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湖南省长沙市长郡教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷
1．（2026八上·长沙期末）已知三条线段的长度分别为1 cm，5cm ，a cm，若这三条线段首尾顺次连接能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．6
2．（2026八上·长沙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·长沙期末）下列多项式分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．2a-6=2(a-3)
4．（2026八上·长沙期末）下列图形中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026八上·长沙期末）诺如病毒是一种冬季高发病毒，传染性极强，是急性肠胃炎爆发的常见元凶，该病毒的直径约为0.000 000 307米，该直径用科学记数法表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．（2026八上·长沙期末）如图，已知AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．∠B=∠D=90° B．CB=CD
C．∠BAC=∠DAC D．∠BCA=∠DCA
7．（2026八上·长沙期末）若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．4 B．4或-4 C．-4 D．0
8．（2026八上·长沙期末）如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹作射线 AF 交边BC于点G，若.BG=2，AC=6，则 的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2026八上·长沙期末）如图，在 中，DE是AC 的垂直平分线， 的周长为31，则 BC的长为（　　）
A．9 B．12 C．19 D．29
10．（2026八上·长沙期末）如图，在等边三角形ABC中，CD是中线，点 M，N分别在AC，AB上，且AN=DN=CM=3，动点E在CD上，则NE+ME的最小值为（　　）
A．9 B．9.5 C． D．6
11．（2026八上·长沙期末）计算(2y-1)(2y+1)的结果为　 　.
12．（2026八上·长沙期末）如图， 是 的外角，若 则 　 　°.
13．（2026八上·长沙期末）如图，在正六边形中，的度数是　 　．
14．（2026八上·长沙期末）若点A(m，3)与点 B(2，n)关于x轴对称，则 　 　．
15．（2026八上·长沙期末）如图，在 中， ，E是CD 上一点，BE 过AC的中点F，若CD=8，BC=4，则图中阴影部分的面积为　 　.
16．（2026八上·长沙期末）小强在解分式方程 时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解.请你帮小强猜测一下△处的数应是　 　.
17．（2026八上·长沙期末）因式分解.
（1）
（2）
18．（2026八上·长沙期末）计算下列各式.
（1）
（2）
19．（2026八上·长沙期末）解分式方程.
（1）
（2）
20．（2026八上·长沙期末）先化简，再求值： 其中
21．（2026八上·长沙期末）如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．（2026八上·长沙期末）如图，在 中，D是BC的中点， 于点E， 于点F，且DE=DF.
（1）求证： 为等腰三角形；
（2）若AB=BC=4，求BE的长.
23．（2026八上·长沙期末）汗水挥洒赛场，激情点燃初冬.“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行.某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A 品牌篮球共花费了480元，购买 B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A 品牌篮球数量的2倍，已知购买一个 B品牌篮球比购买一个A 品牌篮球多花20元.
（1）购买一个A 品牌篮球、一个 B品牌的篮球各需多少元
（2）为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了6%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5 076 元，那么该校此次最多可购买多少个A 品牌篮球
24．（2026八上·长沙期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值(此时x满足A，B均有意义)，有A+B或A-B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”.例如：A=-2x-1，B=2x-1，因为A+B=-2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”.根据该约定，解答下列问题.
（1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”.若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”.
①x+1与-x+2；　 　
②与2x2-2；　 　
③与 　 　
（2）若关于x的代数式 B互为关于x的“关联代数式”，求 的值；
（3）若关于x的代数式A=mx+1，B=nx-2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足 求此时 的值.
25．（2026八上·长沙期末）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A，B的坐标分别为(2，0)，(0，2)，点 P 是OA 的延长线上的一个动点(不与点 A 重合)，以P 为直角顶点，BP 为直角边在第一象限作等腰直角连接AE.
