对角线与交于点，点，分别为，的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
，.
点，分别为，的中点，
,.
四边形是平行四边形.
2. 如图，在中，对角线与交于点，点，是上两点，且.求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
，.
，,即.
四边形是平行四边形.
&2& 平行四边形的判定方法5（判定4）
3. 【例】如图，在中，.求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
，
，，即
,即，
四边形是平行四边形.
4. 如图，在中，点和分别是和上的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
，
点和分别是和的中点，
，
,即，
四边形是平行四边形.
5. 如图，，是的对角线上的两点，且于点，于点，连接，.求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
，.
，， .
在和中，
.
又 , 四边形是平行四边形.
第6题图
6. 如图，，平分，平分，和交于点，若，则___.
8
第7题图
7. 如图，在四边形中，对角线，，，，则当___时，四边形是平行四边形.
8
8. 如图，在中，，分别为边，上的点，，延长到点，使，连接，,.
（1）求证：四边形是平行四边形.
证明：，
，
四边形是平行四边形.
（2）若，求证：四边形是平行四边形.
由（1）得四边形是平行四边形.
，.
，.
又, 四边形是平行四边形.
9. 如图，在中，点是对角线的中点，过点任作一条直线，分别与，交于点，.求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
..
点是的中点，.
在与中，
. 四边形是平行四边形.
10. 如图，，，.
求证：四边形是平行四边形.
证明：，.
在和中，
.，.
, ,
.
四边形是平行四边形.
11. 如图，在中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，，连接，.求证：
（1）.
证明： 四边形是平行四边形，
,.
, ,.
，.在与中，
.
（2）四边形是平行四边形.
四边形是平行四边形，
，.
又由（1）得,.
，即，
又由,可知.
四边形是平行四边形.
12. 如图，分别以的直角边及斜边为边向外作等边三角形、等边三角形 ，，垂足为，连接.
（1）求证：.
证明：是等边三角形，
，.
， .
， .
在和中，.
（2）求证：四边形是平行四边形.
是等边三角形，
， .
， .
,.
.
由（1）得,.
四边形是平行四边形.
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第二十一章
第二十一章 综合实践与数学活动
&1& 黄金矩形
已知宽与长的比是（约为）的矩形叫黄金矩形.黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律.某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索.
【实验操作】
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处；
第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点折出，得到矩形.#2.4
1. 求证：矩形是黄金矩形.
解：证明：由操作过程可知，.
设，则，
.
由折叠的性质，得，
.
矩形是黄金矩形.
【问题解决】
2. 在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”.请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）；
解：作图如图所示.
【拓展延伸】 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金
矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明.
解：矩形也是黄金矩形.
证明：由问题解决1可得，，，
.
矩形也是黄金矩形.
&2& 剪拼正方形
数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠.
【初步尝试】
1. 如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图①②③，保持③不动，移动①②，可以拼接成一个大正方形纸片BFCE.若，则_____.
【深入实践】
2. 如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点，在正方形网格的格点上，，是纸片边上的中点.沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图①②③④，保持①不动，移动②③④，可以拼接成一个大正方形纸片.请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号.
解：下图展示了两种不同的拼法，
【拓展迁移】
3. 如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，.
（1）___，___.
4
3
（2）求正方形的边长.
解：由（1）可知，，
在中，，
在中，，
在中，，
.
设，，解得.
.
正方形的边长是.
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第二十一章
四边形
第12课时 正方形（1）——正方形的性质
1
2
3
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1.正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的____形、____形，它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2.正方形的四边都______，四个角都是______，对角线____________________，且每一条对角线平分一组______.
矩
菱
相等
直角
相等且互相垂直平分
对角
&1& 正方形的性质
1. 【例】如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是正方形，
，.
又，
.
（2）若 ，求的度数.
解： 四边形是正方形，
.
.
由（1）得，
.
2. 如图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是正方形，
， .
又，.
（2）若 ，求的度数.
解： ，，
.
由（1）得，
.
.
3. 【例】如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且.求证：
（1）.
证明： 四边形是正方形，
， .
又，
.
（2）.
， .
由（1）得，.
.
.
4. 如图，四边形和四边形都是正方形，连接，交于点，与交于点.求证：
（1）.
证明： 四边形和四边形都是正方形，
，，
.
，
即.
.
（2）.
，.
， .
， .
.
第5题图
5. 如图，在正方形中，是对角线，的交点，过点作，分别交，于点，，若，，则的长为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
6. 如图，在正方形中，是对角线上一点.
第6题图
（1）若正方形周长为，则_______.
（2）若 ，则的度数为____.
7. 如图，，是正方形的对角线上的两点，且.
（1）求证：四边形是菱形.
解：证明：如图，连接，交于点.
四边形是正方形，
，，.
，..
， 四边形是平行四边形.
， 四边形是菱形.
（2）若正方形边长为，求菱形的面积 .
解： 四边形是正方形，
，.
.
.
.
8. 如图，在边长为6的正方形中，是边的中点，将沿对折至，延长交于点，连接.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是正方形，
， .由折叠的性质可知，
， ，.
.在和中，
.
（2）求的长.
解：，.
设，则，
为的中点，.
在中，由勾股定理，得.
解得，.
