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四川省成都市邛崃市第一中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·邛崃期末）下列四个几何体，俯视图为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项：球的俯视图是圆，故A选项不符合题意；
B选项：正方体的俯视图是正方形，故B选项不符合题意；
C选项：三棱柱的俯视图是三角形，故C选项符合题意；
D选项：四棱台的俯视图是大正方形里面有一个小正方形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据从几何体的上方看到的几何体的平面图形是俯视图解答即可.．
2．（2026九上·邛崃期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：解：设红球有x个，
由题意可得，，
解得：，
经检验：是方程的解，
故答案为：C .
【分析】设红球有x个，根据概率公式计算即可．
3．（2026九上·邛崃期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（　　）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：B．
故答案为： .
【分析】根据题意得到且m-2≠0，求出m的取值范围即可．
4．（2026九上·邛崃期末） 如图，，若，，则的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
即
解得：BD=6，
故选： C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案.
5．（2026九上·邛崃期末）在中，，，，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，
在中，，斜边为，的对边为，
．
故答案为：C .
【分析】根据正弦函数的定义解答即可．
6．（2026九上·邛崃期末）反比例函数 图象上有三个点( )，( )，( )，其中 ，则 的大小关系是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=6>0， 反比例函数经过一、三象限，
∴ y随x的增大而减小，当x>0时，y>0，x<0时，y<0，
∵x1∵ x3>0， ∴y3>0，
∴y2【分析】因为k=6>0， 根据反比例函数可知y随x的增大而减小，当x>0时，y>0，x<0时，y<0， 从而可判y27．（2026九上·邛崃期末）如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定ABC∽△ADE的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断解答．
8．（2026九上·邛崃期末）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为(　　)
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得：
；
整理得：，
令，
二次函数的“优和点”有且仅有一个，
与x轴只有一个公共点，
第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，
，且，解得：，且，
；
第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上，
对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴，
且，
解得，
综上，的取值范围为或．
故答案为：C .
【分析】设二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入二次函数，然后分为两种情况，根据根的判别式和根与系数的关系求出的取值范围解答即可．
9．（2026九上·邛崃期末）日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是　 　 投影填“平行”或“中心”
【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵太阳光的光线近似平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影.
故答案为：平行.
【分析】利用中心投影和平行投影的定义，结合太阳光的光线近似平行光线即可求解.
10．（2026九上·邛崃期末）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程 ，得 ，即 ，
解得 ．
故答案为：5．
【分析】将代入原方程中，求出a的值解答即可．
11．（2026九上·邛崃期末）如图，，，的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
12．（2026九上·邛崃期末）已知点在反比例函数（是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，m＞0，
∴0＜m＜m+1，
∵y1＜y2，
∴反比例函数图象上分布在第二、四象限，
∴k＜0．
故答案为：k＜0．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
13．（2026九上·邛崃期末）如图，在△ABC中，，若，则与的面积之比为　 　．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线得到，即可得到，然后推理得到，根据相似三角形的性质解答即可．
14．（2026九上·邛崃期末）计算
（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）解：原式
，
．
（2）解：
解：
解得：，
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算负整数次幂，绝对值，零次幂，乘方，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
15．（2026九上·邛崃期末）某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下：
“平均每天观看纪录片时长”频数表
观看时长（min） 频数（人） 频率
2
6
18
4
（1）频数分布表中， ▲ ， ▲，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1），10
补全频数分布直方图如下：

（2）解：（人），
即估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有52人．
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为：．
【知识点】统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：调查学生的人数为：（人）∴，
人，
故答案为：，10．
【分析】（1）用观看时间为 的频数除以频率求出调查的学生人数，再用18除以调查人数求出a的值，总人数乘以观看时间为分的频率求出b，补全频数分布直方图即可．
（2）用九年级人数乘以观看时间为分的频率解答即可．
（3）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
16．（2026九上·邛崃期末）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）延长交于点，即可得到，在中根据正弦的定义求得长，根据线段的和差求出OM长与比较解答即可．
17．（2026九上·邛崃期末）如图，四边形中，，，，，，为边上一点（不与、重合），过点作，交于．
（1）求的长；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）解：过作，过作，
∵， ，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
设，
∴，
解得：，，
∴或．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过作，过作，先得到四边形是平行四边形，然后根据AAS得到，根据对应边相等求出BG长，再根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（2）根据两角对应相等的两三角形相似证明结论即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
18．（2026九上·邛崃期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点为线段上一点，且，连接、，求；
（3）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
