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分课时教学设计
第八课时《数学活动——利用勾股定理绘制图案》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是勾股定理这一单元的实践拓展课，兼具实践性、趣味性与综合性，在教学中起到巩固知识、提升素养、衔接应用的重要作用．它承接前面勾股定理的内容、证明及综合应用，将抽象的数学定理与动手实践相结合，打破了纯理论与纯计算的教学局限．本节课通过利用勾股定理设计、绘制图案，既巩固了学生对定理的理解与应用，又培养了学生的几何直观、动手操作和审美创造能力．同时，让学生在实践中体会数形结合、转化的数学思想，感受数学与艺术、生活的紧密联系，激发数学学习的兴趣．此外，本节课的实践操作的方法，为后续几何作图、图形设计等内容奠定基础，是提升学生数学应用能力和核心素养的重要实践载体，完善了勾股定理单元“理论—应用—实践”的完整教学体系．
学习者分析 学生已系统掌握勾股定理的内容、证明及综合应用，具备基本的几何作图、边长计算能力，也有一定的动手操作和审美基础，为本课时的实践学习提供了知识和能力支撑．但学生将勾股定理与图案绘制结合的意识较弱，难以灵活运用定理确定图案中线段的长度、角度，在图案设计的合理性和美观性上存在不足．同时，部分学生动手操作不够规范，缺乏耐心和创意，不过学生对动手绘制类活动兴趣浓厚，乐于参与实践探究，可通过示范引导、小组合作突破学习难点，提升实践与创造能力．
教学目标 1．能利用勾股定理设计并绘制几何图案（如勾股树、螺旋线等）． 2．体会数学与艺术的结合，提升动手实践能力．
教学重点 能利用勾股定理确定图案中线段长度，规范绘制出符合要求的图案，体会定理的实践价值．
教学难点 灵活运用勾股定理解决图案绘制中的线段计算、图形构图问题，兼顾图案的合理性与美观性．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能利用勾股定理设计并绘制几何图案（如勾股树、螺旋线等）． 2．体会数学与艺术的结合，提升动手实践能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：请同学们说一说勾股定理的内容？ 答案：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 导言：同学们，数学不只是计算与推理，它还还彰显出数学的“无限”之美．今天我们就用勾股定理当“画笔”，画出美丽又奇妙的几何图案． 学生活动2： 思考并回答勾股定理的内容活动意图说明： 直观感受数学与艺术的结合，激发创作兴趣环节三：新知讲解教师活动3： 活动一：探究勾股树的绘制原理 图1形如一棵树，有人称之为“勾股树”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图1中的勾股树，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的图形上多次重复构造相同图形，逐步形成图案. 解：绘制这个图案，需要先画一个如图（1）所示的图形，再以图形中的两个较小的正方形为基础，在两个小正方形的上方，分别作出两个形状与图（1）相同的图形，如图（2）所示．如此重复下去，最后填充颜色，就可以得到类似于图1的“勾股树”． 归纳：勾股树以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学“无限”之美． 活动二：探究螺旋线的绘制原理 图2形如螺旋，有人称之为“勾股螺旋”，也有人把它称之为“螺旋线”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图2中的勾股螺旋，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理，通过在新生成的斜边上继续构造直角三角形，逐步形成螺旋图案． 解：第1个直角三角形两直角边长分别是1和1，以第1个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第2个直角三角形；以第2个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第3个直角三角形，…，第1个三角形的斜边长是＝，第2个三角形的斜边长是＝，第3个三角形的斜边长是＝＝2，第n个三角形的斜边长是.以此类推即可完成构图. 归纳：勾股螺旋以勾股定理为核心，依托直角三角形的边长关系，通过多次重复构造相似直角三角形，体现数学“递推”与“无限延伸”之美． 活动三：探究勾股阶梯图案的绘制原理 图3形如层层递进的阶梯，我们称之为“勾股阶梯”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图 3 中的勾股阶梯，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的两个小正方形上，多次重复构造相同的直角三角形与正方形，逐步形成阶梯状图案． 解：绘制这个图案，需要先画一个如图（1）所示的基础直角三角形，并以其三边分别向外作三个正方形，如图（2）；再以新得到的两个较小正方形各自的边为基础，分别构造出与基础图形形状相同的直角三角形与正方形，如图（3）．如此重复向上延伸，如图（4），最后填充颜色，就可以得到类似于图3的“勾股阶梯”． 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 归纳：勾股阶梯以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学 “对称” 与 “递推” 之美． 创作：请你尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并向同学分享你的作品及其蕴含的数学秘密．