9. 如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，连接，交于点.求证：
（1）.
证明： 四边形为正方形，
，.
又，.
（2）.
四边形为正方形，
， .
是的中点，.
.
由（1）知， ，
.
图1
10. 如图1，在正方形中，对角线和相交于点，是正方形边下方一点，连接，，，已知，且 .
（1）试判断的形状，并说明理由.
解：为等边三角形.理由如下：
， .
四边形为正方形，， .
，为等边三角形.
（2）如图2，连接，求证：.
图2
图2
解：证明：如图，过点A作交BE的延长线于点，
.
为等边三角形， .
，.
.
为等腰直角三角形，.
四边形为正方形，
，.
，即.
在和中，
.
，.
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第二十一章
四边形
第9课时 矩形（2）——矩形的判定
1
2
3
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1.定义：有一个角是______的____________是矩形.
2.判定1： 对角线______的____________是矩形.
3.判定2：有____个角是______的四边形是矩形.
直角
平行四边形
相等
平行四边形
三
直角
&1& 矩形的判定方法1（定义法）
1. 【例】如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，.求证：四边形是矩形.
证明： 四边形是平行四边形，
，.
是的中点，，.
又, 四边形是平行四边形.
，, .
是矩形.
2. 如图，在中，，平分
，.求证：四边形是矩形.
证明：，即，
且，
四边形是平行四边形.
，平分，
,即 .
是矩形.
&2& 矩形的判定方法2（判定1）
3. 【例】如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且.求证：四边形是矩形.
证明： 四边形是平行四边形，
，
，
，
是矩形.
4. 如图，在中，对角线，相交于点，于点，于点，且.求证：四边形是矩形.
证明：，，
.在和中，
四边形是平行四边形，
，是矩形.
&3& 矩形的判定方法3（判定2）
5. 【例】如图，在中，，，平分，于点.
求证：四边形是矩形.
证明：，，
平分，.
平分，.
.
，
四边形是矩形.
6. 如图，在中，，将绕点旋转 得到，连接，.当为____时，四边形是矩形.
证明： 四边形是平行四边形，
.
.
，， .
.
四边形是矩形.
7. 如图，在中，，，垂足分别为，.求证：四边形是矩形.
8. 如图，为边的中点，且.求证：四边形是矩形.
证明： 四边形是平行四边形，
，. .
为的中点，.
在和中，
.是矩形.
9. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接.
（1）求证：四边形是平行四边形.
证明：，.
是的中点，.
又，.
是边上的中线，.
又, 四边形是平行四边形.
（2）若，求证：四边形是矩形.
由（1）得四边形是平行四边形.
，，
.
是矩形.
10. 如图，将的边延长到点，使，连接，交于点.
（1）求证：.
证明： 四边形是平行四边形，
，，即.
，.
四边形是平行四边形..
（2）若，求证：四边形是矩形.
四边形是平行四边形，.
，.
，
.
.
四边形是平行四边形，
，是矩形.
11. 【推理能力】如图，在四边形中，是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连接，.
（1）请你在；中选择一个作
为条件，求证：.
解：选择.
证明：，.
在和中，
.
选择.
证明：在和中，
.
（2）在（1）的条件下，连接，，当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由.
解：当时，四边形是矩形.
理由如下：，，
四边形是平行四边形.
当时，，
为矩形.
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第二十一章
四边形
第5课时 平行四边形的判定（1）
1
2
3
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1.定义：两组对边分别______的四边形是平行四边形.
2.判定1：两组对边分别______的四边形是平行四边形.
3.判定2：两组对角分别______的四边形是平行四边形.
平行
相等
相等
&1& 平行四边形的判定方法1（定义法）
1. 【例】如图，在四边形中，，.求证：四边形是平行四边形.
证明：，
.
又, 四边形是平行四边形.
2. 如图，在中，点和点分别在和上，且.求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
.
又, 四边形是平行四边形.
&2& 平行四边形的判定方法2（判定1）
3. 【例】如图，在中，点，分别在，上，且.求证：
（1）.
证明： 四边形是平行四边形，
，，在和中，

.
（2）四边形是平行四边形.
四边形是平行四边形，.
又,.
由（1）得，.
四边形是平行四边形.
4. 如图，在中，点，分别是，的中点.求证：
（1）.
证明： 四边形是平行四边形，
，，.
点，分别是，的中点，
,.
在和中，
.
（2）四边形是平行四边形.
，.
点，分别是，的中点，
,.
,
四边形是平行四边形.
&3& 平行四边形的判定方法3（判定2）
5. 【例】在四边形中，， .
（1）求的度数.
解：，
.
（2）求证：四边形是平行四边形.
解：证明：，
.
由（1）得 ，.
又, 四边形是平行四边形.
6. 如图，在四边形中，，平分，平分.
（1）求证：.
证明：平分，平分.
，
.
，.
（2）若,求证：四边形是平行四边形.
，
，，
.
又, 四边形是平行四边形.
第7题图
7. 如图，在中，，，分别在边和上，，交于点.若，，，则的长为___.
3
第8题图
8. 如图，在中，，点，，分别在边，，上，，，则四边形的周长是____.
10
9. 如图，在四边形中，，.
（1）求证：.