则反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点，
由点、的坐标得，，
解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接、，
由一次函数的表达式知，点，
则，
，
则；
（3）解：存在，理由：
由题意得，，，
过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、，则∠M=∠N=∠APB=90°，
∴∠MAP+∠MPA=∠BPN+∠MPA=90°，
∴∠MAP=∠BPN，
∴△AMP∽△PNB，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
当时，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
即、点或点、点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先把A点坐标代入求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再把点A，B的坐标代入一次函数的解析式解答即可；
（2）连接、，求出点E的坐标，根据解答即可；
（3）过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、，根据两角对应相等证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况得到AM和MP的长，列方程求出m和n的值解答即可．
19．（2026九上·邛崃期末）若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由 可设 ， ，k是非零整数，
则 ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
20．（2026九上·邛崃期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α、β是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】根据根与系数的关系得到、，将化为，然后整体代入计算即可．
21．（2026九上·邛崃期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，以为斜边，在轴的下方作等腰，连接，点在线段上，且，则　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，设与x轴交于点G，
∵点B的坐标为，
∴，
在等腰中，，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设的解析式为，
把A，D代入得，
，
∴，
∴的解析式为，
当时，，
∴点G的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作于点E，设与x轴交于点G，根据等腰直角三角形的性质得到点D的坐标，然后运用待定系数法求出的解析式，即可求出点G的坐标，然后根据勾股定理求出DG长，“利用炼焦对应相等得到，根据对应边成比例求出DF长，再根据勾股定理解答即可．
22．（2026九上·邛崃期末）如图，在菱形中，，，反比例函数的图象经过菱形的顶点，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为，则，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过菱形的顶点，
∴，
故答案为：．
【分析】作轴，垂足为，由菱形的性质根据正切的定义求出AD长，即可求出，代入反比例函数解析式求出k值解答即可．
23．（2026九上·邛崃期末）已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴判别式，
即，
化简得，
解得或．
∵二次函数开口向下，对称轴为，
且当时，y随x的增大而减小，
∴对称轴满足．
综合以上，得或．
故答案为：或．
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点得到，求出a的取值范围；然后根据二次函数开口方向和增减性得到对称轴，据此解答即可．
24．（2026九上·邛崃期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（舍去）
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，
由题意得：，
解得：，，
因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意
则，
答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据“ 头盔七月份销售150个，九月份销售216个 ”列一元二次方程解答即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求出x的值，然后根据题意取舍根解答即可．
25．（2026九上·邛崃期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；
（3）点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．
【答案】（1）解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为，
，
点A的坐标为，代入抛物线的解析式得，，
，
抛物线的解析式为，即．
令，则，
解得：，，
；
，
的面积为，
，
，
，
解得：，，
∴．
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴交于，
设，则，
，
．
∴当此时E点坐标为．
（3）解：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的外接圆与外心；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：如图，是的中点，在直线上运动，
，
，
当取得最小值时，的值最大，
，
当取得最小值时，的值最大，
当垂直直线时，取得最小值，
此时、在二次函数的对称轴直线上，
，
根据对称性，存在，
故：或．
故答案为：或.
【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加右减”得到，把A点坐标代入求出二次函数的解析式，即可得到，根据三角形面积得到点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于，设，则可得到，即可得到，进而得到，求出点E的坐标即可；
（3）根据垂径定理的推论得到在直线上运动，即可得到，当取得最小值时，的值最大，据此求出M点的坐标即可解答．
26．（2026九上·邛崃期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接．
（1）　 　°；
（2）若，求的长；
（3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：．
【答案】（1）
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）；
（3）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：36°；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
（2）过点作于点，设，根据三线合一得到CE长，即可得到DE长，根据勾股定理求出x的值解答即可；
（3）连接，根据SAS证明，得到，，然后根据等腰三角形的性质和判定得到，即可得到，根据对应边成比例得到结论．
1 / 1四川省成都市邛崃市第一中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·邛崃期末）下列四个几何体，俯视图为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·邛崃期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
3．（2026九上·邛崃期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（　　）
A． B．且 C．且 D．
4．（2026九上·邛崃期末） 如图，，若，，则的长为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
5．（2026九上·邛崃期末）在中，，，，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026九上·邛崃期末）反比例函数 图象上有三个点( )，( )，( )，其中 ，则 的大小关系是（　　）.