学生活动3： 观察三类图案结构，动手绘制，小组交流，归纳勾股定理的构造规律．活动意图说明： 通过实践操作，体会勾股定理的应用，感受数学对称、递推与无限之美．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：数学活动——利用勾股定理绘制图案一、勾股树 二、螺旋线 三、勾股阶梯 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 2．如图所示：画线段，过点作，且，连接；过点作，且，连接；过点作，且，连接，，如此操作下去，当操作到连接后停止操作，在所画图形中，长度为有理数的所有线段之和的长度值为___________． 答案：990 3．如图，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆B、C的面积分别是4、5，则半圆A的面积是多少？ 解：如图，半圆B、C、A的面积分用S2、S1、S3表示； S1＝π， S2＝π， S3＝π， ∵在直角△ABC中，AB2＝AC2+BC2， ∴S2+S3＝S1， 半圆A的面积是5-4=1． 选做题： 4．“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程． 解：（1），， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）①等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是等腰三角形 ②由①得， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（ ） A．28 B．25 C．49 D．40 答案：C 2．如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中有___________条线段长度为整数． 答案：110 3．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为多少？ 解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=4， S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB ． 选做题： 4．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 答案：B 【综合拓展类作业】 5．定义：如图，点，把线段分割成、、，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割． (1)已知、把线段分割成，，，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 解：（1）点、是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得． 综上所述，或13．
教学反思 本节课通过动手绘制图案，有效激发了学生的参与热情，大部分学生能运用勾股定理完成基础图案绘制．但部分学生构图缺乏创意，对定理的灵活运用不足，绘制过程中线段长度计算易出错．课堂时间分配不够合理，部分学生未能完成图案优化．后续需加强构图示范与创意引导，增加计算纠错训练，优化时间分配，兼顾动手能力与创意培养，让学生真正体会数学与艺术的融合之美．
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第二十章 勾股定理
数学活动——利用勾股定理绘制图案
1．能利用勾股定理设计并绘制几何图案（如勾股树、螺旋线等）．
2．体会数学与艺术的结合，提升动手实践能力．
请同学们说一说勾股定理的内容？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
同学们，数学不只是计算与推理，它还还彰显出数学的“无限”之美．今天我们就用勾股定理当“画笔”，画出美丽又奇妙的几何图案．
活动一：探究勾股树的绘制原理
图1形如一棵树，有人称之为“勾股树”．如何利用勾股定理绘制的呢？
分析：图1中的勾股树，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的图形上多次重复构造相同图形，逐步形成图案.
解：绘制这个图案，需要先画一个如图（1）所示的图形，再以图形中的两个较小的正方形为基础，在两个小正方形的上方，分别作出两个形状与图（1）相同的图形，如图（2）所示．如此重复下去，最后填充颜色，就可以得到类似于图1的“勾股树”．
观看动画
勾股树以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学“无限”之美．
活动二：探究螺旋线的绘制原理
图2形如螺旋，有人称之为“勾股螺旋”，也有人把它称之为“螺旋线”。如何利用勾股定理绘制的呢？
分析：图2中的勾股螺旋，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理，通过在新生成的斜边上继续构造直角三角形，逐步形成螺旋图案．
观看动画，
一起探究吧
解：第1个直角三角形两直角边长分别是1和1，以第1个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第2个直角三角形；以第2个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第3个直角三角形，…，第1个三角形的斜边长是＝，第2个三角形的斜边长是＝，第3个三角形的斜边长是＝＝2，第n个三角形的斜边长是.以此类推即可完成构图.