证明：，
，
.
，.
（2）求证：四边形是平行四边形.
由（1）得，又，
四边形是平行四边形.
10. 如图，以的三边为边，在的同侧分别作三个等边三角形，即，，.求证：四边形是平行四边形.
证明：，都是等边三角形.
，，
.
,即.
在和中，
.
是等边三角形，.
同理可证， 四边形是平行四边形.
11. 如图，的对角线交于点，过点且分别交，于点，，在上找点，（点在点下方），使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.
（1）在甲、乙两种方中，正确的方是( ).
A.甲、乙 B.只有甲
C.只有乙 D.甲、乙都不正确
A
（2）对正确的方进行证明.（若两种方都正确，都需证明）
解：甲方 证明： 四边形是平行四边形，
，，.
.
在与中，
.
，，
，即.
四边形是平行四边形.
乙方 证明： 四边形是平行四边形，
，.
，.
在和中，
.
平分，平分，
,.
,.
在和中，
.
四边形为平行四边形.
12. 如图，在中，，分别交，的延长线于点，，交，于点，.求证：
（1）四边形为平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
，即.
又,即,
四边形是平行四边形.
（2）.
四边形是平行四边形，
，即.
又,即, 四边形是平行四边形.
.
由（1）得四边形是平行四边形.
.
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第二十一章
四边形
第8课时 矩形（1）——矩形的性质
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.矩形的定义： 有一个角是______的平行四边形叫作矩形.
2.矩形的性质：
（1）矩形具有平行四边形的所有性质.
（2）矩形不同于一般平行四边形的性质：①矩形的四个角都是______；②矩形的对角线______.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的______.
直角
直角
相等
一半
&1& 矩形的性质
1. 【例】如图，在矩形中，.
求证：.
证明： 四边形是矩形，，
.
又,.
2. 如图，在矩形中，点，分别在，边上，.求证：.
证明： 四边形是矩形，，
.
又,.
3. 【例】如图，在矩形中，，且交的延长线于点.求证：.
证明： 四边形是矩形，
，，即.
， 四边形是平行四边形.
.
.
4. 如图，在中，点在上，四边形是平行四边形，四边形也是平行四边形.
（1）求证：.
证明： 四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，.
（2）若是矩形，求证：.
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，.
&2& 直角三角形的性质
5. 【例】如图，在中， ，为的中点，，，则的长是___.
5
6. 如图，在中，于点，为的中点，，，则线段的长等于___.
8
第7题图
7. 在矩形中，对角线，相交于点，若
，，则的长为_____.
第8题图
8. 如图，在中， ，，，是的中点，则___.
5
9. 如图，在矩形中，点在边上，点在的延长线上，且.求证：
（1）.
证明： 四边形是矩形，
，
.
, .
又,.
（2）四边形是平行四边形.
由（1）得.
，.
四边形是平行四边形.
10. 在矩形中，是上一点，，，垂足为.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是矩形，
， .
.
，
.
又,.
（2）若，，求的长.
解：由（1）得，，
又,
在中，由勾股定理,得
.
11. 如图，在中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是平行四边形，.
.
点是的中点，
.
又,.
（2）当四边形是矩形时，且 ，求的度数.
解： 四边形是矩形，
.
， .
四边形是平行四边形， .
12. 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，则的度数为____.
【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕.
（2）若，，求的长.
解： 四边形是矩形，
，.
由折叠的性质可知,， ,
, .
在中，由勾股定理，得.
（3）若，求边与之间的数量关系.
解：设，，
， .
.
.在中，
由勾股定理，得.
由折叠的性质可知，，
， .
.
化简，得，即.
，
.
，即.
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第二十一章
四边形
第4课时 平行四边形及其性质（2）
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这______________________.
两条平行线之间的距离
&1& 四边形性质的运用
1. 【例】如图，在中，，相交于点，点，在上，且.求证：.
证明： 四边形是平行四边形，.
在和中，

.
2. 如图，在中，对角线，相交于点，于点，于点.求证：.
证明： 四边形是平行四边形，.
，，
.
在和中，
.
&2& 两条平行线之间的距离
3. 【例】如图，直线，，，垂足分别为，，则，之间的距离是( )
C
A.线段的长度 B.线段
C.线段的长度 D.线段
4. 在同一平面内，已知，，若直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，则直线，之间的距离为( )
A
A.或 B.
C. D.不确定
5. 如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，.
（1）求证:.
解：证明： 四边形是平行四边形，.
点是对角线的交点,.
在和中，.
（2）当时，，分别连接，，
求此时四边形的周长.
解：如图，由（1）得,.
,,.
又,,
.
四边形的周长为.
6. 如图，点为对角线与的交点，过点交于点，交于点，下列结论一定正确的是( )
D
第6题图
A. B.
C. D.
第7题图
7. 如图，的周长为，对角线与相交于点，交于点，连接，则的周长为______.
8. 如图，在中，对角线，相交于点，
点，分别是，的中点，连接，.求
证：.
证明： 四边形是平行四边形，<，.
点，分别是，的中点，,
.在与中，
.
9. 如图，在中，对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是平行四边形，
，..
在和中，
，.
（2）若， ，平分，求的度数.
解：由（1）得，.