（1）若点 P 的坐标为(4，0)，求点 E 的坐标；
（2）当AE平分 时，试探究 AB与AP 的数量关系，并给出证明过程；
（3）如图2，延长BA，EP 交于点M，BP，AE交于点N，设点 P 的坐标为(t，0)，当 的面积与四边形AMPN 的面积之比为整数时，求整数t的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 三条线段能围成三角形，
∴，
，
的取值可以是5．
故选：C．
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”解答即可．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
，选项A正确；
∵ 积的乘方等于乘方的积，
，选项B错误；
∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变，
，选项C错误；
∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，
，选项D错误．
故选：A．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可．
3．【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：选项A：，故A错误；
选项B：，，故B错误；
选项C：，不是乘积形式，故C错误；
选项D：，是提取公因式，正确；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义“因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式”判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A、图中线段是边上的高，本选项不符合题意；
B、图中线段是边上的高，本选项符合题意；
C、图中线段不是三角形的高，本选项不符合题意；
D、图中线段是边上的高，本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形的高的概念“从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高”判断即可．
5．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：米米．
故选：B．
【分析】用科学记数法写成的形式，其中，n是负整数，n等于小数点移动位数的相反数，据此解答即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意；
B、添加，则依据可判定，故选项不符合题意；
C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意；
D、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
7．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据分式值为零的条件是分母不为零，分子为零进行求解即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可知，平分，
∵，，
∴点到的距离为，
∴点到的距离也等于2，
∵，
∴的面积为；
故选：B．
【分析】由尺规作图可知平分，根据角平分线的性质得到点到的距离也等于2，然后根据三角形的面积公式解答．
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为31，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接M'E，M'N，则．
∵
∴．
∵在等边中，是中线，
∴，
∴，则，
∴，．
∵，
∴为等边三角形，．
根据轴对称性质，，则，当且仅当、、共线时取等号．
故的最小值为；
故选：A．
【分析】作点关于的对称点，则ME=M'E，，然后根据等边三角形的性质推理得到为等边三角形，即可得到NE+ME的最小值为M'N的值解答即可 ．
11．【答案】4y2-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接根据平方差公式计算即可．
12．【答案】49
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵正六边形，
∴每个内角为，和为等腰三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据知正六边形的内角和求出每个内角为，再根据等边对等角和三角形的内角和求出，根据角的和差解答即可．
14．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点与点关于轴对称，
，
．
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出m和n的值，然后代入计算乘方即可．
15．【答案】16
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，，
∴，
∴，
，
，
∵的面积为，
即阴影部分的面积为16．
故答案为：16.
【分析】连接，根据AAS得到，即可得到，进而得到解答即可 ．
16．【答案】2
【知识点】分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：设△表示的数为a，则方程为，
两边同乘，得，
解得．
∵方程无解，
∴其增根，
故，
∴，
∴△处的数应是2．
故答案为：2．
【分析】设△表示的数为a，则方程为，去分母求出x的值，根据题意得到x是方程的增根，即x=2，然后代入方程的解求出a的值即可．
17．【答案】（1）解：原式=4bc(3a-c).
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
18．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】多项式除以单项式；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）先通分，然后合并化简计算即可．
19．【答案】（1）解：去分母，得2x+3(x-3)=0，
解得
检验：当 时，x(x-3)≠0，
故原方程的解为
（2）解：去分母，得x(x+2)-4=(x+2)(x-2)，
解得x=0，
检验：当x=0时，(x+2)(x-2)≠0，
故原方程的解为x=0.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程 求出x的值并检验解答即可；
（2）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程 求出x的值并检验解答即可．
20．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式，然后把除法化为乘法约分化简，再代入x的值进行分母有理化化简即可．
21．【答案】（1）证明：因为，
所以，
在和中，
，
，
（全等三角形对应边相等）；
（2）解：由（1）可知：
∴∠A=∠D，
∵，，
∴∠ECD=180°-∠E-∠D=180°-∠E-∠A=180°-35°-25°=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据易得，结合，，即可证明（SAS），则；
（2）根据（1）可知，再根据全等三角形的性质可得，结合 ，和三角形的内角和定理可知．
22．【答案】（1）解：是的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，
又，
，即为等边三角形，
，
，
是中点，，
，
在中，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据HL得到，根据对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边证明即可；
（2）先得到为等边三角形，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可．
23．【答案】（1）解：设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需元．
根据题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
则（元），
答：购买一个A品牌篮球需120元，购买一个B品牌篮球需140元．
（2）解：设该校此次可购买m个A品牌篮球，则购买B品牌篮球个．
调整后A品牌篮球的单价为（元），
B品牌篮球的单价为（元），
根据题意可列不等式：，
解得：，