勾股螺旋以勾股定理为核心，依托直角三角形的边长关系，通过多次重复构造相似直角三角形，体现数学“递推”与“无限延伸”之美．
活动三：探究勾股阶梯图案的绘制原理
图3形如层层递进的阶梯，我们称之为“勾股阶梯”。如何利用勾股定理绘制的呢？
分析：图 3 中的勾股阶梯，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的两个小正方形上，多次重复构造相同的直角三角形与正方形，逐步形成阶梯状图案．
解：绘制这个图案，需要先画一个如图（1）所示的基础直角三角形，并以其三边分别向外作三个正方形，如图（2）；再以新得到的两个较小正方形各自的边为基础，分别构造出与基础图形形状相同的直角三角形与正方形，如图（3）；如此重复向上延伸，如图（4），最后填充颜色，就可以得到类似于图3的“勾股阶梯” ．
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
勾股阶梯以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学 “对称” 与 “递推” 之美．
创作：请你尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并向同学分享你的作品及其蕴含的数学秘密．
【知识技能类练习】必做题：
B
【知识技能类练习】必做题：
990
【知识技能类练习】必做题：
解：如图，半圆B、C、A的面积分用S2、S1、S3表示；
S1＝π，S2＝π，S3＝π，
∵在直角△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴S2+S3＝S1，
半圆A的面积是5-4=1．
【知识技能类练习】选做题：
B
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
解：（1），，
，，
是类勾股三角形，，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）①等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
是等腰三角形
【综合拓展类练习】
②由①得，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
，
是“类勾股三角形”．
利用勾股定理绘制图案
勾股阶梯
勾股树
螺旋线
【知识技能类作业】必做题：
C
【知识技能类作业】必做题：
110
【知识技能类作业】必做题：
解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=4，
S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB
．
【知识技能类作业】选做题：
B
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
解：（1）点、是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形，
点、是线段的勾股分割点；
（2）设，则，
①当为最长线段时，依题意，
即，
解得；
②当为最长线段时，依题意．
即，
解得．
综上所述，或13．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 数学活动——利用勾股定理绘制图案 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能利用勾股定理设计并绘制几何图案（如勾股树、螺旋线等）． 2．体会数学与艺术的结合，提升动手实践能力．
重点 能利用勾股定理确定图案中线段长度，规范绘制出符合要求的图案，体会定理的实践价值．
难点 灵活运用勾股定理解决图案绘制中的线段计算、图形构图问题，兼顾图案的合理性与美观性．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：请同学们说一说勾股定理的内容？ 数学不只是计算与推理，它还还彰显出数学的“无限”之美．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助勾股定理，画出美丽又奇妙的几何图案． 活动一：探究勾股树的绘制原理 图1形如一棵树，有人称之为“勾股树”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图1中的勾股树，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的图形上多次重复构造相同图形，逐步形成图案. 归纳：勾股树以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学“无限”之美． 活动二：探究螺旋线的绘制原理 图2形如螺旋，有人称之为“勾股螺旋”，也有人把它称之为“螺旋线”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图2中的勾股螺旋，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理，通过在新生成的斜边上继续构造直角三角形，逐步形成螺旋图案． 归纳：勾股螺旋以勾股定理为核心，依托直角三角形的边长关系，通过多次重复构造相似直角三角形，体现数学“递推”与“无限延伸”之美． 活动三：探究勾股阶梯图案的绘制原理 图3形如层层递进的阶梯，我们称之为“勾股阶梯”．如何利用勾股定理绘制的呢？ 分析：图 3 中的勾股阶梯，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的两个小正方形上，多次重复构造相同的直角三角形与正方形，逐步形成阶梯状图案． 归纳：勾股阶梯以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学 “对称” 与 “递推” 之美． 创作：请你尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并向同学分享你的作品及其蕴含的数学秘密．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图所示：画线段，过点作，且，连接；过点作，且，连接；过点作，且，连接，，如此操作下去，当操作到连接后停止操作，在所画图形中，长度为有理数的所有线段之和的长度值为___________． 3．如图，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆B、C的面积分别是4、5，则半圆A的面积是多少？ 选做题： 4．“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数． (2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作． ①探索的形状并说明理由． ②请你帮助小明完成证明过程．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（ ） A．28 B．25 C．49 D．40 2．如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中有___________条线段长度为整数． 3．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为多少？ 选做题： 4．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【综合拓展类作业】 5．定义：如图，点，把线段分割成、、，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割． (1)已知、把线段分割成，，，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
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