，.
平分，.
.
四边形是平行四边形，
.
， .
10. 如图，四边形是平行四边形，是延长线上一点，连接，，且.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是平行四边形，
，.
，.
在和中，.
（2）若 ，，，
求的面积.
解：如图，作于点， ，,
.
11. 【应用意识】
［探究］如图1，在中，，交于点，过点的直线交于点，交于点.
图1
（1）求证：四边形与四边形的周长相等.
解：证明： 四边形是平行四边形，
，，.
在和中，
.
同理可证，.
.
四边形与四边形的周长相等.
（2）直线是否将的面积分成两等份？试说明理由.
解：直线将的面积分成两等份.理由如下：
四边形是平行四边形，
，，.
在和中，
.
由（1）得，，
图1
，.
，即直线将的面积分成两等份.
［应用］
（3）张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开.
图2
解：如图所示.
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第二十一章
四边形
微专题4 特殊平行四边形的动点问题
1
2
课堂讲练
分层检测
&1& 矩形中的动点问题
1. 【例】如图，在中， ，，，为边上一动点（点不与点，重合），于点，于点，为的中点，则的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
2. 如图，在矩形中，，，，，，分别是边，上的动点，则四边形周长的最小值为( )
D
A. B.
C. D.
&2& 菱形中的动点问题
3. 【例】如图，在等边三角形中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，同时点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为.
（1）连接，当经过边的中点时，求证：.
解：证明：，
，
为的中点，
.
在和中，


（2）当为多少时，四边形是菱形？
解：由题意得，，
.
若四边形是菱形，则有，
，即时，，且，四边形是菱形.
4. 如图，在中， ，， ，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是.过点作于点，连接.
（1）求证：.
解：证明：由题意得，，
，.
，，
.
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相
应的值；如果不能，请说明理由.
解：四边形能够成为菱形.理由如下：由（1）得.
， 四边形是平行四边形.
若为菱形，则，
，，.
，解得，符合题意.
当时，四边形是菱形.
&3& 正方形中的动点问题
5. 【例】如图，在矩形中，是边的中点，点是边上的动点，，，垂足分别为，.
（1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？证明你的结论.
解：当时，四边形为矩形.
证明如下： 四边形为矩形，
.
是边的中点，.
， .
.
，， 四边形为矩形.
（2）如果四边形为矩形，那么当点运动到什么位
置时，矩形变为正方形？能证明你的猜想吗？
解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形.
证明如下： ， ，
.
是的中点，.在和中，
矩形是正方形.
6. 如图，在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为_______.
6或11
7. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度运动；动点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度运动.点，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒.
（1）在时，点的坐标为______，点的坐标
为_______.
（2）当为何值时，四边形是矩形？
解：根据题意得，，
则.
，，
当四边形是矩形时，.
，解得.
当时，四边形是矩形.
8. 如图，在中，，， ，点，分别以点，为起点，以的速度沿，边运动，设点，运动的时间为.
（1）求边上的高的长度.
解： 四边形是平行四边形，.
是边上的高， .
，是等腰直角三角形..
根据勾股定理易知，即边上的高AE的长度为.
（2）连接，，当为何值时，四边形是菱形？
解：由题意知.
四边形是平行四边形，.
四边形为平行四边形.
当时，四边形为菱形.
，.
在中，由勾股定理，得，即，解得， 当为时，四边形为菱形.
9. 如图1，菱形的对角线，相交于点，且，，分别过点，作与的平行线相交于点.
（1）判断四边形的形状，并证明.
解：四边形是矩形.
证明如下：，，
四边形是平行四边形.
四边形是菱形，.
四边形是矩形.
（2）点从点出发沿线段的方向以的速度移动了，连接，当时，求的值.
解： 四边形是菱形，，
.
，
或.
解得或， 满足条件的的值为1或3.
（3）如图2，点在直线上运动，求的最小值.
解： 四边形是菱形，，.
四边形是矩形，， ，
如图，连接，交于点，连接，
则，.
当，，三点共线，即点与点重合时，
有最小值，即线段的长，
在中，由勾股定理，得
，
的最小值为.
10. 如图，在平面直角坐标系中，点是动点且纵坐标为4，点是线段上的一个动点，过点作直线平行于轴，设
分别交射线与轴所成的两个角的平分线于点，.
（1）求证：.
解：证明：如图1，由题意得，
轴，.
.同理可证，
.
（2）当为何值时，四边形是矩形？证明你的结论.
解：当时，
四边形是矩形.证明如下：，.
又， 四边形是平行四边形.
，是与轴所成两角的平分线，
， 四边形是矩形.
（3）是否存在点，，使四边形为正方形？若存
在，求点与的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在点，使四边形为正方形，如图2所示，
轴， 当点在轴上时，即点的坐标为时，有.取的中点为点，则点的坐标为
，由（2）知此时四边形是矩形，又，
四边形为正方形.
存在点，点，使四边形为正方形.
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第二十一章
四边形
第10课时 菱形（1）——菱形的性质
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.有一组邻边______的____________叫作菱形.
相等
平行四边形
2.菱形具有平行四边形的所有性质.
3.菱形的四条边都______.
4.菱形的两条对角线________________，并且每一条对
角线______________.