A． B． C． D．
7．（2026九上·邛崃期末）如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定ABC∽△ADE的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·邛崃期末）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为(　　)
A． B．或 C．或 D．或
9．（2026九上·邛崃期末）日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是　 　 投影填“平行”或“中心”
10．（2026九上·邛崃期末）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为　 　．
11．（2026九上·邛崃期末）如图，，，的长为　 　．
12．（2026九上·邛崃期末）已知点在反比例函数（是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是　 　．
13．（2026九上·邛崃期末）如图，在△ABC中，，若，则与的面积之比为　 　．
14．（2026九上·邛崃期末）计算
（1）计算：
（2）解方程：
15．（2026九上·邛崃期末）某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下：
“平均每天观看纪录片时长”频数表
观看时长（min） 频数（人） 频率
2
6
18
4
（1）频数分布表中， ▲ ， ▲，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
16．（2026九上·邛崃期末）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
17．（2026九上·邛崃期末）如图，四边形中，，，，，，为边上一点（不与、重合），过点作，交于．
（1）求的长；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
18．（2026九上·邛崃期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点为线段上一点，且，连接、，求；
（3）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2026九上·邛崃期末）若 ，则 　 　．
20．（2026九上·邛崃期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
21．（2026九上·邛崃期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，以为斜边，在轴的下方作等腰，连接，点在线段上，且，则　 　．
22．（2026九上·邛崃期末）如图，在菱形中，，，反比例函数的图象经过菱形的顶点，则实数的值为　 　．
23．（2026九上·邛崃期末）已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　．
24．（2026九上·邛崃期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
（2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
25．（2026九上·邛崃期末）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；
（3）点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．
26．（2026九上·邛崃期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接．
（1）　 　°；
（2）若，求的长；
（3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项：球的俯视图是圆，故A选项不符合题意；
B选项：正方体的俯视图是正方形，故B选项不符合题意；
C选项：三棱柱的俯视图是三角形，故C选项符合题意；
D选项：四棱台的俯视图是大正方形里面有一个小正方形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据从几何体的上方看到的几何体的平面图形是俯视图解答即可.．
2．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：解：设红球有x个，
由题意可得，，
解得：，
经检验：是方程的解，
故答案为：C .
【分析】设红球有x个，根据概率公式计算即可．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：B．
故答案为： .
【分析】根据题意得到且m-2≠0，求出m的取值范围即可．
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：
即
解得：BD=6，
故选： C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案.
5．【答案】C
【知识点】正弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，
在中，，斜边为，的对边为，
．
故答案为：C .
【分析】根据正弦函数的定义解答即可．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=6>0， 反比例函数经过一、三象限，
∴ y随x的增大而减小，当x>0时，y>0，x<0时，y<0，
∵x1∵ x3>0， ∴y3>0，
∴y2【分析】因为k=6>0， 根据反比例函数可知y随x的增大而减小，当x>0时，y>0，x<0时，y<0， 从而可判y27．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断解答．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得：
；
整理得：，
令，
二次函数的“优和点”有且仅有一个，
与x轴只有一个公共点，
第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，
，且，解得：，且，
；
第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上，
对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴，
且，
解得，
综上，的取值范围为或．
故答案为：C .
【分析】设二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入二次函数，然后分为两种情况，根据根的判别式和根与系数的关系求出的取值范围解答即可．
9．【答案】平行
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵太阳光的光线近似平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影.
故答案为：平行.
【分析】利用中心投影和平行投影的定义，结合太阳光的光线近似平行光线即可求解.