答：该校此次最多可购买30个A品牌篮球．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌篮球需x元，根据题意列分式方程解答即可．
（2）设该校此次可购买m个A品牌篮球，根据题意列一元一次不等式求出最大整数解即可．
24．【答案】（1）√；×；√
（2）解：∵，，
∴
，
∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值，
∴为定值，
∴，
∴
∴
．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∵A，B互为关于的“关联代数式”，
∴为定值或为定值，
①当为定值时，，，
∴，
不合题意，舍去．
②当为定值时，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为．

【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；分式的加减法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：①∵，为定值
∴与互为关于x的“关联代数式”．
②∵
，
它们都不是定值，
∴与不是互为关于x的“关联代数式”．
③∵，为定值，
∴与互为关于x的“关联代数式”．
故答案为：①√；②×；③√．
【分析】（1）根据“关联代数式”的定义判断即可；
（2）计算，，根据“关联代数式”的定义得到，然后将代数式化为化为，整体代入解答即可；
（3）化简得到，计算，，根据“关联代数式”的定义分两种情况讨论：①当为定值时，，，进而判断不合题意，舍去．②当为定值时，，，根据完全平方公式的变形求出，再领平方差公式分解因式代入计算解答．
25．【答案】（1）解：过点作轴于点，如图：
∵以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：，证明如下：
延长与交于点，
由（1）可知，
又∵点的坐标分别为，
∴，
∴，
∴，即
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；

（3）解：过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图：
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴∵点的坐标为，点的坐标为
∴
由（2）得
∴ ，
∴，
∵的面积与四边形的面积之比为整数时，整数t取3或4，
∴当时；则；
当时；则；
综上所述：整数的值为3或4.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作轴于，根据AAS得到，即可得到，进而得到点E的坐标即可；
（2）延长与交于点，根据（1）中全等三角形的性质推理得到是等腰直角三角形，然后证明，得出，然后推理得到，根据等角对等边得到即可证明结论；
（3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，根据ASA得到，即可得到，再根据AAS得到，即可得到，进而得到是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到 ，，根据比值解答即可.
1 / 1湖南省长沙市长郡教育集团2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷
1．（2026八上·长沙期末）已知三条线段的长度分别为1 cm，5cm ，a cm，若这三条线段首尾顺次连接能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 三条线段能围成三角形，
∴，
，
的取值可以是5．
故选：C．
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”解答即可．
2．（2026八上·长沙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
，选项A正确；
∵ 积的乘方等于乘方的积，
，选项B错误；
∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变，
，选项C错误；
∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，
，选项D错误．
故选：A．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可．
3．（2026八上·长沙期末）下列多项式分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．2a-6=2(a-3)
【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：选项A：，故A错误；
选项B：，，故B错误；
选项C：，不是乘积形式，故C错误；
选项D：，是提取公因式，正确；
故选：D．
【分析】根据因式分解的定义“因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式”判断解答即可．
4．（2026八上·长沙期末）下列图形中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A、图中线段是边上的高，本选项不符合题意；
B、图中线段是边上的高，本选项符合题意；
C、图中线段不是三角形的高，本选项不符合题意；
D、图中线段是边上的高，本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形的高的概念“从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高”判断即可．
5．（2026八上·长沙期末）诺如病毒是一种冬季高发病毒，传染性极强，是急性肠胃炎爆发的常见元凶，该病毒的直径约为0.000 000 307米，该直径用科学记数法表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：米米．
故选：B．
【分析】用科学记数法写成的形式，其中，n是负整数，n等于小数点移动位数的相反数，据此解答即可．
6．（2026八上·长沙期末）如图，已知AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．∠B=∠D=90° B．CB=CD
C．∠BAC=∠DAC D．∠BCA=∠DCA
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意；
B、添加，则依据可判定，故选项不符合题意；
C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意；
D、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
7．（2026八上·长沙期末）若分式 的值为0，则x的值为（　　）
A．4 B．4或-4 C．-4 D．0
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据分式值为零的条件是分母不为零，分子为零进行求解即可．
8．（2026八上·长沙期末）如图，在 中， ，根据尺规作图的痕迹作射线 AF 交边BC于点G，若.BG=2，AC=6，则 的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图痕迹可知，平分，
∵，，
∴点到的距离为，
∴点到的距离也等于2，
∵，
∴的面积为；
故选：B．
【分析】由尺规作图可知平分，根据角平分线的性质得到点到的距离也等于2，然后根据三角形的面积公式解答．
9．（2026八上·长沙期末）如图，在 中，DE是AC 的垂直平分线， 的周长为31，则 BC的长为（　　）
A．9 B．12 C．19 D．29
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为31，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
10．（2026八上·长沙期末）如图，在等边三角形ABC中，CD是中线，点 M，N分别在AC，AB上，且AN=DN=CM=3，动点E在CD上，则NE+ME的最小值为（　　）
A．9 B．9.5 C． D．6
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接M'E，M'N，则．
∵
∴．
∵在等边中，是中线，
∴，
∴，则，
∴，．
∵，
∴为等边三角形，．
根据轴对称性质，，则，当且仅当、、共线时取等号．
故的最小值为；
故选：A．
【分析】作点关于的对称点，则ME=M'E，，然后根据等边三角形的性质推理得到为等边三角形，即可得到NE+ME的最小值为M'N的值解答即可 ．
11．（2026八上·长沙期末）计算(2y-1)(2y+1)的结果为　 　.