5.菱形的面积.
相等
互相垂直且平分
平分一组对角
&1& 菱形的性质
1. 【例】如图，在菱形中，对角线，相交于点.
（1）若，则菱形的周长为____.
（2）若 ，则____，____.
16
2. 如图，在菱形中，对角线，相交于点.
（1）若 ，则____.
（2）若，，则菱形的周长为____.
20
3. 【例】如图，四边形是边长为13的菱形，对角线的长为10.
（1）求对角线的长.
解： 四边形为菱形，
，，.
在中，由勾股定理，得，.
（2）求菱形的面积.
解：，，
.
4. 如图，四边形是菱形，边长为，对角线与相交于点， .
（1）求对角线，的长.
解： 四边形是菱形，
， ，，
，
在中，由勾股定理，得

.
（2）求菱形的面积.
解：.
5. 【例】如图，在菱形中，为对角线上一点.求证：.
证明： 四边形是菱形，
，.
又，
.
6. 如图，四边形是菱形，是上一点，交于点，连接.求证：.
证明： 四边形是菱形，
，，.
在和中，

，.
第7题图
7. 如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边的中点，连接，若，，则菱形的周长为( )
B
A. B. C.16 D.
8. 如图，在菱形中， ，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，.则的度数为( )
A
第8题图
A. B. C. D.
9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作交的延长线于点.
（1）求证：四边形是平行四边形.
解：证明： 四边形是菱形，
，即，
且.
，.
四边形是平行四边形.
（2）若，，求菱形的面积.
解：在中，由勾股定理，得
，
由（1）得四边形是平行四边形，
.
10. 如图，在菱形中， ，，分别在，上，且.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是菱形，
， .
是等边三角形.
， .
又，
.
（2）判断的形状，并说明理由.
解：是等边三角形.
理由如下：由（1）得是等边三角形， .
又由（1）得，，.
.
是等边三角形.
11. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，连接，.
（1）求证：.
解：证明：，，，.
四边形是平行四边形.
四边形是菱形，
， .
是矩形..
（2）若菱形的边长为2， ，求的长.
解： 四边形是菱形，
，.
，为等边三角形.
.
在中，由勾股定理，得.
四边形是矩形，， .
在中，由勾股定理，得.
12. 【综合运用】如图，小亮舅舅有块菱形菜地，已知 .小亮舅舅想在，边上分别找一点，（不与端点重合），连接，，将菱形菜地分成三个区域，其中和区域种植黄瓜，剩余区域种植韭菜，小亮对此产生了浓厚的兴趣，主动帮助舅舅测量找点.
（备用图）
（1）当时，可以求得____.
（2）保持的度数与第（1）问中的相等，改变点，的位置，使得无论点位于何处，与的和都为.请你帮助小亮计算菱形菜地的面积.
解：连接，过点作交于点，
，如图，
四边形是菱形，
，， .
.
， .
是等边三角形. .
，
， .
，是等边三角形.
，.
，
，.
在和中，
.
，.
菱形菜地的边长为，即.
过点作于点，则 ，
.
.
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第二十一章
四边形
第11课时 菱形（2）——菱形的判定
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.菱形的定义：有一组邻边______的____________是菱形.
2.判定1：对角线互相______的____________是菱形.
判定2：四条边______的________是菱形.
相等
平行四边形
垂直
平行四边形
相等
四边形
&1& 菱形的判定
1. 【例】如图，是的角平分线，交于点，交于点.
求证：四边形是菱形.
证明：，，即，，
四边形是平行四边形.
是的角平分线，.
，.
四边形是菱形.
2. 如图，在中，点，分别在，上，且平分，.
求证：四边形是菱形.
证明： 四边形是平行四边形，.
又，
四边形是平行四边形.
平分，.
，.
是菱形.
3. 【例】如图，在中，点是的中点，过点作的垂线，分别交，于点，F.求证：四边形是菱形.
证明： 四边形是平行四边形，
为的中点，
.又，
.又， 四边形是平行四边形.
，
是菱形.
4. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，.求证：四边形是菱形.
证明： 四边形是矩形，
垂直平分，，

.
又， 四边形是平行四边形.
，是菱形.
5. 【例】如图，在等腰三角形中，，把等腰三角形沿底边翻折后，得到.
求证：四边形是菱形.
证明：由折叠得，，
，
四边形是菱形.
6. 如图，在中，为上一点，，.增加下列条件能判定四边形为菱形的是( )
A
A.点在的平分线上 B.
C. D.为的中点
7. 如图，在中，于点，于点，且.
（1）求证：.
证明： 四边形是平行四边形，.
，，
.
又，
.
（2）求证：四边形是菱形.
由（1）得，.
四边形是平行四边形，
是菱形.
8. 如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是( )
D
第8题图
A. B.
C. D.
第9题图
9. 如图，在中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
10. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.
（1）求证：.
证明：是的中点，.
，.
又，
.
（2）若 ，求证：四边形是菱形.
，.
是边上的中线，.
又， 四边形是平行四边形.
，是边上的中线，
是菱形.
11. 两个完全相同的矩形纸片，如图所示放置.
（1）求证： 四边形是菱形.
解：证明： 四边形，是两个完全相同的矩形，
，，， .