10．【答案】5
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程 ，得 ，即 ，
解得 ．
故答案为：5．
【分析】将代入原方程中，求出a的值解答即可．
11．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，m＞0，
∴0＜m＜m+1，
∵y1＜y2，
∴反比例函数图象上分布在第二、四象限，
∴k＜0．
故答案为：k＜0．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
13．【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线得到，即可得到，然后推理得到，根据相似三角形的性质解答即可．
14．【答案】（1）解：原式
，
．
（2）解：
解：
解得：，
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算负整数次幂，绝对值，零次幂，乘方，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
15．【答案】（1），10
补全频数分布直方图如下：

（2）解：（人），
即估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有52人．
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为：．
【知识点】统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：调查学生的人数为：（人）∴，
人，
故答案为：，10．
【分析】（1）用观看时间为 的频数除以频率求出调查的学生人数，再用18除以调查人数求出a的值，总人数乘以观看时间为分的频率求出b，补全频数分布直方图即可．
（2）用九年级人数乘以观看时间为分的频率解答即可．
（3）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
16．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）延长交于点，即可得到，在中根据正弦的定义求得长，根据线段的和差求出OM长与比较解答即可．
17．【答案】（1）解：过作，过作，
∵， ，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
设，
∴，
解得：，，
∴或．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过作，过作，先得到四边形是平行四边形，然后根据AAS得到，根据对应边相等求出BG长，再根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（2）根据两角对应相等的两三角形相似证明结论即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
18．【答案】（1）解：由题意得：，
则反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点，
由点、的坐标得，，
解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接、，
由一次函数的表达式知，点，
则，
，
则；
（3）解：存在，理由：
由题意得，，，
过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、，则∠M=∠N=∠APB=90°，
∴∠MAP+∠MPA=∠BPN+∠MPA=90°，
∴∠MAP=∠BPN，
∴△AMP∽△PNB，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
当时，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
即、点或点、点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先把A点坐标代入求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再把点A，B的坐标代入一次函数的解析式解答即可；
（2）连接、，求出点E的坐标，根据解答即可；
（3）过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、，根据两角对应相等证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况得到AM和MP的长，列方程求出m和n的值解答即可．
19．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由 可设 ， ，k是非零整数，
则 ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
20．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α、β是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5．
【分析】根据根与系数的关系得到、，将化为，然后整体代入计算即可．
21．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点E，设与x轴交于点G，
∵点B的坐标为，
∴，
在等腰中，，
∴，
∴，
∴点D的坐标为，
设的解析式为，
把A，D代入得，
，
∴，
∴的解析式为，
当时，，
∴点G的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作于点E，设与x轴交于点G，根据等腰直角三角形的性质得到点D的坐标，然后运用待定系数法求出的解析式，即可求出点G的坐标，然后根据勾股定理求出DG长，“利用炼焦对应相等得到，根据对应边成比例求出DF长，再根据勾股定理解答即可．
22．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，作轴，垂足为，则，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过菱形的顶点，
∴，
故答案为：．
【分析】作轴，垂足为，由菱形的性质根据正切的定义求出AD长，即可求出，代入反比例函数解析式求出k值解答即可．
23．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴判别式，
即，
化简得，
解得或．
∵二次函数开口向下，对称轴为，
且当时，y随x的增大而减小，
∴对称轴满足．
综合以上，得或．
故答案为：或．
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点得到，求出a的取值范围；然后根据二次函数开口方向和增减性得到对称轴，据此解答即可．
24．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（舍去）
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，
由题意得：，
解得：，，
因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意
则，
答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据“ 头盔七月份销售150个，九月份销售216个 ”列一元二次方程解答即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，根据利润=单利润×销售量列一元二次方程求出x的值，然后根据题意取舍根解答即可．
25．【答案】（1）解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为，
，
点A的坐标为，代入抛物线的解析式得，，
，
抛物线的解析式为，即．
令，则，
解得：，，
；
，
的面积为，
，
，
，
解得：，，
∴．
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴交于，
设，则，
，
．
∴当此时E点坐标为．
（3）解：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的外接圆与外心；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（3）解：如图，是的中点，在直线上运动，
，
，
当取得最小值时，的值最大，
，
当取得最小值时，的值最大，
当垂直直线时，取得最小值，
此时、在二次函数的对称轴直线上，
，
根据对称性，存在，
故：或．
故答案为：或.
【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加右减”得到，把A点坐标代入求出二次函数的解析式，即可得到，根据三角形面积得到点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于，设，则可得到，即可得到，进而得到，求出点E的坐标即可；
（3）根据垂径定理的推论得到在直线上运动，即可得到，当取得最小值时，的值最大，据此求出M点的坐标即可解答．
26．【答案】（1）
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）；
（3）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：36°；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
（2）过点作于点，设，根据三线合一得到CE长，即可得到DE长，根据勾股定理求出x的值解答即可；
（3）连接，根据SAS证明，得到，，然后根据等腰三角形的性质和判定得到，即可得到，根据对应边成比例得到结论．
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