【答案】4y2-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接根据平方差公式计算即可．
12．（2026八上·长沙期末）如图， 是 的外角，若 则 　 　°.
【答案】49
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
13．（2026八上·长沙期末）如图，在正六边形中，的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵正六边形，
∴每个内角为，和为等腰三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据知正六边形的内角和求出每个内角为，再根据等边对等角和三角形的内角和求出，根据角的和差解答即可．
14．（2026八上·长沙期末）若点A(m，3)与点 B(2，n)关于x轴对称，则 　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点与点关于轴对称，
，
．
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出m和n的值，然后代入计算乘方即可．
15．（2026八上·长沙期末）如图，在 中， ，E是CD 上一点，BE 过AC的中点F，若CD=8，BC=4，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】16
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的中点，
∴．
又∵，
∴，，
∴，
∴，
，
，
∵的面积为，
即阴影部分的面积为16．
故答案为：16.
【分析】连接，根据AAS得到，即可得到，进而得到解答即可 ．
16．（2026八上·长沙期末）小强在解分式方程 时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解.请你帮小强猜测一下△处的数应是　 　.
【答案】2
【知识点】分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：设△表示的数为a，则方程为，
两边同乘，得，
解得．
∵方程无解，
∴其增根，
故，
∴，
∴△处的数应是2．
故答案为：2．
【分析】设△表示的数为a，则方程为，去分母求出x的值，根据题意得到x是方程的增根，即x=2，然后代入方程的解求出a的值即可．
17．（2026八上·长沙期末）因式分解.
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=4bc(3a-c).
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
18．（2026八上·长沙期末）计算下列各式.
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】多项式除以单项式；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；
（2）先通分，然后合并化简计算即可．
19．（2026八上·长沙期末）解分式方程.
（1）
（2）
【答案】（1）解：去分母，得2x+3(x-3)=0，
解得
检验：当 时，x(x-3)≠0，
故原方程的解为
（2）解：去分母，得x(x+2)-4=(x+2)(x-2)，
解得x=0，
检验：当x=0时，(x+2)(x-2)≠0，
故原方程的解为x=0.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程 求出x的值并检验解答即可；
（2）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程 求出x的值并检验解答即可．
20．（2026八上·长沙期末）先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式，然后把除法化为乘法约分化简，再代入x的值进行分母有理化化简即可．
21．（2026八上·长沙期末）如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：因为，
所以，
在和中，
，
，
（全等三角形对应边相等）；
（2）解：由（1）可知：
∴∠A=∠D，
∵，，
∴∠ECD=180°-∠E-∠D=180°-∠E-∠A=180°-35°-25°=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据易得，结合，，即可证明（SAS），则；
（2）根据（1）可知，再根据全等三角形的性质可得，结合 ，和三角形的内角和定理可知．
22．（2026八上·长沙期末）如图，在 中，D是BC的中点， 于点E， 于点F，且DE=DF.
（1）求证： 为等腰三角形；
（2）若AB=BC=4，求BE的长.