四边形是平行四边形.
， ，
.又 ，.
是菱形.
（2）若，，求四边形的面积.
解：由（1）得四边形是菱形，
，设，则.
在中，由勾股定理，得
，解得，即.
.
12. 【运算能力】已知和都是边长为的等边三角形，且，，，在同一直线上，连接，，已知，若沿着方向以的速度运动，设的运动时间为.
（1）当为何值时，四边形是菱形？
解：和都是边长为的等边三角形，
， .
.
四边形是平行四边形.
当时，点与点重合，
.
四边形是菱形.
故当时，四边形是菱形.
（2）当为何值时，四边形是矩形？并求其面积.
解：由（1）知四边形为平行四边形，当时，
点与点重合，此时，，在同一条直线上，
，即.
四边形是矩形. .
.
.
故当时，四边形是矩形，其面积为.
（3）当为何值时，四边形的面积是？
解：由题意知，
过作交于点（图略），
则，.
，
，解得.
故当时，四边形的面积是.
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第二十一章
四边形
第14课时 四边形章末复习
1
2
基础巩固
分层检测
&1& 四边形及多边形
1. 如图，在七边形中，，的延长线相交于点.若图中，，，的角度和为 ，则的度数为____.
2. 如图，在正五边形中，连接，交于点，则的度数是( )
B
A. B. C. D.
&2& 平行四边形的性质与判定
3. 如图，在中，点，分别在，上，，交于点.
（1）求证：四边形是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）已知，连接，若平分，则的长为___
6
&3& 矩形的性质与判定
4. 如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，.
（1）求证：四边形是矩形.
证明： 四边形是平行四边形，
，
，，即
四边形是平行四边形.
， ， 四边形是矩形.
（2）若，，，求证：平分.
， .
在中，由勾股定理，
得.
，
，
平分.
&4& 三角形中位线定理
5. 如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，， ， ，则的度数是( )&5&
D
A. B.
C. D.
&6& 菱形的性质
6. 如图，四边形和都是菱形，点，在对角线上， ， ，，则( )
C
A. B.
C. D.
&7& 菱形的判定
7. 如图，在中， ，是边上的中线，过点作，过点作，连接与交于点.求证：四边形是菱形.&8&
证明：，，
四边形是平行四边形.
，是边上的中线，
是菱形.
&9& 正方形的性质及判定
8. 如图，在中， ，是中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.
（1）求证：.
证明：，.
是的中点，.
在和中，
.
（2）如果，求证：四边形是正方形.
由（1）知为中线，
.又，
四边形是平行四边形.
在中， ，是斜边上的中线，
是菱形.
又，
菱形是正方形.
第9题图
9. 如图，直线，正六边形的顶点，分别在直线，上，若 ，则的度数是( )
B
A. B. C. D.
第10题图
10. 如图，在中，是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④ ，其中正确结论的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
11. 如图，已知是菱形的对角线，延长到点，使得，连接.
（1）求证：.
解：证明：连接交于点，
四边形是菱形，
，，.
又，.
四边形是平行四边形.
.
（2）过点作于点，若，，求的长.
解： ，，，
.
由（1）得四边形是平行四边形，.
又，
， .
12. 如图，四边形为正方形，，分别是，的中点，连接，，过点作于点，交于点，连接.
（1）求证：.
解：证明： 四边形为正方形，
.
，分别是，的中点，.
又， 四边形为平行四边形.
.
（2）求证：.
解：证明：， .
为的中点，.
，
，.
在和中，.
（3）若正方形的边长为2，求的长.
解： 正方形的边长为2，
，，.
，，.
.
由（2）得， .
13. 如图，在中， ，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，是中点，连接并延长到点，且，连接，.
（1）求证：四边形是矩形.
解：证明：是的中点，.
又， 四边形是平行四边形.
，
是矩形.
（2）求证：.
解：证明：是的垂直平分线，
.
在中，，
.
， .
四边形是矩形，.
，.
，即.
（3）当时，求的长.
解：如图，连接，
是的垂直平分线，.
在中，，
..
，，.
在和中，
.
14. 【课本再现】
（1）如图1，在中， ，平分，，，垂足分别为，，求证：四边形是正方形.
证明：平分，，，
， ， .
， ，
四边形是矩形，又 四边形是正方形.
【深入探究】
（2）如图2，在中， ，平分，过点作于点，于点，是的中点，连接，，.
①判断四边形的形状，并证明.
解：四边形为菱形.
证明如下：平分， ，
.
，，.
是的中点，，.
四边形为菱形.
②已知，求的长.
解：设与的交点为（图略）.
，是的中点，.
四边形为菱形，
，，.，
.
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第二十一章
四边形
第2课时 多边形及其内角和
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.多边形的内角和公式：边形的内角和等于______________.
2.多边形的外角和等于______.
&1& 正多边形
1. 【例】下列关于正多边形的说法错误的是( )
D
A.各个内角都相等 B.各条边都相等
C.各个外角都相等 D.各条对角线都相等
2. 用边长相同的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是( )
C
A.正三角形和正四边形 B.正三角形和正六边形
C.正四边形和正六边形 D.正四边形和正八边形
&2& 多边形及其内角和
3. 【例】数学课上，四位同学用了不同方法探索六边形的内角和，其中瑶瑶的方法是： ，她画出的是图( )
C
A.&3& B.&4& C.&5& D.&6&
4. 如图，在五边形中，， ，
，则______.
&7& 多边形的外角和定理
5. 【例】完美五边形是指能够与其他一模一样的五边形拼合起来，既不重叠也不留缝隙，密铺出一个平面的五边形，如图是完美五边形的示意图，，，，，是完美五边形的外角，已知 ，则
6. 如图，在五边形中，，，，分别是，，的外角，则______.
______.
7. 已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的5倍.
（1）求这个多边形的边数.
解： 一个多边形的每一个内角都相等，设这个多边形的一个外角度数为，则与外角相邻的内角度数为， .解得 ， 这个多边形的边数为.
（2）求这个多边形的内角和.
解：这个多边形的内角和为 .
第8题图
8. 如图，在五边形中， ， ， ，则______.
第9题图
9. 在剪纸活动中，轩轩想用一张长方形纸片剪出一个正六边形，其中正六边形的一条边与长方形的一边重合，如图所示，则的度数是( )
C
A. B. C. D.
第10题图
10. 如图，,,,是五边形的4个外角.若 ，则______.
第11题图
11. 中式园林中的窗户讲究对称美.如图，窗户外框可以抽象成图中的正八边形，则这个正八边形的内角和为_______.
12. 如图，将正六边形的边与正五边形的边放在同一直线上，点为公共顶点.试求出的度数.
解：正五边形的内角和为 ，
.
正五边形的外角 ，
正六边形的内角和为 ,
.
正六边形的外角 ，
.
.
13. 在五边形中，， ， ，为边上一点，，.求的度数.
解：， .
， .
， .
.
.在五边形中，
， ，
. .
14. 数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和.
【发现】
（1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个____角，得出如下的结论：三角形的内角和等于______.
平
【尝试】
（2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确.
如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 .
解：如图2，画的边的延长线，过点画.
因为，
所以____（________________________），____（________________________）.
因为________ ，
所以 .
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同位角相等
【拓展】
（3）如图3，请在六边形中画出所有从点引出的对角线，此时六边形被分成了___个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是______.
4
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第二十一章
四边形
单元核心思想归纳3
1
2
课堂讲练
分层检测
&1& 数形结合
1. 【例】出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，
等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为，，则_ __.
2. 如图，正方形内有一点，连接，，， ，过点作交于点，过点作交于.若，，则的长是_ _____.（请用含的式子表示）
&2& 方程思想
3. 【例】如图，在中，对角线，相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，.
（1）求证：.
解：证明： 四边形是平行四边形，，
.在和中，
.
（2）若，四边形的周长为20，，
，求的长.
解：，
，，
， 设，.
四边形的周长为.
，.
在中，，，
，.
4. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿折线以的速度移动，点从点开始沿边以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当其中一点到达点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为.当点运动到上时.
（1）若四边形为矩形，求的值.
解：如图， 四边形为矩形，.
由题可知，，
，，
，，
.
解得，即当时，四边形为矩形.
（2）是否存在四边形为菱形？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
解：不存在.
理由如下：如图，若四边形为平行四边形，
则或，，解得.
而当时，此时，，
.
，即，
故不能为菱形，即不存在.
&3& 分类讨论
5. 【例】如图，在中，对角线，交于点，， ，，点从点出发，沿着边运动到点停止，在点运动的过程中，若是直角三角形，则的长是__________.
或
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，是的中点，点在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为__________________.
或或
7. 如图，在矩形中，，.过对角线的交点作交于点，则的长是( )
D
A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4
第8题图
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，.若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是___________.
9. 如图，菱形的周长为20，面积为24，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于____.
4.8
第9题图
第10题图
10. 如图，在四边形中，，，，是上一点，且，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发，以 的速度向点运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，
D
A. B.3 C.3或 D.或
设运动时间为，则当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值是( )
11. 如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为__.
第11题图
12. 如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点.
（1）若 ，求的度数.
解： 四边形是矩形，
，.
.
由折叠可知 ，
.
（2）若，，求的面积.
解： 四边形是矩形，
，， ，由折叠可知.
，.
，设，则.
在中，由勾股定理，得，
即，解得，.
.
13. 如图，菱形的边长为， ，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动，
（1）求的长.
解： 四边形是菱形，
.
，
是等边三角形..
（2）已知动点运动的速度为，动点运动的速度为.经过后，，分别到达，两点，试判断的形状，并说明理由.
解：为直角三角形.理由如下：如图1，后点走过的路程为，则后点到达点，即点与点重合.后点走过的路程为，易得，所以点到点的距离为，则点到达的中点，即为的中
点.
是等边三角形，为直角三角形.
（3）设问题（2）中的动点，分别从点，同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度变为，经过后，，分别到达，两点，若为直角三角形，试求的值.
解：为等边三角形， .
经过后，点运动的路程为，
点运动的路程为.
点从点开始运动，即，.
分以下三种情况讨论：
①当点在上时，如图1所示，则，
.
为直角三角形，而 ，
不能为 ，否则点在上.
，解得.
②当点在上时，如图2所示，则，易得 .