【答案】（1）解：是的中点，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，
又，
，即为等边三角形，
，
，
是中点，，
，
在中，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先根据HL得到，根据对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边证明即可；
（2）先得到为等边三角形，然后根据30°的直角三角形的性质解答即可．
23．（2026八上·长沙期末）汗水挥洒赛场，激情点燃初冬.“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行.某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A 品牌篮球共花费了480元，购买 B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A 品牌篮球数量的2倍，已知购买一个 B品牌篮球比购买一个A 品牌篮球多花20元.
（1）购买一个A 品牌篮球、一个 B品牌的篮球各需多少元
（2）为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了6%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5 076 元，那么该校此次最多可购买多少个A 品牌篮球
【答案】（1）解：设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需元．
根据题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
则（元），
答：购买一个A品牌篮球需120元，购买一个B品牌篮球需140元．
（2）解：设该校此次可购买m个A品牌篮球，则购买B品牌篮球个．
调整后A品牌篮球的单价为（元），
B品牌篮球的单价为（元），
根据题意可列不等式：，
解得：，
答：该校此次最多可购买30个A品牌篮球．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌篮球需x元，根据题意列分式方程解答即可．
（2）设该校此次可购买m个A品牌篮球，根据题意列一元一次不等式求出最大整数解即可．
24．（2026八上·长沙期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值(此时x满足A，B均有意义)，有A+B或A-B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”.例如：A=-2x-1，B=2x-1，因为A+B=-2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”.根据该约定，解答下列问题.
（1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”.若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”.
①x+1与-x+2；　 　
②与2x2-2；　 　
③与 　 　
（2）若关于x的代数式 B互为关于x的“关联代数式”，求 的值；
（3）若关于x的代数式A=mx+1，B=nx-2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足 求此时 的值.
【答案】（1）√；×；√
（2）解：∵，，
∴
，
∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值，
∴为定值，
∴，
∴
∴
．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∵A，B互为关于的“关联代数式”，
∴为定值或为定值，
①当为定值时，，，
∴，
不合题意，舍去．
②当为定值时，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为．

【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；分式的加减法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：①∵，为定值
∴与互为关于x的“关联代数式”．
②∵
，
它们都不是定值，
∴与不是互为关于x的“关联代数式”．
③∵，为定值，
∴与互为关于x的“关联代数式”．
故答案为：①√；②×；③√．
【分析】（1）根据“关联代数式”的定义判断即可；
（2）计算，，根据“关联代数式”的定义得到，然后将代数式化为化为，整体代入解答即可；
（3）化简得到，计算，，根据“关联代数式”的定义分两种情况讨论：①当为定值时，，，进而判断不合题意，舍去．②当为定值时，，，根据完全平方公式的变形求出，再领平方差公式分解因式代入计算解答．
25．（2026八上·长沙期末）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A，B的坐标分别为(2，0)，(0，2)，点 P 是OA 的延长线上的一个动点(不与点 A 重合)，以P 为直角顶点，BP 为直角边在第一象限作等腰直角连接AE.
（1）若点 P 的坐标为(4，0)，求点 E 的坐标；
（2）当AE平分 时，试探究 AB与AP 的数量关系，并给出证明过程；
（3）如图2，延长BA，EP 交于点M，BP，AE交于点N，设点 P 的坐标为(t，0)，当 的面积与四边形AMPN 的面积之比为整数时，求整数t的值.
【答案】（1）解：过点作轴于点，如图：
∵以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：，证明如下：
延长与交于点，
由（1）可知，
又∵点的坐标分别为，
∴，
∴，
∴，即
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；

（3）解：过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图：
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴∵点的坐标为，点的坐标为
∴
由（2）得
∴ ，
∴，
∵的面积与四边形的面积之比为整数时，整数t取3或4，
∴当时；则；
当时；则；
综上所述：整数的值为3或4.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；三角形全等的判定；等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过点作轴于，根据AAS得到，即可得到，进而得到点E的坐标即可；
（2）延长与交于点，根据（1）中全等三角形的性质推理得到是等腰直角三角形，然后证明，得出，然后推理得到，根据等角对等边得到即可证明结论；
（3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，根据ASA得到，即可得到，再根据AAS得到，即可得到，进而得到是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到 ，，根据比值解答即可.
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