为直角三角形， ，
（若 ，此时点在上），则， .
，解得.
③若 ，即，此时，点在上.
易得 ，.
..
，解得.
综上所述，若为直角三角形，的值为1或5或11.
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第二十一章
教材母题探究3
第1题图
1. 【人教八下P67 12改编】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为( )
A
A. B. C. D.
第2题图
2. 【人教八下P66 9改编】如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第3题图
3. 【人教八下P80 12改编】如图，边长为3的正方形的两边落在坐标轴正半轴上，点的坐标是( )
C
A. B. C. D.
第4题图
4. 【人教八下P87 10改编】如图，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加条件：_________，才能保证四边形是矩形.
5. 【人教八下P62 2改编】如图，的对角线，相交于点，点，在上，且.求证：.
证明： 四边形是平行四边形，，.
，，即.
又，.
6. 【人教八下P87 6改编】如图，在矩形中，对角线，相交于点，且，.
（1）求证：.
解：证明：在和中，
，.
四边形是矩形，，，且.
.
（2）若 ，，求矩形的面积.
解：， ，，
，.
又，是等边三角形..
四边形是矩形，.
..
7. 【人教八下P81 17改编】如图1，在中，，分别是边，的中点，与交于点，分别是线段，的中点.
（1）求证：四边形是平行四边形.
证明： ，分别是边，的中点，
是的中位线.
且.同理是的中位线.
且.
且 四边形是平行四边形.
（2）如图2，若，求证：四边形是菱形.
，分别是，的中点，
是的中位线..
由（1）知.
，.
又由（1）知四边形是平行四边形，
四边形是菱形.
8. 【人教八下P81 18改编】如图，在四边形中，，，，点自点向点以的速度运动，到点即停止.点自点向点以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为.
（1）当为何值时，四边形是平行四边形？
解：根据题意，得，.
，.
， 当时，四边形是平行四边形.
，解得.
当时，四边形是平行四边形.
（2）当为何值时，四边形是平行四边形？
解：，
.
，
当时，四边形是平行四边形.
，解得.
当时，四边形是平行四边形.
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第二十一章
四边形
第13课时 正方形（2）——正方形的判定
1
2
3
课前预习
课堂讲练
分层检测
1.判定1：有一组邻边相等的______是正方形.
2.判定2：有一个角是直角的______是正方形.
矩形
菱形
&1& 正方形的判定
1. 【例】如图，在中， ，平分，于点，于点.求证：四边形是正方形.
证明：，，
.
四边形是矩形.
平分，.
矩形是正方形.
2. 如图，在中， ，，的角平分线交于点，于点，于点.求证：四边形为正方形.
证明：如图，过点作于点，
，，
.
四边形是矩形.
又平分，平分，
，.
矩形是正方形.
3. 【例】如图，在中， ，，分别为，的中点，过点作，交的延长线于点，连接.
（1）求证：.
证明：，
.
为的中点，.
，
.
（2）若 ，求证：四边形是正方形.
由（1）得，.
又， 四边形是平行四边形.
，是的中点，
是菱形.
.
菱形是正方形.
4. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接.
（1）求证：.
解：证明：，
.
是的中点，.
又，
.
（2）若 ，，试判断四边形的形状，并证明你的结论.
解：四边形为正方形，证明如下：
由（1）知，.
是边上的中线，.
又，即， 四边形是平行四边形.
，是斜边上的中线，
是菱形.
，是斜边上的中线，
，即 菱形是正方形.
第5题图
5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，试添加一个条件：________________________，使得矩形为正方形.
（答不唯一）
第6题图
6. 如图，正方形的对角线，相交于点，，.若，则点到边的距离为____.
0.5
7. 如图，矩形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点.
（1）求证：四边形是菱形.
证明：，，即，，
四边形是平行四边形.
四边形是矩形，
.
四边形是菱形.
（2）若，求证：四边形是正方形.
， 矩形是正方形.
，即 .
由（1）得四边形是菱形，
四边形是正方形.
8. 如图，在中，，于点，，是中点，连接并延长，交于点，连接.
（1）求证：四边形是矩形.
证明：是的中点，.
，.又，
..
又， 四边形是平行四边形.
，是矩形.
（2）当 时，求证：四边形是正方形.
，，是边的中线.
又 ，.
由（1）得四边形是矩形，
四边形是正方形.
9. 如图，在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点.
（1）求证：.
证明： 四边形是矩形，
， .
为中点，.
.
.
（2）当时，求证：四边形是正方形.
，，分别是，，的中点，
，，即，.
四边形是平行四边形.
，，由（1）得，
是菱形.
，， .
同理 ， .
四边形是正方形.
10. 【推理能力】如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接.
（1）求证：矩形是正方形.
解：证明：如图1，过点作于点，于点，
四边形是正方形，
，.
， ，
. 在和中，
.
矩形是正方形.
（2）若，，求的长度.
解： 四边形是正方形，，
， .
.
，.
四边形是正方形，
，.
，即.
.
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是 时，求的度数.
解：①当与的夹角为 时，如图2，
， ， .
，
.
②当与的夹角为 时，如图3，
， ，
.
，
，
.
综上所述，或.
感谢聆听

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